সংখ্যাগত ডেরাইভেটিভ এবং সীমাবদ্ধ পার্থক্য সহগ: ফরেনবার্গ পদ্ধতির কোনও আপডেট?

Question

যখন কেউ সংখ্যাসূচক ডেরিভেটিভগুলি গণনা করতে চান, বেন্ট ফরেনবার্গ এখানে উপস্থাপিত পদ্ধতিটি (এবং এখানে রিপোর্ট করেছেন ) খুব সুবিধাজনক (বাস্তবায়নের জন্য সুনির্দিষ্ট এবং সহজ উভয়)। ১৯৮৮ সালের মূল কাগজের তারিখ হিসাবে, আমি জানতে চাই যে আজকের চেয়ে আরও ভাল বিকল্প (যেমন (প্রায় হিসাবে) সহজ এবং আরও সুনির্দিষ্ট) আছে কি না?

Comments

আপনি কী আলাদা করতে চান তা না জেনে বলা শক্ত। আপনি কি স্বয়ংক্রিয় পার্থক্য বিবেচনা করেছেন ?

— বিশ্বজিৎ ব্যানার্জি

@ বিশ্বজিৎবাণার্জি: সীমাবদ্ধ পার্থক্য সহগের জন্য, স্বয়ংক্রিয় পার্থক্য প্রযোজ্য নয়।

— জেফ অক্সবেরি

@ জিফঅক্সবেরি: আমি প্রকৃত শারীরিক সমস্যা, অর্থাৎ "গণনা বিজ্ঞানের" বিজ্ঞানের অংশের কথা উল্লেখ করছিলাম।

— বিশ্বজিৎ ব্যানার্জি

@ ভিনসেন্ট: আপনি কি কোনও ফাংশন বা একটি টেবিলকে আলাদা করার চেষ্টা করছেন? টেবিল ডেটা, টেবিল তথ্য গোলমাল হয়? আপনি কি কোনও PDE কে বিযুক্ত করার চেষ্টা করছেন?

— ব্যবহারকারী 14717

Answer 1

সংক্ষিপ্ত বিবরণ

ভাল প্রশ্ন. আর। বাল্টেনস্পার্গার দ্বারা "স্বেচ্ছাসেবী সংঘাতের পয়েন্টগুলির জন্য ম্যাট্রিক্স ডিফারেন্সেশন পদ্ধতির যথার্থতার উন্নতি" শিরোনামে একটি পেপার রয়েছে। এটা আমার মতে কোন বড় চুক্তি, কিন্তু এটা একটি বিন্দু আছে (ইতিমধ্যে 2000 সালে চেহারা সামনে পরিচিত ছিল): এটা সত্য সঠিক প্রতিনিধিত্বের গুরুত্ব জোর ধ্রুবক ফাংশনের ব্যুৎপন্ন যে $f(x)=1$ উচিত শূন্য হোন (এটি গাণিতিক অর্থে হুবহু ধারণ করে তবে সংখ্যার উপস্থাপনায় এটি অগত্যা নয়)।

এটি দেখতে সহজ যে এটির জন্য n-th ডেরিভেটিভ ম্যাট্রিকেস $D^{(n)}$ এর সারি যোগফলগুলি শূন্য হতে হবে। তির্যক এন্ট্রি সামঞ্জস্য করে, যেমন D ( n ) j j : = - N ∑ i = 1 i ≠ j D i j সেট করে এই সীমাবদ্ধতা প্রয়োগ করা সাধারণ is

$$\tag 1 D^{(n)}_{jj} := -\sum_{\substack{i=1\\i \neq j }}^N D_{ij}\,.$$ এটি পরিষ্কার যে ভাসমান পয়েন্ট গণনার ক্ষেত্রে রাউন্ডঅফ ত্রুটির কারণে কম্পিউটারে কাজ করার সময় এই বৈশিষ্ট্যটি হুবহু ধরে না। সবচেয়ে আশ্চর্যের বিষয় হ'ল ডেরিভেটিভ ম্যাট্রিক্সের জন্য বিশ্লেষণাত্মক সূত্রগুলি ব্যবহার করার সময় এই ত্রুটিগুলি আরও তীব্রতর হয় (যা বহু ধ্রুপদী ক্লাসোকেশন পয়েন্টের জন্য উপলব্ধ, যেমন গাউস-লোবাট্টো)।

এখন, কাগজটি (এবং এর উল্লেখগুলি) সূচিত করে যে ডেরাইভেটিভের ত্রুটিটি শূন্য থেকে সারির বিচ্যুতির ক্রম। লক্ষ্যটি হ'ল এগুলি সংখ্যাটিকে যতটা সম্ভব ছোট করা।

সংখ্যাগত পরীক্ষা

ভাল কথাটি এই যে ফোর্নবার্গ পদ্ধতিটি এক্ষেত্রে বেশ ভাল বলে মনে হচ্ছে। নীচের ছবিতে আমি চেবিশেভ-লোবাট্টো সংঘর্ষের পয়েন্টের বিবিধ সংখ্যার জন্য সঠিক, অর্থাৎ বিশ্লেষণাত্মক, প্রথম ডেরাইভেটিভ ম্যাট্রিক্স এবং ফোর্নবার্গ অ্যালগরিদম দ্বারা প্রাপ্ত একটির আচরণের সাথে তুলনা করেছি।

আবার, উদ্ধৃত কাগজে বিবৃতিতে বিশ্বাস করা, এ থেকে বোঝা যায় যে ফরেনবার্গ অ্যালগরিদম ডেরিভেটিভের জন্য আরও সঠিক ফলাফল আনবে।

এটি প্রমাণ করার জন্য, আমি কাগজের মতো একই ফাংশনটি ব্যবহার করব,

$$\tag 2 f(x) = \frac{1}{1+x^2}\,.$$ $$\tag 3 E_n = \max_{i\in \{0,\ldots,n\}} \bigg| f^\prime(x_i) - \sum_{j=1}^n D_{ij} f(x_j) \bigg|\,.$$ $$\tag 4 \tilde D_{jj} = D_{jj} - \left(\sum_{i=1}^n D_{ji} \right), \qquad \text{for all}\ j\,.$$

উপসংহার

উপসংহারে, ফরেনবার্গের পদ্ধতিটি বিশ্লেষণাত্মক সূত্রগুলির ফলাফলের চেয়ে আরও প্রায় 3 মাপের মাত্রার দ্বারা এমনকি ক্ষেত্রে যথেষ্ট সঠিক বলে মনে হচ্ছে । বেশিরভাগ অ্যাপ্লিকেশনগুলির জন্য এটি যথেষ্ট সঠিক হওয়া উচিত। তদুপরি, এটি লক্ষণীয় কারণ কারণ ফোরনবার্গ তার পদ্ধতিতে এই ঘটনাটি স্পষ্টভাবে অন্তর্ভুক্ত করেন বলে মনে হয় না (কমপক্ষে দুটি ফরেনবার্গের গবেষণাপত্রে কোনও উল্লেখ নেই)।$N=512$

Eq। (4) এর সরাসরি অন্তর্ভুক্তির মাধ্যমে এই উদাহরণের জন্য আরও একটি ক্রমের পরিমাণ অর্জন করা যেতে পারে। যেহেতু এটি বেশ সহজ পদ্ধতির এবং প্রতিটি ডেরাইভেটিভের জন্য কেবল একবার প্রয়োগ করা হয়েছে, আমি এটি ব্যবহার না করার কোনও কারণ দেখতে পাচ্ছি না।

বাল্টেনস্পার পেপার থেকে পদ্ধতি - যা গোলের ত্রুটিগুলি হ্রাস করতে এক (1) এ যোগফলটি মূল্যায়নের জন্য আরও পরিশীলিত পদ্ধতির ব্যবহার করে - ত্রুটির জন্য একই ক্রমের পরিমাণের ফলন দেয়। সুতরাং, কমপক্ষে এই উদাহরণের জন্য, এটি উপরের "অ্যাডজাস্টেড ফরেনবার্গ" পদ্ধতির প্রায় সমান।

Answer 2

ধরে নিই যে আপনি একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশনটির সংখ্যাসূচক বাস্তবায়নকে পৃথক করার চেষ্টা করছেন, এখানে প্রচুর পদ্ধতি রয়েছে:

1) স্বয়ংক্রিয় পার্থক্য। সবচেয়ে সঠিক এবং সাধারণ পদ্ধতি। কোডে বেদনাদায়ক, অপারেটর ওভারলোডিং এবং যুক্তি নির্ভর নির্ভরতা প্রয়োজন। এই ধারণাগুলি বুঝতে ব্যবহারকারীকে বোঝা চাপায়। অপসারণযোগ্য একাকীত্বের সাথেও লড়াই করে, যেমন এ পার্থক্য করা ।$x= 0$

2) একটি চেবিশেভ রূপান্তর। আপনার ফাংশনটি চেবিশেভ বহুবচনগুলির একটি অংশে প্রজেক্ট করুন এবং তিনটি শব্দ পুনরাবৃত্তির পার্থক্য করুন। সুপার দ্রুত, খুব নির্ভুল। তবে আপনার প্রয়োজন একটি সুদৃ supported় সমর্থনযোগ্য ডোমেন; নির্বাচিত ডোমেনের বাইরে , তিনটি শব্দ পুনরাবৃত্তি অস্থির।$[a,b]$

3) সীমাবদ্ধ ভিন্নতা। 1 ডি তে আন্ডাররেটেড; নিক হিহামের টিপস এবং ট্রিকসটি নিউমারিকাল কম্পিউটিং-এ দেখুন । ধারণাটি হ'ল যদি আপনি কাটা ত্রুটি এবং রাউন্ডঅফ ত্রুটির ভারসাম্য বজায় করেন তবে আপনার কোনও ধাপের আকার নির্বাচন করার দরকার নেই; এটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে চয়ন করা যেতে পারে। বুস্টে, এই ধারণাটি টাইপের সঠিক সংখ্যার 6/7 ম পুনরুদ্ধার করতে (ডিফল্টরূপে) ব্যবহৃত হয়। (হিগহাম কেবলমাত্র সহজ সংখ্যাগুলির 1/2 সঠিক সংখ্যার জন্য ধারণাটি দেখায়, তবে ধারণাটি সহজেই প্রসারিত হয়)) সহগগুলি ফোরবার্গের সমতুল্য সারণী থেকে আসে, তবে ধাপটি 1UP এ মূল্যায়ন করা যেতে পারে এমন ধারনা অনুযায়ী বেছে নেওয়া হয়েছে the সঠিকতা. অসুবিধাটি হ'ল এর জন্য অর্ধেকটি সংখ্যার পুনরুদ্ধার করতে 2 ফাংশন মূল্যায়ন প্রয়োজন, 4/4 তম সংখ্যা পুনরুদ্ধার করতে 4 4 1 ডি তে, কোনও খারাপ চুক্তি নয়। উচ্চ মাত্রায় এটি বিপর্যয়কর।

4) জটিল পদক্ষেপ ডেরিভেটিভ। ব্যবহারের। নিন ইউনিট roundoff হতে এবং এই প্রায় প্রতিটি সঠিক বিট ভাল হয়ে যাবে। যাইহোক, এটি প্রতারক প্রতারণা, কারণ জটিল বিমানটিতে কোনও ফাংশন বাস্তবায়নের পক্ষে এর আসল ডেরিভেটিভ হ্যান্ড কোডের চেয়ে সাধারণভাবে কঠিন। এখনও একটি দুর্দান্ত ধারণা এবং নির্দিষ্ট পরিস্থিতিতে কার্যকর।$f'(x) \approx \Im(f(x+ih))$$h$

Answer 3

কেউ ফরেনবার্গের অ্যালগরিদম উন্নত করেছে সে সম্পর্কে আমি অবগত নই (তার সামান্য আরও সাম্প্রতিক কাগজটি দেখুন )। একদিকে যেমন আমার কাছে মনে হয় যে সংখ্যাসূচক ডেরিভেটিভগুলি গণনা করার উপায় হিসাবে তার অ্যালগরিদমের দিকে তাকানো সঠিক নয়। সীমাবদ্ধ-পার্থক্য পদ্ধতিগুলির জন্য ওজন গণনা করার জন্য তিনি যা কিছু করেছেন তা দক্ষ দক্ষতার অ্যালগরিদম অর্জন করেছে । তার পদ্ধতির সুবিধা হ'ল এটি আপনাকে একসাথে পছন্দসই ডেরাইভেটিভ পর্যন্ত সমস্ত ডেরাইভেটিভের জন্য ওজন দেয়।

Comments

$w_i$$z$$f(x)$$f^\prime(z) = \sum_i w_i f(x_i)$

@ ডেভিডিঘ: আপনি যদি ফোর্নবার্গের কাগজপত্র পড়ে থাকেন তবে তারা সীমিত-পার্থক্যের আনুমানিকতার জন্য ওজনের গণনার বিষয়ে কথা বলেন, অনুমানগুলি নিজেরাই গণনা করার বিষয়ে নয়। অবশ্যই আপনি ডেরিভেটিভগুলিও গণনা করতে অ্যালগরিদম ব্যবহার করতে পারেন তবে ওজনগুলি গণনা করতে, সংরক্ষণ করতে এবং তারপরে আনুমানিক ডেরিভেটিভগুলি গণনা করার জন্য এগুলি বারবার ব্যবহার করুন। অন্যথায় যখন প্রয়োজন নেই তখন আপনি বারবার ওজনের গণনা করছেন।

— ব্রায়ান জাটাপাটিক

Answer 4

একটি সহজ স্কিম

আমার অন্য উত্তর ছাড়াও যা ফরেনবার্গ পদ্ধতির সম্প্রসারণ সম্পর্কে বেশি, আমি এখানে আরও সাধারণ বিকল্পগুলির জন্য প্রশ্নটি সম্বোধন করব।

এর জন্য আমি একটি বিকল্প স্কিম স্কেচ করব যা ল্যাঙ্গরজিয়ান অন্তরঙ্গকরণের ডেরিভেটিভ সহগগুলি আরও সরাসরি উত্পন্ন করে। এটির প্রয়োগের জন্য কেবল কয়েকটি লাইন কোডের প্রয়োজন, স্বেচ্ছাচারী গ্রিডগুলির জন্য কাজ করে এবং আমার প্রথম পরীক্ষাগুলি অনুসারে ফরনবার্গের মতোই নির্ভুল।

$$f'(x) \ = \ \frac{1}{h}\,\text{Im}\big(f(x+ih)\big)\,,$$ $h$$h\rightarrow 0$

$L_i(x)$$\{x_1,\ldots, x_N\}$

$$L_i(z) \ = \ \begin{cases}1 & \text{if }z = x_i\\\ \frac{\frac {\mu_i}{z-x_k}}{ \sum_k\frac {\mu_k}{z-x_k} } & \text{otherwise}\,. \end{cases}$$ $\mu_i = \frac{1}{\prod_{k\neq i} (x_i - x_k)}$$z$$f_i = f(x_i)$$(x_1,f_i)$ $$P(x;f) = \sum_{i=1}^N f_i L_i(x)\,.$$

---

অ্যালগরিদম

অ্যালগরিদম নিম্নলিখিত স্কেচ করা হয়। ফরেনবার্গের মতো একটিতে এটির ইনপুট এবং আউটপুট প্যারামিটার রয়েছে তবে এটি অনেক বেশি বুদ্ধিমান।

ইনপুট:

• $x$
• $ord$
• z: এমন একটি বিন্দু যেখানে ডেরাইভেটিভকে মূল্যায়ন করতে হবে
• $f(x)$$f_i$

আরম্ভ

• $L$
• $N\times N$$D^{(o)}$$o=0, \ldots, ord$
• $D^{(0)} := I_N$$N\times N$
• $o := 0$

অ্যালগরিদম

$o < ord$

• $D^{(o+1)}_{ik} = CSD \bigg( P\big(x_k; D^{(o)}_{i}\big) \bigg)$$CSD$$i$$k$
  $D^{(o)}_{i}$$i$$D^{(o)}$

• সেট করুন o = o + 1;

কী আউটপুট করবেন তা স্থির করুন :

1. $d^{(ord)}$$z$$d_i = P(z;D^{(ord)}_i)$

2. $p^{(ord)}(x) = \sum_{i=1}^N f(x_i) P(x;D^{(ord)}_i)$$f^{(ord)}(x)$$ord$$f_i$$x_i$

3. $\text{diff}(\text{int } ord, \text{function } g)$$g$

ব্যক্তিগতভাবে, আমি ভেরিয়েন্টটি 3 পছন্দ করি।

---

অ্যালগরিদমের বিশ্লেষণ

$\mathcal O(ord \cdot N^2)$

Answer 5

সংখ্যার পার্থক্যের নির্ভুলতা বাড়াতে নিম্নলিখিতটি করুন:

1) কিছু ধাপের h এর উপর ভিত্তি করে আপনার প্রিয় উচ্চ-নির্ভুলতা "স্ট্যান্ডার্ড" পদ্ধতিটি চয়ন করুন ।

2) 1 টি নির্বাচিত পদ্ধতির সাথে ডেরাইভেটিভের মান গণনা করুন) বহুবার বিভিন্ন তবে যুক্তিসঙ্গত পদক্ষেপের মাপের সাথে h । প্রতিবার আপনি বাছাই করতে পারে জ অন্তর (0.5 * এইচ / 10, 1.5 * এইচ / 10) যেখানে এইচ পদ্ধতি আপনি ব্যবহার জন্য একটি উপযুক্ত ধাপে আকার থেকে একটি র্যান্ডম সংখ্যা হিসাবে।

3) ফলাফল গড়।

আপনার ফলাফলটি পরিপূর্ণ ত্রুটির কব্জিতে প্রস্থের 2-3 অর্ডার অর্জন করতে পারে। অ-গড় ফলাফল।

https://arxiv.org/abs/1706.10219

Comments

SciComp.SE এ স্বাগতম! এই উত্তরটি আরও ভাল হবে যদি আপনি এই পদ্ধতিটি সংক্ষেপে সংক্ষেপে বলতেন।

— ক্রিশ্চান ক্লাসন

এছাড়াও আপনার ব্যবহারকারীর নাম পরামর্শ দেয় যে আপনি সেই কাগজটি রচনা করেছেন। স্ব-প্রচার সম্পর্কে আমাদের গাইডলাইন পড়ুন এবং সেই অনুযায়ী আপনার পোস্টটি সম্পাদনা করুন।

— Wrzlprmft

আমি সত্যই বলেছি যে আমার উত্তরটি যদি কোনও বৈধ উত্তরের দিকে নির্দেশ করে তবে negativeণাত্মক ভোটদানকে অন্যায় করা হবে।

— এফ। জাটপিল

আমিও ... সুতরাং আমার +1 ... :-)

— দবিধে