সীমাবদ্ধ পার্থক্য পদ্ধতি ব্যবহার করার সময় বাঁকানো সীমানা অবস্থার সাথে কীভাবে মোকাবিলা করবেন?

আমি নিজে থেকে পিডিই সংখ্যাগতভাবে সমাধান করার বিষয়ে জানতে চেষ্টা করছি।

আমি কিছু সময়ের জন্য সীমাবদ্ধ পার্থক্য পদ্ধতি (এফডিএম) দিয়ে শুরু করছি কারণ আমি শুনেছি যে পিডিইর জন্য এফডিএম অসংখ্য সংখ্যাগত পদ্ধতির ভিত্তি। এখনও অবধি আমি এফডিএম সম্পর্কে কিছু প্রাথমিক ধারণা পেয়েছি এবং লাইব্রেরি এবং ইন্টারনেটের সাথে পাওয়া উপকরণগুলি দিয়ে নিয়মিত অঞ্চলে কিছু সাধারণ পিডিই কোড লিখতে সক্ষম হয়েছি, তবে আশ্চর্যের বিষয়টি হ'ল, আমি যেসব উপকরণ পেয়েছি সে সম্পর্কে আমি খুব কম আলোচনা করি অনিয়মিত চিকিত্সা, বাঁকা অদ্ভুত সীমানা, মত সম্পর্কে এই ।

আরও কি, বাঁকানো সীমানা মোকাবিলার সহজ উপায় আমি কখনও দেখিনি। উদাহরণস্বরূপ, আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সংখ্যা সংক্রান্ত সমাধান - একটি ভূমিকা (মর্টন কে।, মায়ার্স ডি) বইটি , যেখানে সর্বাধিক বিস্তারিত আলোচনা রয়েছে (মূলত p71 থেকে 3.4 এবং p199 থেকে 6.4 এ ) আমি এখন পর্যন্ত দেখেছি, পরিণত হয়েছে একটি এক্সট্রাপোলেশন যা আমার জন্য সত্যই জটিল এবং হতাশাব্যঞ্জক।

সুতরাং, যেমন শিরোনামটি জিজ্ঞাসা করেছিল, বাঁকা সীমানা হিসাবে, সাধারণত এফডিএম ব্যবহার করার সময় লোকেরা কীভাবে এটি ব্যবহার করে? অন্য কথায়, এর সর্বাধিক জনপ্রিয় চিকিত্সা কোনটি? বা এটি PDE এর ধরণের উপর নির্ভর করে?

বাঁকানো সীমানা মোকাবেলার জন্য কি কোনও (কমপক্ষে তুলনামূলকভাবে) মার্জিত এবং উচ্চ-নির্ভুলতার উপায় আছে? নাকি এটি কেবল একটি অনিবার্য বেদনা?

আমি এমনকি জিজ্ঞাসা করতে চাই, লোকেরা আসলে আজকাল বাঁকানো সীমানার জন্য এফডিএম ব্যবহার করে? যদি তা না হয় তবে এর সাধারণ পদ্ধতি কী?

কোন সাহায্য প্রশংসা করা হবে।

pde finite-difference boundary-conditions

— xzczd
সূত্র

উত্তর:

প্রথমে আপনার শেষ প্রশ্নের জবাব দেওয়া, লোকেরা আসলে আজকাল বক্র সীমানার জন্য এফডিএম ব্যবহার করে আমি উত্তরটি হ্যাঁ বলব না। বাণিজ্যিক সিএফডি বিশ্বে, দ্বিতীয় আদেশের সঠিক সীমাবদ্ধ ভলিউম স্কিমগুলি ডি-ফ্যাক্টো শিল্পের মান। এফডির একটি সুবিধা (এবং সীমাবদ্ধ উপাদান / বিচ্ছিন্ন গ্যালার্কিন জেদের উল্লিখিত জেদ উল্লেখ করা হয়েছে) জটিল সীমানাগুলির অনেক বেশি প্রাকৃতিক পরিচালনা is এফডি প্রচুর সংখ্যক পদ্ধতির ভিত্তি সরবরাহ করে (এফভি অন্তর্ভুক্ত) এবং এটি প্রথম পদক্ষেপ হিসাবে শিখতে হবে তবে এটি বৃহত্তর জটিল জটিল সমস্যার জন্য উপযুক্ত নয়।

এফডিতে জটিল সীমানা নিয়ে কাজ করার জন্য, আমি দুটি প্রচলিত উপায় সম্পর্কে ভাবতে পারি, যার মধ্যে একটি হল আপনার বর্ণিত অন্তরঙ্গ / এক্সট্রোপোলেশন পদ্ধতি। অন্যান্য শারীরিক ব্যবহারের শারীরিক- লাগানো গ্রিড পয়েন্ট হয় "গণনীয়" করার জন্য একটি কনফরমাল ম্যাপিং সঙ্গে স্থান স্থান যেখানে । তারপরে কেউ আবার পদ লিখতে পারে $(x,y)$ $\xi = \xi(x,y),\eta = \eta(x,y)$ $\Delta \xi = \Delta \eta = constant$

\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial ξ} \frac{\partial ξ}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial η} \frac{\partial η}{\partial x}

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial \xi} \frac{\partial \xi}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial \eta} \frac{\partial \eta}{\partial x}$

যেখানে পদগুলিকে মেট্রিক পদ বলা হয় এবং সমস্যার শুরুতে এটি গণনা করা যেতে পারে (বা কোনও সাধারণ ডোমেনের জন্য আপনার সঠিক থাকতে পারে কনফর্মাল ম্যাপিং উপলভ্য) এবং ডেরিভেটিভসকে যৌক্তিকভাবে সাধারণ গণনাযোগ্য ডোমেনে গণনা করা যায়। এই প্রক্রিয়াটি সীমানা অবস্থার বাস্তবায়নকে সোজা করে তোলে তবে এর জন্য পর্যাপ্ত মসৃণ, নামমাত্র অরথোগোনাল বক্ররেখার জাল তৈরি করা দরকার। $\frac{\partial (\xi,\eta)}{\partial (x,y)}$ $u$

আমি বলব এই বডি-ফিটেড গ্রিড পদ্ধতিটি এফডিতে বাঁকানো সীমানা মোকাবেলার জন্য "সর্বাধিক জনপ্রিয় চিকিত্সা", যে ক্যাভিট সহ এফডি পদ্ধতিগুলি জটিল অ্যাপ্লিকেশনগুলির জন্য খুব বেশি "জনপ্রিয়" নয়। এগুলি এখনও খুব সাধারণ ডোমেন বাদে সিএফডি সাহিত্যে এখনও আসতে দেখা বিরল।

— অরেলিয়াসের
সূত্র

আপনার বক্তব্য "আমি বলব যে উত্তরটি হ'ল না" সঠিক নয়। Visbal এবং Gaitonde উচ্চতর-অর্ডার এফডি সঙ্গে ব্যাপকভাবে কাজ FDL3DI কোড । এছাড়াও, নাসার ওভারফ্লু কোডটি একটি এফডি কোড (যতদূর আমি জানি / বলতে পারি)।

— ব্রায়ান জাটাপাটিক

ওভারফ্লাও মূলত নিখুঁতভাবে এফডি ছিল, তবে এখন এটি সাধারণত আপনার লিঙ্কের চ 1 এ এফভি ফ্লাক্স বিভাজন (AUSM, HLLC ইত্যাদি ব্যবহার করে।) এটি অবশ্যই "উত্তরাধিকার" কোডটি। সেই FDL3DI লিঙ্কটি 90 এর দশকের কাজ থেকে যখন হাই-অর্ডার সসীম-উপাদান / ডিজি ভিত্তিক কাজটি শৈশবকালীন ছিল এবং কোনও প্রসারণযোগ্য কার্যকর উচ্চ-অর্ডার-নির্ভুল সসীম ভলিউম স্কিমগুলি ছিল না। আমি মনে করি যে আপনাকে সেই কাজের কমপ্যাক্ট সসীম পার্থক্য কৌশলটির ভিত্তিতে কোনও কোড বিকাশ শুরু করার জন্য 2013 সালে কাউকে বোঝাতে কঠোর চাপ দেওয়া হবে। এটি যেমন মার্জিত, তেমনি এটি অ্যাপ্লিকেশনগুলির জন্য খুব সীমাবদ্ধ।

— অরেলিয়াস

আমি আপনার বক্তব্যের সাধারণতার সাথে একমত নই যে বড় আকারের জটিল সমস্যার জন্য এফডি ব্যবহার করা ঠিক নয়। আজকাল, এইচপিসির লোকেরা চূড়ান্ত স্কেল কম্পিউটিংয়ের জন্য ম্যাট্রিক্স-মুক্ত সমাধানকারীকে দক্ষতার সাথে প্রয়োগ করতে তাদের সীমাবদ্ধ উপাদানগুলি স্টেনসিলের মতো ফ্যাশনে ব্যবহার করতে (আধা) স্ট্রাকচার্ড গ্রিড ব্যবহার করতে ঝোঁক। সুতরাং, তারা যতটা ফ্যাশনেবল, তবুও লোকেরা আসলে সীমাবদ্ধ পার্থক্য ব্যবহার করতে চায়। এমন কোনও অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে যেখানে আপনি কাঠামোগত জাল দিয়ে দূরে সরে যেতে পারেন তা উল্লেখ করার দরকার নেই। জটিল জ্যামিতির জন্য স্ট্যান্ডার্ড এফডি যদিও বেদনাদায়ক এবং সম্ভবত এটিই আপনি বলতে চেয়েছিলেন।

— খ্রিস্টান ওয়ালুগা

সাধারণ বাঁকানো জ্যামিতির জন্য, উচ্চ-অর্ডার এফডি দক্ষতার ভিত্তিতে (যথাযথতা / সময়) উপর হাই-অর্ডার বর্ণালী-পার্থক্য / ভলিউম, ফ্লাক্স-পুনর্গঠন, বা ডিজি পদ্ধতির উপর বিজয়ী হবে। জটিলগুলির জন্য, গ্রিড জেনারেশন আপনাকে বিকল্প পদ্ধতির চেষ্টা করার জন্য মাথাব্যথার যথেষ্ট হতে পারে। এক ভুলে যাওয়া উচিত নয় যে উল্লিখিত পদ্ধতি খুব গণ্যমান্য নমনীয়তা উল্লেখযোগ্য খরচে আসে, দেখতে Loehner দ্বারা এই কাগজ । এফডিএল 3 আইডি এবং ওভারফ্লাও এখনও ব্যবহার দেখতে পান এটির একটি কারণ।

— ব্রায়ান জাটাপাটিক

@ ক্রিশ্চিয়ানওয়ালুগা হ্যাঁ এটিই মূলত আমি বলতে চাইছিলাম। স্পষ্টতই এফডি ধারণাগুলি অন্যান্য অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে তাদের উপায় খুঁজে পায় (উদাহরণস্বরূপ এফভিতে গ্রেডিয়েন্টগুলি সীমাবদ্ধ পার্থক্য দ্বারা গণনা করা হয়), এবং সাধারণ জ্যামিতির উপর ডিএনএসের মতো নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে আপনি সেগুলি ব্যবহার দেখতে পান। তবে সাধারণ উদ্দেশ্যমূলক কোডগুলির জন্য গত 2 দশক ধরে প্রবণতাটি খাঁটি এফডি থেকে বেশ পরিষ্কার।

— অরেলিয়াস

বাঁকানো সীমানা বেশিরভাগ সিএফডি বইগুলিতে আচ্ছাদিত, যেমন, ওয়েসলিংয়ের অধ্যায় 11 বা ফেরজিগার এবং পেরিকের অধ্যায় 8 ।

কোনও মৌলিক তাত্ত্বিক সমস্যা না হলেও, বাঁকা সীমানায় উচ্চ-অর্ডার পদ্ধতির জন্য সীমানা শর্তগুলি বাস্তবায়নের ব্যবহারিক জটিলতা সীমাবদ্ধ উপাদান পদ্ধতিতে (বিচ্ছিন্ন গ্যালারকিন সহ) আরও জ্যামিতিক-নমনীয় পদ্ধতিগুলির প্রতি আগ্রহের একটি উল্লেখযোগ্য কারণ। কাঠামোযুক্ত সসীম পার্থক্য এবং সীমাবদ্ধ ভলিউম গ্রিডগুলি এখনও কিছু সিএফডি সিমুলেশনগুলিতে ব্যবহৃত হয়, তবে কাঠামোগত পদ্ধতিগুলি জনপ্রিয়তা লাভ করছে এবং উচ্চ-অর্ডার অানং কাঠামোগত পদ্ধতিগুলি দ্বারা ব্যবহৃত স্থানীয় ক্রিয়াকলাপগুলি আসলে বেশ দক্ষ এবং একইভাবে এফডির তুলনায় দক্ষতায় খুব বেশি ক্ষতি নাও ভোগ করতে পারে পদ্ধতি। (আসলে জ্যামিতিক নমনীয়তা তাদের প্রায়শই আরও দক্ষ করে তোলে more)

— জেড ব্রাউন
সূত্র

দুর্দান্ত উত্তর জেড। আমার থিসিস p38-46-তে পাওয়া তরল সমস্যাতে বিসি অনিয়মিত কিভাবে আচরণ করা যায় তার একটি খুব ধাপে ধাপে ওয়াকথ্রু রয়েছে। সত্যি বলতে এফডি সূত্রগুলিতে এটি করা একটি বড় এ * # ব্যথা। গুরুত্বপূর্ণ অন্তর্দৃষ্টি গ্রহণ করা হয় যে বাঁকানো খ্রিস্টপূর্ব সংখ্যক অসীম সরল সংখ্যার সাথে সংমিশ্রণ করা যায়।

— meawoppl

আমি গত n বছর ধরে উচ্চ নির্ভুলতা এফডিএম-তে কাজ করেছি। এবং আমি স্পষ্টভাবে উচ্চ নির্ভুলতা অ্যালগরিদমগুলি বিকাশের জন্য উদাহরণ হিসাবে ইলেক্ট্রোস্ট্যাটিকস -২ ডিমে ল্যাপ্লেসের সমীকরণটি ব্যবহার করেছি। প্রায় 4 বছর আগে পর্যন্ত সমস্যাগুলি সম্ভাব্য বিচ্ছিন্নতার অনুভূমিক বা উল্লম্ব লাইন পয়েন্ট দিয়ে নির্মিত হয়েছিল। আপনি যদি আমার নাম এবং fdm উচ্চ নির্ভুলতা গুগল করেন আপনার উল্লেখগুলি খুঁজে পাওয়া উচিত। তবে এটি আপনার প্রশ্ন নয়। আপনার প্রশ্নটি এফডিএম এবং বাঁকা সীমানা। প্রায় এক বছর আগে আমি হং কংয়ের একটি অর্ডার 8 সমাধান উপস্থাপন করেছি (দেখুন নলাকার চৌম্বকীয় প্রতিসম ইলেক্ট্রোস্ট্যাটিকের জন্য কার্ভিলিনার সীমানা থাকার জন্য একটি সীমাবদ্ধ পার্থক্য পদ্ধতি) সীমানার কাছাকাছি অভ্যন্তরীণ পয়েন্টগুলির জন্য 8 টি অ্যালগরিদমকে অর্ডার তৈরি করেছিল এবং এগুলি সীমানার অপর পাশের অবশ্যই পয়েন্টগুলির প্রয়োজন হবে। সীমানার ওপারের পয়েন্টগুলি কেবল জালটি অন্যদিকে প্রসারিত করে সেখানে রাখা হয়েছিল। এটি করার পরে প্রশ্নটি ছিল জাল শিথিল করার সময় আপনি কীভাবে এই পয়েন্টগুলির মানগুলি খুঁজে পাবেন find এটি অ্যালগরিদম ব্যবহার করে সীমানা (জ্ঞাত সম্ভাব্য) থেকে বিন্দুতে সংহত করার মাধ্যমে সম্পন্ন হয়েছিল। এটি যুক্তিসঙ্গতভাবে সফল এবং যুক্তিসঙ্গতভাবে সঠিক ছিল ~ <1e-11, তবে প্রতিটি স্বতন্ত্রভাবে রচিত 103 অ্যালগরিদমের প্রয়োজন ছিল এবং এটি কিছুটা ভঙ্গুর ছিল, অস্থির জ্যামিতিগুলি পাওয়া যেতে পারে। উপরের প্রতিকারের জন্য একটি সমাধান পাওয়া গেছে (8 এবং নীচে অর্ডার করুন) ব্যবহার করে (এক!) ন্যূনতম অ্যালগরিদম ব্যবহার করে এবং সমাধানটি যথেষ্ট দৃ .়তা প্রদর্শন করে। এটি জমা দেওয়া হয়েছে তবে আমাকে ইমেল করে প্রিপ্রিন্ট হিসাবে উপলব্ধ হবে। আমি বিশ্বাস করি যে এই কৌশলটি সময় নির্ধারণের চেয়ে আলাদা পিডি-র সময়কালের জন্য লিনিয়ার প্রয়োজনীয় (লিনিয়ার প্রয়োজনীয়) এবং মাত্রা ২ এর চেয়েও বেশি মাত্রায় বর্ধিত হবে I আমি সময় নির্ভর সমস্যা হিসাবে বিবেচনা করি নি তবে কৌশলটি একটি পাওয়ার সিরিজ কৌশল হিসাবে অভিযোজিত এবং প্রয়োগযোগ্য হওয়া উচিত। ডেভিড

— ডেভিড
সূত্র

আপনি যদি নিজের কাগজটি একটি প্রিপ্রিন্ট সার্ভারে (উদাহরণস্বরূপ আরএক্সিবের মতো) জমা দিতে পারতেন এবং তারপরে এটি এখানে লিঙ্ক করেন তবে এটি আপনার উত্তরকে উন্নত করবে। সাধারণত বললে, উত্তরে ইমেল ঠিকানা থাকা উচিত নয়। আমি আপনার উত্তর আরও সংক্ষিপ্ত করতে আপনাকে উত্সাহিত করি।

— জেফ অক্সবেরি