তির্যকভাবে প্রভাবশালী ম্যাট্রিকগুলিতে পুনরাবৃত্ত পদ্ধতিগুলির নিরাপদ প্রয়োগ

ধরুন নিম্নলিখিত রৈখিক সিস্টেম দেওয়া হয় যেখানে ভরযুক্ত Laplacian ইতিবাচক হিসেবে পরিচিত দ্বারা নির্দিষ্ট একটি এক মাত্রিক নাল স্থান সঙ্গে দৃশ্যও , এবং of এর অনুবাদ বৈকল্পিক , অর্থাৎ, ফাংশনের মান পরিবর্তন করে না (যার ডেরিভেটিভ )। এর একমাত্র ধনাত্মক এন্ট্রিগুলি তার তির্যকে রয়েছে যা নেতিবাচক অফ-তির্যক এন্ট্রিগুলির পরম মানগুলির সংমিশ্রণ।

\begin{matrix} (1) & L x = c, \end{matrix}

$Lx=c,\tag1$

L

$L$

s e m i -

$semi-$

1_{n} = (1, \dots, 1) \in R^{n}

$1_n=(1,\dots,1)\in\mathbb{R}^n$

x \in R^{n}

$x\in\mathbb{R}^{n}$

x + a 1_{n}

$x+a1_n$

(1)

$(1)$

L

$L$

আমি পাওয়া যায় এক অত্যন্ত তার ক্ষেত্রে একাডেমিক কাজ যে, যদিও উদাহৃত হয় তির্যকভাবে প্রভাবশালী, এই ধরনের অনুবন্ধী গ্রেডিয়েন্ট, গাউস-Seidl, Jacobi, যেমন পদ্ধতি এখনো নিরাপদে সমাধানের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে । যুক্তিপূর্ণ কারণ অনুবাদ invariance এর, এক এক বিন্দু (যেমন। প্রথম সারিতে এবং কলাম অপসারণ ফিক্স নিরাপদ হয়, এবং থেকে প্রথম এন্ট্রি ), এইভাবে রূপান্তর একটি থেকে তির্যকভাবে প্রভাবশালী ম্যাট্রিক্স। যাই হোক, মূল সিস্টেমের পূর্ণ আকারে সমাধান করা হয় , সঙ্গে । $L$ $not~strictly$ $(1)$ $L$ $c$ $L$ $strictly$ $(1)$ $L\in\mathbb{R}^{n\times n}$

এই ধারণাটি কি সঠিক, এবং যদি তাই হয় তবে বিকল্প যুক্তি কী? আমি পদ্ধতিগুলির একীকরণটি কীভাবে এখনও ধরে আছে তা বোঝার চেষ্টা করছি।

যদি জ্যাকোবি পদ্ধতিটি সাথে একত্রিত হয় তবে পুনরাবৃত্ত ম্যাট্রিক্স ব্যাসার্ধ সম্পর্কে কোনটি বলতে পারে , যেখানে এর তির্যক এন্ট্রি সহ তির্যক ম্যাট্রিক্স ? Is , এইভাবে সাধারণ অভিসৃতি গ্যারান্টী থেকে আলাদা জন্য ? আমি এই eigenvalues যেহেতু জিজ্ঞেস করছি Laplacian ম্যাট্রিক্স তির্যক উপর বেশী সঙ্গে করা উচিত সীমার মধ্যে হতে । $(1)$ $\rho$ $D^{-1}(D-L)$ $D$ $L$ $\rho(D^{-1}(D-L)\leq1$ $\rho(D^{-1}(D-L))<1$ $D^{-1}L$ $[0, 2]$

মূল কাজ থেকে:

......................................

প্রতিটি পুনরাবৃত্তিতে, আমরা নিম্নলিখিত লিনিয়ার সিস্টেমটি সমাধান করে একটি নতুন বিন্যাস (x (t +1), y (টি + 1) গণনা করি: সাধারণতার ক্ষতি ছাড়াই আমরা এর একটির অবস্থান ঠিক করতে পারি সেন্সরগুলি (স্থানীয়করণের চাপের মুক্তির অনুবাদ ডিগ্রি ব্যবহার করে) এবং কঠোরভাবে তির্যকভাবে প্রভাবশালী ম্যাট্রিক্স পান। সুতরাং, আমরা নিরাপদে সমাধানের জন্য জ্যাকোবি পুনরাবৃত্তিটি ব্যবহার করতে পারি (8)

\begin{matrix} (8) & L \cdot x (t + 1) = L (x (t), y (t)) \cdot x (t) L \cdot y (t + 1) = L (x (t), y (t)) \cdot y (t) \end{matrix}

$L · x(t + 1) = L(x(t),y(t)) · x(t) \\ L · y(t + 1) = L(x(t),y(t)) · y(t) \tag 8$

.......................................

উপরের দিক থেকে, "পুনরাবৃত্তি" ধারণাটি অন্তর্নিহিত ক্ষুদ্রাকরণ পদ্ধতির সাথে সম্পর্কিত, এবং জ্যাকোবি পুনরাবৃত্তির সাথে বিভ্রান্ত হওয়ার দরকার নেই। সুতরাং, সিস্টেমটি জ্যাকোবি (পুনরাবৃত্তভাবে) দ্বারা সমাধান করা হয়েছে, এবং তারপরে সমাধানটি (8) এর ডানদিকে কিনে নেওয়া হয়েছে, তবে এখন অন্তর্নিহিত মিনিমাইজেশনের আরও একটি পুনরাবৃত্তির জন্য। আমি আশা করি এটি বিষয়টি পরিষ্কার করে দেবে।

নোট করুন যে আমি খুঁজে পেয়েছি কোন পুনরাবৃত্ত লিনিয়ার সলভারগুলি ধনাত্মক সেমাইডাইফিনেট ম্যাট্রিক্সের জন্য রূপান্তর করে? , তবে আরও বিস্তৃত উত্তর খুঁজছি।

— usero
সূত্র

আপনি উচ্চ উদ্ধৃত কাজের একটি লিঙ্ক বা উদ্ধৃতি পোস্ট করতে পারেন?

— জিওফ অক্সবেরি

এটি থেকে পুনরুদ্ধার করা যেতে পারে: citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.164.1421 যেহেতু আপনি পুরো কাজটি পড়বেন বলে আশা করা হচ্ছে না, তাই p.7 (নীচে) একবার দেখুন। আমি মনে করি পুনরাবৃত্ত সমাধানকারীদের পছন্দটি ন্যায়সঙ্গত হয়েছে তবে আমি মনে করি একটি আরও ভাল (বা, কমপক্ষে, আলাদা) যুক্তি প্রয়োজন needed

— ব্যবহারের

আমি ভাবছি যে এই ছেলেরা সম্মিলিত পূর্বশর্ত হিসাবে একই সম্প্রদায়ের।

— শুহালো

উত্তর:

জেকোবি পুনরাবৃত্তিটি অভিজাত হিসাবে প্রমাণিত হতে পারে।

আপনার প্রথম যে বিষয়টি নিশ্চিত করা উচিত তা হ'ল , যা সমাধানের অস্তিত্বের শর্ত (আমি ধরে নিয়েছি , অন্যথায় আপনার প্রয়োজন need ) কারণ তুমি বলেছিলে । আমরা কনভেনশনটি ব্যবহার করব যে ম্যাট্রিক্স যার সাথে কলামগুলি এর অরনমিতিক ভিত্তি রয়েছে। আপনার ক্ষেত্রে, । $c^T \mathbf{1}_n = 0$ $L=L^T$ $c\in (\mathrm{Ker} L^T)^\perp$ $V_0:=\mathrm{Ker} L = \mathrm{span}\{\mathbf{1}_n\}$ $V_0$ $V_0:=\mathbf{1}_n/\sqrt{n}$

তারপরে, মূল সিস্টেমে পুনরাবৃত্তির ত্রুটির জন্য আপনার কাছে যেখানে হ'ল দিকে অরথোগোনাল প্রজেকশন । উপরে পুনরাবৃত্তির থেকে আমরা জানি যে যা থেকে আমরা পুনরাবৃত্তির ম্যাট্রিক্স আছে এ , এমন নয় যে একই বর্ণালীতে (শূন্য ব্যতীত) হয়েছে নিম্নলিখিত ম্যাট্রিক্স সঙ্গে আমরা বর্ণালী ব্যাসার্ধ চাই

e_{1} = (I - D^{- 1} L) e_{0} = (I - D^{- 1} L) (P e_{0} + V_{0} a) = (I - D^{- 1} L) P e_{0} + V_{0} a,

$e_1 = (I-D^{-1}L)e_0 = (I-D^{-1}L) (P e_0 + V_0a)=(I-D^{-1}L) P e_0 + V_0a,$

P := I - V_{0} V_{0}^{'}

$P:=I-V_0V_0'$

V_{1} := V_{0}^{⊥}

$V_1:=V_0^\perp$

P e_{1} = P (I - D^{- 1} L) P e_{0},

$P e_1 = P (I-D^{-1}L) P e_0,$

S

$S$

V_{1}

$V_1$

S := P (I - D^{- 1} L) P .

$S: = P (I-D^{-1}L) P.$

S

$S$

\tilde{S} := (I - D^{- 1} L) P P = (I - D^{- 1} L) P = (I - D^{- 1} L) (I - V_{0} V_{0}^{'}) = I - D^{- 1} L - V_{0} V_{0}^{'} .

$\tilde{S}:= (I-D^{-1}L) P P=(I-D^{-1}L) P=(I-D^{-1}L)(I-V_0V_0')\\ =I-D^{-1}L-V_0V_0'.$

S

$S$ একেরও কম অভিভাবক প্রমাণ করতে।

নিম্নলিখিত উদ্ধৃতিটি পুরানো এবং শুধুমাত্র রেফারেন্সের জন্য রাখা হয়েছে। নতুন প্রমাণের জন্য দেখুন।

আপনার ক্ষেত্রে, এবং আপনি যাচাই করতে পারেন যে কঠোরভাবে তির্যক-প্রভাবশালী এই ধারণাটি ব্যবহার করে যে এর এন্ট্রিগুলি ক্ষেত্রে ইতিবাচক এবং অন্যথায় নেতিবাচক। এর eigenvalues দেখাতে বাস্তব আমরা লক্ষ করুন যে, ম্যাট্রিক্স ভেতরের পণ্যের অধীনে স্ব-adjoint হয়, $V_0V_0'=\frac{1}{n}\mathbf{1}_{n\times n}.$ $D^{-1}L+V_0V_0'$ $L$ $D^{-1}L+V_0V_0'$ $<x,y>:=y^TDx.$

যদি আপনার নির্দিষ্ট ফর্মটিতে না থাকে তবে আমি রূপান্তর প্রশ্নের কোনও উত্তর খুঁজে পাইনি। কেউ কি এই ব্যাখ্যা করতে পারে? $V_0$

দ্রষ্টব্য যে হ'ল এর ইগেনভ্যালু এর সাথে সম্পর্কিত ইগেন-ভেক্টর । পর্যবেক্ষণের ভিত্তিতে, আমরা জিউ ডিং এবং আই-হুই চি'র কিছু অ্যাপ্লিকেশন সহ র‌্যাঙ্ক-ওয়ান আপডেট ম্যাট্রিকের ইগেনভ্যালু থেকে থিওরেমকে ২.১ কল করি । $V_0$ $1$ $I-D^{-1}L$

উপপাদ্য 2.1 যাক এবং দুই হতে -dimensional কলাম ভেক্টর যেমন যে একজন eigenvector হয় eigenvalue সঙ্গে যুক্ত । তারপরে, এর ইগেনভ্যালুগুলি বীজগণিতের সংখ্যাবৃদ্ধি। $u$ $v$ $n$ $u$ $A$ $\lambda_1$ $A+uv^T$ $\{\lambda_1+u^Tv,\lambda_2,\ldots,\lambda_n\}$

তারপরে, আমরা জানি যে same as এর সমান হয় না, তবে পরবর্তীটির ইগেনভ্যালু দ্বারা পূর্বের ইগেনভ্যালু শূন্যে স্থানান্তরিত হয় । যেহেতু , আমাদের । $\tilde{S}$ $I-D^{-1}L$ $1$ $-1$ $\rho(I-D^{-1}L)\subset (-1,1]$ $\rho(\tilde{S})\subset (-1,1)$

— হুই ঝাং
সূত্র

উত্তর করার জন্য ধন্যবাদ. অনুরূপ কিছু আমি বিবেচনা করেছি: যথা উপরে, ওজনযুক্ত ল্যাপ্লেসিয়ান উপরের হিসাবে কাঠামোযুক্ত , এটি দেখানো যেতে পারে যে এর ইজেনভ্যালুগুলি , সুতরাং বর্ণালির ব্যাসার্ধের সাথে (একটি ইগন্যাল্যুও চেয়ে বড় , এবং কমপক্ষে একটি )। অতএব, পুনরাবৃত্তির ম্যাট্রিক্স ভুতুড়ে ব্যাসার্ধ তারপর কম , কেন্দ্রমুখী Jacobi সঙ্গে অত: পর। ( বাদে ) বর্ণের ব্যাসার্ধের উপরের অনুমানটি নিরাপদ নয়?

D^{- 1} L

$D^{-1}L$

[0, 2)

$[0, 2)$

(0, 2)

$(0, 2)$

0

$0$

0

$0$

I - D^{- 1} L

$I-D^{-1}L$

1

$1$

I - D^{- 1} L

$I-D^{-1}L$

0

$0$

— Usero

আমি মনে করি এর বর্ণালী এ থাকা উচিত , এটি এ বন্ধ রয়েছে । আপনি কীভাবে বাদ পড়তে পারেন তা আমি জানি না । আমার দৃষ্টিকোণ থেকে, (জার্গগোরিয়ান সার্কেল উপপাদ্য) [ en.wikiki.org/wiki/Gershgorin_circle_theorem] কেবল সহ অনুমান দিতে পারে । যদি মামলা, এর ভুতুড়ে ব্যাসার্ধ্যের অনুমান হয় এর কার্নেলের মধ্যে ভেক্টর দিয়ে সমতা সাধনযোগ্য সঙ্গে । আমি মনে করি আপনি যে রূপান্তরটি চান তা হ'ল অরথোগোনাল পরিপূরক স্পেসে উপরের উল্লিখিত হয়েছে।

D^{- 1} L

$D^{-1}L$

[0, 2]

$[0,2]$

2

$2$

2

$2$

2

$2$

I - D^{- 1} L

$I-D^{-1}L$

\leq 1

$\leq 1$

L

$L$

V_{1}

$V_1$

— হুই ঝাং

আপনি math.ucsd.edu/~fan/research/cb/ch1.pdf এর লেমমা ১.7 (ভি) এ একবার দেখতে পারেন, সুতরাং ম্যাট্রিক্স সম্পূর্ণ গ্রাফের ওজনযুক্ত ল্যাপ্লেসিয়ান হিসাবে বিবেচিত হতে পারে বাদে । আমি অনুমান এটা অভিসৃতি প্রমাণ জন্য একটি যথেষ্ট যুক্তি রয়েছে? ........... আপনার পদক্ষেপ কেন্দ্র করে পরলোক iterates অন্যান্য প্রাক / পোস্ট প্রক্রিয়াকরণ প্রয়োজন আছে । আমি জিজ্ঞেস করছি কারণ আপনার চালু আর বর্ণালীতে সংক্রান্ত : প্রদত্ত যে ভুতুড়ে ব্যাসার্ধ ( এর) হয় , যোগে , this এটি কি যথেষ্ট যথেষ্ট যুক্তি নয়?

D^{- 1} L

$D^{−1}L$

2

$2$

c

$c$

V_{0}

$V_0$

I - D^{- 1} L - V_{0} V_{0}^{'}

$I-D^{-1}L-V_0V_0'$

s r

$sr$

I - D^{- 1} L

$I-D^{-1}L$

(0, 1]

$(0, 1]$

- \frac{1}{n}

$-\frac{1}{n}$

s r < 1

$sr<1$

— ব্যবহারের

হাই, একটি ভাল বইয়ের দিকে নির্দেশ করার জন্য ধন্যবাদ। তবে আমি পেয়েছি আমি তাত্ক্ষণিকভাবে নজর দিতে পারি না। আপনার শেষ যুক্তি সম্পর্কে, এটি উপরের "উত্তর" এর মতো প্রায় একই রকম হয়। কেবল সতর্কতা অবলম্বন করুন, আপনি যোগ করছেন না তবে , সুতরাং এটি এর কোনও সহজ সংযোজন নয় । সাধারণত, দুটি ম্যাট্রিক্সের সমষ্টি হয় না সহজ যোগফল পৃথক ম্যাট্রিক্সের এর।

\frac{1}{n}

$\frac{1}{n}$

\frac{1}{n} 1_{n \times n}

$\frac{1}{n}\mathbf{1}_{n\times n}$

s r

$sr$

I - D^{- 1} L

$I-D^{-1}L$

s r

$sr$

s r

$sr$

— হুই ঝাং

ভাল যে আপনি এটি নির্দেশ করেছেন। আপনার পদ্ধতির জন্য কি কেন্দ্রের বাইরেও পুনরাবৃত্তির অন্যান্য প্রাক / পোস্ট-প্রসেসিং প্রয়োজন? আমি জিজ্ঞাসা করছি কারণ আপনি প্রবর্তন করেছিলেন এবং আমি ভেবেছিলাম যে আপনি নাল-স্থানটি প্রজেক্ট করার কথা বলছেন। যদি তাই হয় তবে অভিক্ষেপটি কি বাস্তবে রূপগ্রহণের জন্য নাল-স্পেস আউট দরকার?

V_{0}

$V_0$

— ব্যবহারের

ক্রিলোভ পদ্ধতিগুলি স্পষ্টভাবে তারা যে জায়গাগুলিতে পুনরাবৃত্তি হয় তার মাত্রিকতা কখনই ব্যবহার করে না, সুতরাং আপনি এগুলি একক সিস্টেমে চালিয়ে নিতে পারবেন যতক্ষণ না আপনি নল-নাল সাবসপেসে পুনরাবৃত্তি রাখেন। এটি সাধারণত প্রতিটি পুনরাবৃত্তিতে শূন্য স্থানটি প্রজেক্টের মাধ্যমে করা হয়। দুটি জিনিস ভুল হতে পারে, প্রথমটি দ্বিতীয়টির চেয়ে অনেক বেশি সাধারণ।

পূর্ববর্তী কন্ডিশনার একক অপারেটর প্রয়োগ করা হয় যখন অস্থির। সরাসরি সমাধানকারী এবং অসম্পূর্ণ ফ্যাক্টেরাইজেশনের এই সম্পত্তি থাকতে পারে। একটি ব্যবহারিক বিষয় হিসাবে, আমরা কেবলমাত্র বিভিন্ন পূর্বশর্ত বেছে নিই, তবে একক সিস্টেমের জন্য পূর্ব শর্তগুলির নকশা করার আরও নীতিগত উপায় রয়েছে, যেমন ঝাং (২০১০) ।
কিছু পুনরাবৃত্তির সময়, নন-নাল সাবস্পেসে থাকে তবে পুরো শূন্য স্থানে থাকে। এটি কেবলমাত্র অযৌক্তিক ম্যাট্রিক্সের সাহায্যেই সম্ভব। এই দৃশ্যপটে অযাচিত GMRES ভেঙে যায় তবে ব্রেকডাউন ফ্রি ভেরিয়েন্টগুলির জন্য রিচেল এবং ইয়ে (2005) দেখুন । $x$ $A x$

পিইটিএসসি ব্যবহার করে একক সিস্টেমগুলি সমাধান করতে, দেখুন KSPSetNullSpace()। বেশিরভাগ পদ্ধতি এবং পূর্বশর্তগুলি একক পদ্ধতিতে সমাধান করতে পারে। অনুশীলনে, নিউম্যান সীমানা শর্তগুলির সাথে পিডিইগুলির জন্য ছোট নাল স্পেস প্রায় কখনওই সমস্যা হয় না যতক্ষণ আপনি নাল জায়গার ক্রাইলোভ সলভারকে অবহিত করেন এবং যুক্তিসঙ্গত পূর্বশর্ত নির্বাচন করেন।

মন্তব্যগুলি থেকে মনে হচ্ছে আপনি জ্যাকবীর প্রতি বিশেষভাবে আগ্রহী। (কেন? Jacobi একটি multigrid বাধামুক্ত হিসাবে দরকারী, কিন্তু অনেক ভালো পদ্ধতি solvers হিসাবে ব্যবহার করার জন্য আছে।) Jacobi প্রয়োগ যখন ভেক্টর বিন্দুতে মিলিত হয় না এর নাল স্থান একটি উপাদান রয়েছে , কিন্তু, নাল স্পেসে অরথোগোনাল সমাধানের অংশটি একত্রিত হয়, সুতরাং আপনি যদি প্রতিটি পুনরাবৃত্তের থেকে নাল স্থানটি প্রজেক্ট করেন তবে এটি রূপান্তরিত হয়। বিকল্পভাবে, আপনি যদি একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং প্রাথমিক অনুমান চয়ন করেন তবে পুনরাবৃত্ত (সঠিক গাণিতিক ক্ষেত্রে) নাল স্থানটিতে উপাদানগুলি জমে না। $A x = b$ $b$ $A$ $b$

— জেড ব্রাউন
সূত্র

আপনি ভিত্তির একটি অরথোগোনাল পরিবর্তন সম্পাদন করতে পারেন যাতে ত্রিভুজটিতে একটি শূন্য থাকে (যে কোনও অরথোগোনাল ম্যাট্রিক্স পান যেখানে প্রথম কলামটি ধ্রুবক ভেক্টর হয়)। এই রূপান্তর অধীনে , ম্যাট্রিক্স এখনও প্রতিসম ইতিবাচক আধা নির্দিষ্ট, কিন্তু প্রথম তির্যক এন্ট্রি 0 তাই Jacobi সরাসরি আবেদন ব্যর্থ হবে হয়। যেহেতু ঘন, আপনি এটি করবেন না তবে এটি দেখায় যে ভিত্তিটি গুরুত্বপূর্ণ। যদি শূন্য স্থানের জন্য অরথোগোনাল ভিত্তি হয়, তবে জিএমআরইএস অনুমান করা হয় কেবলমাত্র I ।

Q

$Q$

A_{1} = Q^{T} A Q

$A_1 = Q^T A Q$

A_{1}

$A_1$

A_{1}

$A_1$

Z

$Z$

(I - Z) P^{- 1} A x = (I - Z) P^{- 1} b

$(I-Z)P^{-1} A x = (I-Z)P^{-1} b$

— জেড ব্রাউন

হুম, মনে হচ্ছে আমি মুছে ফেলা একটি মন্তব্যে জবাব দিয়েছি। মন্তব্যটি এখানে কার্যকর রাখার জন্য রেখে দেব।

— জেদ ব্রাউন

উত্তরের জন্য ধন্যবাদ, এটি তখন অনেক উচ্চতর বিশেষায়িত স্তরে যা আমি আশা করেছিলাম। সুতরাং, আমার এখানে কিছু গাইডের প্রয়োজন হবে: 1) প্রতিটি পুনরাবৃত্তিতে শূন্য স্থানটি কীভাবে প্রজেক্ট করা যায়? 2) আমার বোঝার মধ্যে, আপনি বলেছিলেন যে জ্যাকোবি অ্যাপ্লিকেশনটি সিস্টেমে প্রাথমিকভাবে বর্ণিত হিসাবে সঠিক সমাধানে রূপান্তর করতে পারে না (অর্থাত্ পুনরাবৃত্তিগুলি আরও ভাল সমাধানের প্রাক্কলন পাচ্ছে না)। সুতরাং এটি বিভিন্ন পূর্বশর্ত নির্বাচন করার পরামর্শ দেওয়া হয়? যদি তা হয়, তবে এটি কি কার্যত সাথে আচরণের উপর গতিশীল চেককে বোঝায় এবং সমস্যা দেখা দিলে পরিবর্তিত হয় (লিনিয়ার সিস্টেমের উপরের ক্ষেত্রে)?

d i a g (A)

$diag(A)$

— usero

আমার 1) উপরের দিক থেকে হিসাবে বিবেচনা করা উচিত: প্রাথমিকভাবে পোস্ট করা সিস্টেমের সাথে জ্যাকোবি পুনরাবৃত্তিটি দেওয়া হলে, নালস্পেসটি প্রজেক্ট করার দরকার আছে এবং যদি তাই হয় তবে আপডেটের মধ্যে কেউ কীভাবে এটি অন্তর্ভুক্ত করতে পারে? ? পুনরাবৃত্তি পোস্ট পোস্ট করা এবং জন্য পোস্টপ্রসেসড সংস্করণ বিবেচনা করা হচ্ছে ?

X_{k + 1} = D^{- 1} (b - (A - D) X_{k})

$X_{k+1}=D^{-1}(b-(A-D)X_k)$

X_{k + 1}

$X_{k+1}$

X_{k}

$X_{k}$

— usero

যুক্তিসঙ্গত ভিত্তিতে, জ্যাকবিকে স্থিতিশীল হওয়া উচিত। এটি তির্যকটিতে 1 টি ব্যবহার করতে পারে যদি তির্যক ম্যাট্রিক্স উপাদান 0 হয়, প্রক্ষেপণটি নাল স্থানটি সরিয়ে দেয়। আপনি কি সিজি বা জিএমআরইএসের মতো কোনও ক্রিলোভ পদ্ধতি ব্যবহার করার পরিকল্পনা করছেন? তা না হলে কেন? আপনি যদি হন তবে শূন্য জায়গার জন্য আপনার কেবল একটি অর্থকোন ভিত্তি প্রয়োজন। আপনার কেবলমাত্র আপনার নাল স্পেসে ধ্রুবক মোড রয়েছে, তাই নাল স্পেসে একটি অর্থোগোনাল প্রজেক্টরটি যেখানে হল কলাম ভেক্টর। লম্ব প্রজেক্টর যে নাল ব্যবধান সরায় এইভাবে । (আমার প্রথম মন্তব্যে একটি ভুল ছিল, যদি ভিত্তি হয়, প্রজেক্টর।)

N = Z Z^{T}

$N=ZZ^T$

Z

$Z$

I - N

$I-N$

Z

$Z$

N = I - Z Z^{T}

$N=I-ZZ^T$

— জেড ব্রাউন