আমি ওডিডি কঠোর কিনা তা সংখ্যাগতভাবে নির্ধারণের জন্য আমি একটি সুস্পষ্ট সময়ের পদক্ষেপের স্কিম ব্যবহার করতে পারি?

10

আমার একটি ওডিই আছে:

$u'=-1000u+sin(t)$
$u(0)=-\frac{1}{1000001}$

আমি জানি যে এই নির্দিষ্ট ওডিই কঠোর, বিশ্লেষণাত্মকভাবে। আমি আরও জানি যে আমরা যদি একটি সুস্পষ্ট (ফরোয়ার্ড) সময় স্টেপিং পদ্ধতি (ইউরার, রঞ্জ-কোট্টা, অ্যাডামস ইত্যাদি) ব্যবহার করি তবে সময় পদক্ষেপটি খুব বেশি হলে পদ্ধতিটি খুব বড় ত্রুটি ফিরে পাওয়া উচিত। সুতরাং, আমার দুটি প্রশ্ন রয়েছে:

ত্রুটি শব্দটির জন্য বিশ্লেষণাত্মক অভিব্যক্তি উপলভ্য বা অনুপলব্ধ না হলে সাধারণত কী কঠোর ওডিইডি নির্ধারণ করা হয়?
সাধারণভাবে, যখন ওডিই কঠোর হয়, আমি "ছোট যথেষ্ট" টাইমস্টেপ কীভাবে নির্ধারণ করব?

ode stiffness time-integration

— পল
সূত্র

সুস্পষ্ট পদ্ধতি ব্যবহার করে শক্ততা সনাক্তকরণের জন্য মানক পদ্ধতি রয়েছে। আমি এই মন্তব্যটি এখানে রাখছি কারণ আমার আরও বিস্তারিত উত্তর খুব নিচে পাওয়া খুব কঠিন হতে পারে।

— ডেভিড কেচসন 21

6

আপনার প্রশ্নের উত্তর দিতে:

যতদূর আমি জানি, বাস্তবে , সঠিক ফলাফলগুলি অর্জনের জন্য যদি সুস্পষ্ট পদ্ধতির জন্য আপনার আগ্রহের সময়সীমার তুলনায় অল্প সময়ে স্বল্প সময়ের পদক্ষেপের প্রয়োজন হয় ( ওডিই কঠোর হওয়ার অর্থ কী এই প্রশ্নের উত্তর দেখুন ), তবে সমস্ত অভিপ্রায় এবং উদ্দেশ্য, আপনার সমস্যা কঠোর। পদক্ষেপের আকারের প্রয়োজনীয়তা নির্ধারণের জন্য, বিশেষজ্ঞদের দ্বারা লিখিত অনেকগুলি গ্রন্থাগারের মধ্যে একটিতে ভরসা করুন (ম্যাটল্যাব স্যুটের একটি উদাহরণ, এছাড়াও SUNDIALS, VODE, DASPK, DASSL, LSODE, ইত্যাদি), যা অভিযোজিত সময় পদক্ষেপের উত্তাপের সময় গ্রহণ করে। অনুশীলন ব্যবস্থায় ব্যবহার করা হয় এমন নিয়মের একটি উদাহরণ দেওয়ার জন্য, প্যাকেজ সময় গ্রহণের সময়গুলির আকার নির্ধারণ করতে তারা যে সিদ্ধান্তের নিয়ম ব্যবহার করে সেগুলি ব্যাখ্যা করে SUNDIALS ম্যানুয়াল।
আবার, আমি অনুশীলনের সময় অভিযোজিত সময় সহ একটি লাইব্রেরি ব্যবহার করব, কারণ এটি করা আরও দক্ষ। তবে, আপনি যদি নিজের দ্বারা কোনও পদ্ধতি কোড করে যাচ্ছেন, স্থির পদক্ষেপের মাপগুলি ব্যবহার করে, যদি আপনি বড় দুটি দোলনা বা আপনার সমাধান "বয়ে যেতে" লক্ষ্য করেন, তবে আপনি সন্দেহ করতে পারেন যে আপনার সময়ের পদক্ষেপটি খুব বড়, এবং এটি হ্রাস করুন। আপনি যথাযথভাবে আচরণযুক্ত সংখ্যাসূচক সমাধান না পাওয়া পর্যন্ত পুনরাবৃত্তি করুন। আসচার এবং পেটজোল্ড এবং হায়ার এবং ওয়ানার এর মতো পাঠ্যপুস্তকে এই ঘটনার ভাল উদাহরণ রয়েছে।

— জিওফ অক্সবেরি
সূত্র

9

এটি দেখার আরও ভাল উপায় হ'ল কোনও শক্ত সমস্যার জন্য, কোনও স্থিতিশীল স্পষ্ট গণনা একটি ত্রুটির দিকে নিয়ে যায় যা প্রয়োজনীয় ত্রুটি সহনশীলতার চেয়ে অনেক ছোট ।

সুস্পষ্ট স্কিমগুলি, বিশেষত এম্বেডড রঞ্জ-কত্তা জুড়ি ব্যবহার করে স্বয়ংক্রিয়ভাবে কঠোরতা সনাক্ত করার জন্য অনেকগুলি ভাল পদ্ধতি রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ দেখুন:

ফ্যালিচিকের দ্বিতীয় উদাহরণে, পদক্ষেপের আকার হ্রাস হওয়ায় স্থিতিশীল টাইমস্টেপ থ্রোহোল্ডটি অতিক্রম করার সাথে সাথে ত্রুটিটিতে একটি সাধারণ কাঙ্ক্ষিত সহনশীলতার অনেক নিচে স্তরে হঠাৎ নাটকীয় হ্রাস দেখা যায়। সুতরাং একটি ভাল ত্রুটি অনুমানকারী সত্যই সমস্যার দৃff়তা প্রকাশ করবে। প্রথম সমস্যায়, একটি স্থিতিশীল পদক্ষেপের আকারের সাথে প্রাপ্ত ত্রুটিটি সাধারণত পছন্দসই সহনশীলতার সীমার মধ্যে থাকবে, অ-কঠোরতার পরিচায়ক।

ফলস্বরূপ নোট করুন যে পর্যাপ্ত কঠোর ত্রুটি সহনশীলতার প্রয়োজন হলে যে কোনও সমস্যা অ-কঠোর হয়ে যায়।

— ডেভিড কেচসন
সূত্র

2

আপনার উত্তরটি দেখার আগে সেগুলি আমি লিঙ্ক করতে যাচ্ছিলাম। অবশ্যই +1 :) আমাকে যোগ করুন এই , এই , এবং পরিশেষে এই । এটি অবশ্যই একটি সুচরিত সমস্যা ...

— জেএম

9

১. আমরা কি কেবল সুস্পষ্ট পদ্ধতি প্রয়োগের মাধ্যমে সংখ্যাকে কঠোরতা সনাক্ত করতে পারি?

$[0,10]$ $\tau=1$ $\tau$

$\tau=0.1$

$\tau=0.1$ $[0,10]^\star$

তাহলে, সমস্যাটি কি কঠোর? উত্তর নেই ! সমাধানের দোলকগুলি সঠিকভাবে পুনরুত্পাদন করতে এখানে ছোট স্টেপসাইজের প্রয়োজন ।

$y^{'} (t) = - 2 \cos π t, y (0) = 1.$ $y'(t)=-2\cos \pi t,\quad y(0)=1.$

$\tau=1$

$\tau=0.1$

$\tau=0.1$ $[0,10]^\star$

এই সমস্যা কি শক্ত? হ্যাঁ ! সমাধানটি পুনরুত্পাদন করতে আমরা খুব ছোট ছোট পদক্ষেপ নিয়েছি যা খুব ধীরে ধীরে পরিবর্তিত হচ্ছে। এটা অযৌক্তিক! এখানে সময়ের পদক্ষেপের মাত্রা সুস্পষ্ট ইউলারের স্থায়িত্ব বৈশিষ্ট্যের দ্বারা সীমাবদ্ধ ।

এই সমস্যাটি হ'ল

$y^{'} (t) = - 2 y (t) + \sin t / 2, y (0) = 1.$ $y'(t)=-2 y(t)+\sin t/2,\quad y(0)=1.$

$^\star$

উপসংহার: টাইমস্টেপগুলি এবং সম্পর্কিত ত্রুটিগুলি সম্পর্কিত তথ্য কঠোরতা সনাক্ত করতে পর্যাপ্ত নয়। প্রাপ্ত সমাধানটিও আপনার দেখতে হবে। যদি এটি ধীরে ধীরে পরিবর্তিত হয় এবং স্টেপসাইজ খুব ছোট হয় তবে সমস্যাটি সম্ভবত বেশ কড়া হওয়ার সম্ভাবনা থাকে। যদি সমাধানটি দ্রুত দোলায় এবং আপনি নিজের ত্রুটি অনুমানের কৌশলটিতে বিশ্বাস করেন তবে এই সমস্যাটি কঠোর নয়।

২. সর্বাধিক স্টেপসাইজ কীভাবে নির্ধারণ করবেন যা সুস্পষ্ট পদ্ধতিতে কঠোর সমস্যা সংহত করতে দেয়?

আপনি যদি অটোমেটিক স্টেপ কন্ট্রোল সহ কিছু ব্ল্যাক-বাক্সের স্পষ্টত দ্রাবক ব্যবহার করেন তবে আপনার কিছু করার দরকার নেই: সফ্টওয়্যারটি প্রয়োজনীয় পদক্ষেপগুলি অভিযোজিতভাবে গ্রহণ করবে।

$[\Lambda,0]$ $\Lambda=-1000$

$[-2,0]$ $\tau$ $\Lambda\tau$

τ \leq \frac{2}{| Λ |} .

$\tau\leq \frac{2}{|\Lambda|}.$

τ \leq \frac{1}{| Λ |},

$\tau\leq \frac{1}{|\Lambda|},$

1 / | Λ | < τ \leq 2 / | Λ |

$1/|\Lambda|<\tau \leq 2/|\Lambda|$

অবশ্যই এই জাতীয় বিশ্লেষণটি বেশিরভাগ ক্ষেত্রে পরিচিত বর্ণালী সহ রৈখিক সমস্যার জন্য প্রযোজ্য। আরও ব্যবহারিক সমস্যার জন্য আমাদের কঠোরতা সনাক্তকরণের সংখ্যাসমূহের উপর নির্ভর করা উচিত (অন্যান্য উত্তরে রেফারেন্স এবং মন্তব্য দেখুন)।

— faleichik
সূত্র

ডেভিডের সাথে লিঙ্কিত কয়েকটি কাগজে যেমন উল্লেখ করা হয়েছে, প্রভাবশালী ইগেনভ্যালুগুলি (উপযুক্তভাবে সংশোধিত) সন্ধানের পাওয়ার পদ্ধতিটি জ্যাকবীয়-ভিত্তিক কঠোরতা সনাক্তকারীদের জন্য একটি সাধারণ পছন্দ।

— জেএম