নির্দিষ্ট সমস্যার জন্য ভাল পূর্বশর্ত পদ্ধতি অনুসন্ধান করার সময় আমার কোন গাইডলাইন ব্যবহার করা উচিত?

Question

বৃহত্তর রৈখিক সিস্টেমগুলির সমাধানের জন্য পুনরাবৃত্ত পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করে পূর্বশর্ত চালু করা প্রায়শই আগ্রহী, উদাহরণস্বরূপ পরিবর্তে সমাধান করুন , যেখানে এখানে সিস্টেমের বাম-পূর্বশর্তকরণের জন্য ব্যবহৃত হয় । সাধারণত, আমাদের যে have থাকা উচিত এবং মূল সিস্টেমের সমাধানের তুলনায় তুলনামূলকভাবে (আরও অনেক) দক্ষ সমাধান বা কমপিটেশনাল রিসোর্স হ্রাস (যেমন মেমরি স্টোরেজ) এর ভিত্তি সরবরাহ করা উচিত ( অর্থাত্ যখন )। তবে পূর্বশর্তটি বেছে নিতে আমাদের কোন গাইডলাইন ব্যবহার করা উচিত? অনুশীলনকারীরা কীভাবে তাদের নির্দিষ্ট সমস্যার জন্য এটি করেন?M - 1 ( A x = b $Ax=b$$M^{-1}(Ax=b)$$M$$M^{-1}\approx A^{-1}$$M=A$

Comments

এমনকি একটি নির্দিষ্ট শ্রেণির সমীকরণের জন্য, এর জন্য খুব দীর্ঘ এবং বিস্তারিত উত্তর প্রয়োজন ...

— জ্যাক পলসন

পূর্ববর্তী কন্ডিশনারদের কীভাবে বেছে নেওয়া যেতে পারে তার জন্য বৈজ্ঞানিক কৌশলগুলি পরামর্শ দেওয়া উচিত। উদাহরণস্বরূপ, কোনও সমস্যা দেওয়া হলে, প্র্যাকশনাররা ভাল প্রাকটেন্ডিশনার চেষ্টা করার জন্য অনুশীলনে কী করে? থেকে তির্যকটি বের করার উপর ভিত্তি করে কেবল একটি বেসিক ডায়াগোনাল পূর্বশর্ত দিয়ে শুরু করুন ? না? $A$

— অ্যালান পি। ইঞ্জিগ-কারুপ

আমি @ ম্যাটকনেপলিকে চ্যানেল করতে যাচ্ছি এবং বলছি যে উপযুক্ত পদক্ষেপটি একটি সাহিত্য অনুসন্ধান করা। যদি এটি ব্যর্থ হয় তবে যুক্তিসঙ্গত বড় সমস্যার জন্য সহজেই উপলভ্য সমস্ত বিকল্প ব্যবহার করে দেখুন। যদি এটি ব্যর্থ হয় তবে পদার্থবিজ্ঞান এবং আপনি কীভাবে সস্তায় সমস্যার আনুমানিক সমাধান নিয়ে আসতে পারেন তা নিয়ে গভীরভাবে চিন্তা করুন এবং এটি পূর্বশর্ত হিসাবে ব্যবহার করুন।

— জ্যাক পলসন

@ জ্যাকপলসন: যেহেতু এই প্রশ্নটি একই রকম শিরাতে রয়েছে কোন বিচ্ছিন্ন রৈখিক সিস্টেমটি ব্যবহার করতে হবে? এবং কীভাবে একটি স্কেলযোগ্য লিনিয়ার সলভারটি চয়ন করবেন , এটি আমার কাছে বিষয়টিতে মনে হয় (যদিও এটি বিস্তৃত)। যেহেতু আপনার মন্তব্যটি মূলত একটি উত্তর, আপনি দয়া করে এটি একটি উত্তরে রূপান্তর করতে পারেন?

— জেফ অক্সবেরি

আমি এই প্রশ্নে অনুগ্রহ শুরু করেছি, তবে আমি এই শিরাতে আরও প্রশ্ন দেখতে আগ্রহী যা আরও ভালভাবে উত্থাপিত হতে পারে বা সমস্যার নির্দিষ্ট শ্রেণির মধ্যে সীমাবদ্ধ হতে পারে।

— অ্যারন আহমদিয়া

Answer 1

আমি প্রাথমিকভাবে কোনও উত্তর দিতে চাইনি কারণ এটি অত্যন্ত দীর্ঘ চিকিত্সার জন্য প্রাপ্য এবং আশা করি অন্য কেউ এখনও এটিকে দেবেন। তবে আমি অবশ্যই প্রস্তাবিত পদ্ধতির একটি খুব সংক্ষিপ্ত বিবরণ দিতে পারি:

1. একটি সঞ্চালন পুঙ্খানুপুঙ্খ সাহিত্য অনুসন্ধান।
2. যদি এটি ব্যর্থ হয় তবে প্রতিটি পূর্বশর্ত চেষ্টা করুন যা বোঝায় যে আপনি নিজের হাত পেতে পারেন। ম্যাটল্যাব, পিইটিএসসি এবং ত্রিলিনো এটির জন্য সুন্দর পরিবেশ।
3. যদি এটি ব্যর্থ হয় তবে আপনার সমস্যার পদার্থবিজ্ঞানের বিষয়ে আপনার যত্ন সহকারে চিন্তা করা উচিত এবং সস্তায় আনুমানিক সমাধান পাওয়া সম্ভব কিনা, এমনকি আপনার সমস্যার কিছুটা পরিবর্তিত সংস্করণও পাওয়া উচিত।

৩ টির উদাহরণ হেলমহোল্টজ-এর ল্যাপ্লেসিয়ান সংস্করণে স্থানান্তরিত হয় এবং জিনচাও জু'র সাম্প্রতিক কাজটি ল্যাপলাসিয়ানদের সাথে বিহারহমনিক অপারেটরটিকে পূর্বশর্ত করার বিষয়ে কাজ করে।

Comments

ধন্যবাদ! এই মন্তব্যের বাকী অংশটি ন্যূনতম চরিত্রের সীমা পূরণ করে।

— জেফ অক্সবেরি

Answer 2

অন্যরা ইতিমধ্যে শর্তাবলীর ইস্যুতে মন্তব্য করেছেন যে আমি কী "মনোলিথিক" ম্যাট্রিক্স বলব, যেমন উদাহরণস্বরূপ ল্যাপ্লেস সমীকরণ, হেলমহোল্টজ সমীকরণ বা যদি আপনি এটি সাধারণীকরণ করতে চান তবে ভেক্টর-মূল্যবান স্থিতিস্থাপকতা সমীকরণ এই বিষয়গুলির জন্য, এটি পরিষ্কার যে মাল্টিগ্রিড (হয় বীজগণিত বা জ্যামিতিক) যদি সমীকরণটি উপবৃত্তাকার হয় এবং অন্য সমীকরণগুলির জন্য এটি এতটা পরিষ্কার হয় না - তবে এসএসওআরের মতো কিছু প্রায়শই যুক্তিসঙ্গতভাবে ভাল কাজ করে (এর কিছু অর্থের জন্য) "যুক্তিযুক্ত")।

আমার কাছে, বড় উদ্ঘাটনটি এমন সমস্যাগুলির বিষয়ে কী করা উচিত যা একশাস্ত্র নয়, উদাহরণস্বরূপ স্টোকস অপারেটর আমি যখন প্রায় 15 বছর আগে সংখ্যার বিশ্লেষণ দিয়ে শুরু করেছি, তখন আমার মনে হয় লোকেরা আশা করেছিল যে একই কৌশলগুলি উপরের মতো ম্যাট্রিকগুলিতে প্রয়োগ করা যেতে পারে, এবং গবেষণার দিকনির্দেশনা ছিল হয় মাল্টিগ্রিডকে সরাসরি চেষ্টা করা বা এসএসওআর এর সাধারণীকরণ (ব্যবহার করে " পয়েন্ট স্মুথারগুলি "ভ্যাঙ্কার মতো) এবং অনুরূপ পদ্ধতিগুলি। এটি খুব ভালভাবে কাজ করে না বলে এটি বিবর্ণ হয়েছে।

$$\begin{pmatrix} A & B \\ B^T & 0 \end{pmatrix}.$$

প্রথমে "পদার্থবিজ্ঞান ভিত্তিক পূর্বশর্তী" এবং পরে সিলভেস্টার এবং ওয়াথেনের মতো "ব্লক পূর্বশর্ত" হিসাবে আখ্যায়িত করে এটিকে প্রতিস্থাপন করতে যা এসেছে। এগুলি প্রায়শই ব্লক বিলোপ বা শুর পরিপূরকগুলির উপর ভিত্তি করে হয় এবং ধারণাটি হ'ল প্রাক-কন্ডিশনার এমনভাবে তৈরি করা যায় যে কোনও ব্যক্তি ভাল ব্লকগুলির জন্য পূর্বনির্দেশকগুলিকে পুনরায় ব্যবহার করতে পারে যা ভাল কাজ করার জন্য পরিচিত। স্টোকস সমীকরণের ক্ষেত্রে, উদাহরণস্বরূপ, সিলভেস্টার / ব্যবহার করে যে ম্যাট্রিক্স

$$\begin{pmatrix} A & B \\ 0 & B^T A^{-1} B \end{pmatrix}^{-1}$$ যখন GMRES এর সাথে পূর্ব শর্ত হিসাবে ব্যবহৃত হয় ঠিক তখন দুটি পুনরাবৃত্তির মধ্যে রূপান্তর ঘটে। যেহেতু এটি ত্রিভুজাকার, বিপরীতটিও খুব সহজ, তবে তির্যক ব্লকগুলি নিয়ে কী করা উচিত তা আমাদের এখনও সমস্যা রয়েছে এবং সেখানে একটি অনুমান ব্যবহার করে: যেখানে টিলড মানে হ'ল বিপরীতটিকে একটি আনুমানিক দ্বারা প্রতিস্থাপন করে। এটি প্রায়শই সহজতর: কারণ এ ব্লকটি উপবৃত্তাকারী অপারেটর, ~ এ - $$\begin{pmatrix} \widetilde{A^{-1}} & B \\ 0 & \widetilde{(B^T A^{-1} B)^{-1}} \end{pmatrix}$$ $A$$\widetilde{A^{-1}}$একটি মাল্টিগ্রিড ভি-চক্র দ্বারা খুব ভালভাবে অনুমান করা যায়, এবং এটি প্রমাণিত হয় যে এখানে একটি ভর ম্যাট্রিক্সের আইএলইউ দ্বারা ভালভাবে সন্নিবিষ্ট।$\widetilde{(B^T A^{-1} B)^{-1}}$

স্বতন্ত্র ব্লকের সাথে কাজ করার এই ধারণা যা ম্যাট্রিক্সকে অন্তর্ভুক্ত করে এবং পৃথক অবস্থায় পূর্বশর্তগুলি পুনরায় ব্যবহার করে তা অত্যন্ত শক্তিশালী প্রমাণিত হয়েছে এবং আমরা আজ সমীকরণের পূর্বশর্ত ব্যবস্থা সম্পর্কে কীভাবে চিন্তা করি তা সম্পূর্ণরূপে পরিবর্তিত হয়েছে। অবশ্যই এটি প্রাসঙ্গিক কারণ বেশিরভাগ আসল সমস্যাগুলি আসলে বাস্তবে সমীকরণের ব্যবস্থা।

Comments

মানুষ, হ্যাঁ, আমি তাই অনুগ্রহ চেয়েছিলেন! ;-)

— ওল্ফগ্যাং ব্যাঙ্গার্থ

আপনার দ্বিতীয় অনুচ্ছেদে: "তবে এটি ম্লান হয়ে গেছে যেহেতু এটি খুব ভালভাবে কাজ করে না।" এটি কেন খুব ভাল কাজ করে না সে সম্পর্কে কিছুটা অন্তর্দৃষ্টি দিতে পারেন? এটি কাজ করতে পারে যে পরিস্থিতিতে আছে?

— অ্যান্ড্রু টি বার্কার

সরাসরি মল্টিগ্রিড পুরো সিস্টেমগুলিতে প্রয়োগ করার কারণটি এতটা সফল প্রমাণিত হয়নি যে এটি স্মুথের সমীকরণের কাঠামোগত বৈশিষ্ট্যগুলি সংরক্ষণ করা প্রয়োজন, এবং এটি অর্জনের পক্ষে অদক্ষ। উদাহরণস্বরূপ, আপনি যদি স্টোকস সমীকরণগুলিতে মাল্টিগ্রিড প্রয়োগ করতে চান তবে আপনার একটি মসৃণ থাকতে হবে যা আপনাকে একটি বিচ্যুতি মুক্ত ভেক্টর দেয় যা আপনাকে বিচ্যুতি মুক্ত ভেক্টর দেয়। স্টোকসের জন্য এ জাতীয় স্মুথার রয়েছে তবে এটি নির্মাণ করা স্বতন্ত্র নয় এবং এটি সাধারণত মসৃণ / দ্রাবক হিসাবে গুণ থেকে দূরে সরে যায়। আরও বেশি জরুরী ক্ষেত্রে সম্পত্তি সংরক্ষণ করা অনেক বেশি কঠিন হয়ে পড়ে।

— ওল্ফগ্যাং ব্যাঙ্গার্থ

সিস্টেমগুলিতে জ্যাকোবি / এসএসআর / ইত্যাদি জাতীয়করণের জন্য: এই পদ্ধতির বেশিরভাগের জন্য ম্যাট্রিক্সের তির্যক এন্ট্রিগুলি ননজারো হওয়া দরকার। স্পষ্টতই এটি স্টোকসের ক্ষেত্রে নয়। সুতরাং পরবর্তী সহজ পদ্ধতি হ'ল পৃথক ম্যাট্রিক্স সারিগুলি না তাকানো ব্লকগুলি , উদাহরণস্বরূপ, একটি একক প্রান্তরের সাথে যুক্ত DoFs এর জন্য সমস্ত সারি। এগুলি হ'ল "পয়েন্ট-স্মুথারস" (ভারটেক্সের মতো পয়েন্ট) এবং তারা একটি ডিগ্রিতে কাজ করে তবে তারা যখন সমস্যা বড় হয়ে যায় তখন জ্যাকোবি / এসএসওআর হিসাবে তারা একই কার্য সম্পাদনের ফলে ভুগতে থাকে that এড়াতে, পূর্ববর্তী কন্ডিশনারকে বিশ্বব্যাপী তথ্য বিনিময় করতে হবে মাল্টিগ্রিডের মতো

— ওল্ফগ্যাং ব্যাঙ্গার্থ

মাল্টিগ্রিড হেলহোল্টজ সমাধানে বিখ্যাতভাবে অকার্যকর, কারণ বেশিরভাগ কারণে কম শক্তি দোলন মোডগুলি মসৃণ করা বা মোটা জায়গাতে প্রতিনিধিত্ব করা কঠিন। ওয়েভ-রে মাল্টিগ্রিডে কিছু কাজ হয়েছে, তবে গঠনটি খুব প্রযুক্তিগত এবং এটি এই মুহুর্তে একটি পরিপক্ক পদ্ধতি নয়। মনে রাখবেন যে এই ধরণের ব্লক পচন ব্যবহার করে অ-প্রতিসাম্যহীন সিস্টেমগুলিও সমাধান করা যেতে পারে। ভেরিয়েবলগুলির নির্বাচনের উপর নির্ভর করে (যেমন আদিম বনাম রক্ষণশীল), অবরুদ্ধ কাঠামোটি প্রকাশ করার জন্য পূর্বশর্তকের ভিতরে ভিত্তি পরিবর্তনের প্রয়োজন হতে পারে।

— জেড ব্রাউন

Answer 3

পূর্বশর্ত নির্ধারণের জন্য জ্যাক একটি ভাল পদ্ধতি দিয়েছেন। "আমি কী একটি ভাল পূর্বশর্ত তৈরি করি?" এই প্রশ্নটির একটি ঠিকানা চেষ্টা করব। অপারেশনাল সংজ্ঞাটি হ'ল:

$A x = b$$M^{-1}$$A^{-1}$

তবে এটি আমাদের পূর্বশর্ত ডিজাইন করার কোনও অন্তর্দৃষ্টি দেয় না। বেশিরভাগ পূর্বশর্তি অপারেটর স্পেকট্রামের কারসাজির উপর ভিত্তি করে। সাধারণভাবে, ক্রিলোভ পদ্ধতিগুলি দ্রুত রূপান্তরিত হয় যখন ইগেনভ্যালুগুলি ক্লাস্টার করা হয়, ম্যাট্রিক্স আইট্রেশনস বা মেরোমোরফিক ফাংশন এবং লিনিয়ার বীজগণিত দেখুন । কখনও কখনও আমরা পূর্বশর্ত ফলাফল প্রমাণ করতে পারি যে কেবলমাত্র কয়েকটি অনন্য ইগ্যালভ্যালু , উদাহরণস্বরূপ অনির্দিষ্ট লিনিয়ার সিস্টেমগুলির জন্য পূর্ব শর্তের উপর একটি নোট ।

একটি সাধারণ কৌশল মুলতিগ্রিড দ্বারা উদাহরণস্বরূপ। স্বাচ্ছন্দ্যের মতো স্বাচ্ছন্দ্য পূর্বশর্তগুলি (এখানে স্মুথারগুলি) ত্রুটিতে উচ্চ ফ্রিকোয়েন্সি উপাদানগুলি সরিয়ে দেয়। যখন অবশিষ্টাংশগুলি মোটা গ্রিডে প্রজেক্ট করা হয়, তখন কম ফ্রিকোয়েন্সি ত্রুটির উপাদানগুলি উচ্চতর ফ্রিকোয়েন্সি হয়ে যায় এবং আবার এসওআর দ্বারা আক্রমণ করা যেতে পারে। এই মৌলিক কৌশলটি এমজি এর আরও জটিল সংস্করণগুলিকে অন্তর্ভুক্ত করে, যেমন এএমজি। নোট করুন যে নীচে, সমাধানকারীকে ত্রুটির সর্বনিম্ন ফ্রিকোয়েন্সি সঠিকভাবে সমাধান করতে হবে।

আরেকটি কৌশলটির মধ্যে ছোট উপ-স্থানগুলিতে সমীকরণটি সমাধান করা জড়িত, যা ঠিক ক্রিলোভ সলভাররা করছেন। সর্বাধিক আকারে, এটি কাকমার্জ পদ্ধতি বা অ্যাডেটিভ শোয়ার্জ পদ্ধতি । এখানে তত্ত্বের উন্নত স্ট্রেন, ডোমেন পচন , ইন্টারফেসে ত্রুটির বর্ণাল অনুমানের দিকে মনোনিবেশ করে, যেহেতু ডোমেনগুলি মোটামুটি সঠিকভাবে সমাধান করা হয়েছে বলে ধরে নেওয়া হয়।

$A$ কিছু অর্থে, যা বিপরীতমুখী করা সহজ হয়, কিন্তু আসলে Krylov পুনরাবৃত্তির অভিসৃতি উন্নত যতদূর আমি জানি কোন গ্যারান্টী দিতে। এই পূর্বশর্তীদের মধ্যে অসম্পূর্ণ ফ্যাক্টেরাইজেশন (আইসিসি, আইএলইউ), বিরল আনুমানিক ইনভার্স (এসপিএআই) এবং কিছু নিম্ন স্তরের আনুমানিক অন্তর্ভুক্ত রয়েছে।

Comments

ধন্যবাদ তোমার উত্তরের জন্য. আমাদের পূর্ববর্তী শর্তটি বড় ব্যবস্থাগুলির জন্য কাজ করে - এবং সম্ভবত কীভাবে এটি বাস্তবে করা উচিত বা হওয়া উচিত তা প্রমাণ করার জন্য আমাদের কতদূর যেতে হবে সে সম্পর্কে কোনও অভিজ্ঞতা । এটি আমার অভিজ্ঞতা যে অনেক সিস্টেমের জন্য আমাদের

— স্বজ্ঞাততা

আমি মনে করি অন্তর্দৃষ্টি খুব দূরে চলেছে। আমি বাস্তবে যা দেখি তা সাধারণ পদ্ধতির প্রমাণ। তারপরে একটি যুক্তি যে কিছু পরিবর্তন কোনও প্যারামিটারের প্রতি সংবেদনশীল হওয়া উচিত, বা একটি নির্দিষ্ট ধরণের বৈচিত্র। তারপরে এটি দেখানো সংখ্যাসূচক পরীক্ষা-নিরীক্ষার প্রকরণের এই মডেলের বাইরেও কাজ করে।

— ম্যাট নিপলি