কীভাবে নির্ধারণ করবেন যে কোনও পিডিইয়ের একটি সংখ্যাসম্য সমাধান একটি ধারাবাহিক সমাধানে রূপান্তর করছে?

Lax সমানতা উপপাদ্য বলে যে, ধারাবাহিকতা ও একটি সংখ্যাসূচক প্রকল্প স্থিতিশীলতা একটি রৈখিক প্রাথমিক মান সমস্যার জন্য অভিসৃতি জন্য একটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট অবস্থা। তবে অলিখনগত সমস্যার জন্য, সংখ্যাগত পদ্ধতিগুলি সুসংগত এবং স্থিতিশীল থাকা সত্ত্বেও ভুল ফলাফলগুলিতে খুব প্রশংসাসূচকভাবে রূপান্তর করতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, এই কাগজটি দেখায় যে 1 ডি লিনিয়ারাইজড অগভীর জলের সমীকরণের জন্য প্রয়োগ করা প্রথম অর্ডার গডুনোভ পদ্ধতি কীভাবে একটি ভুল সমাধানে রূপান্তর করে।

স্পষ্টতই জাল এবং সময় পদক্ষেপ সংশোধনের অধীনে স্ব-সংশ্লেষ যথেষ্ট নয়, তবে সাধারণ সমাধানগুলি সাধারণত ননলাইনারি পিডিইগুলির জন্য পাওয়া যায় না, তবে সংখ্যার পদ্ধতিটি একটি আসল সমাধানে রূপান্তর করছে কিনা তা কীভাবে নির্ধারণ করা যায়?

pde stability convergence

— জেড ব্রাউন
সূত্র

উত্পাদিত সমাধানগুলির তথাকথিত পদ্ধতি সকল সমস্যার সঠিক সমাধান সরবরাহ করে। আপনি বর্ণিত সমস্যা সমাধানের ধরণটি উত্পন্ন করতে সক্ষম নাও হতে পারে তবে সঠিক সমাধান কখনই পাওয়া যায় না এমনটি নয়।

— বিল বার্থ

আমি মনে করি এটি এখানে কঠিন কারণ যেহেতু সমাধান পদ্ধতির মাধ্যমে সুনির্দিষ্ট নয় এমন ধরণের বিভাজনের সাথে আপনার কোনও সমাধান অনুমান করা দরকার।

— ম্যাট নিপলি

আমি সম্মত হলাম যে সমাধান সমাধান করা খুব কঠিন যা জেড উল্লেখ করেছেন যে সমস্যাযুক্ত মোডগুলিকে উত্তেজিত করে। আমি কেবল এটি চিহ্নিত করতে চেয়েছিলাম যে সঠিক সমাধানগুলি সর্বদা পরীক্ষার জন্য উপলব্ধ। আমি জানি না আপনি যদি 1D লিনিয়ারাইজড অগভীর জলের সমীকরণের সমাধান তৈরি করে বলুন, ট্রিগ এবং এক্সফোনেনশিয়াল ফাংশনগুলির মিশ্রণ (মোওমের সঠিক সমাধানের আদর্শ), উত্সের সাথে সম্পর্কিত উত্সের পদগুলি পেতে ক্র্যাঙ্কটি চালু করুন এবং রান করুন তাদের 1 ম-অর্ডার গডুনভ স্কিমের মাধ্যমে। সম্ভবত জেদ এটিকে শট দিতে পারে এবং ফিরে রিপোর্ট করতে পারে।

— বিল বার্থ

এমওএম একটি দুর্দান্ত সরঞ্জাম, তবে এই ক্ষেত্রে, বিষয়টি হ'ল ছড়িয়ে থাকাটির বিচ্ছিন্নতা ভুলভাবে প্রয়োগ করা হয়। অন্য কোথাও, প্রতিটি সমীকরণের সমানভাবে শূন্যে রূপান্তরিত হওয়া প্রসারণযোগ্য, তবে বিস্ফোরণটি শকের ভিতরে শূন্যে রূপান্তরিত করে না, সুতরাং প্রতিটি পদে সংখ্যাসূচক বিস্তৃতি প্রয়োগ করে সমানভাবে ভুল গতিবেগের ফলাফল হয়। আমার কাছে সময় থাকলে আমি এই প্রশ্নের দীর্ঘ উত্তর লিখব, যদি কেউ আমাকে এটিকে মারধর না করে।

— জেদ ব্রাউন 15

@ জেড, লিনিয়ারযুক্ত সমীকরণগুলিতে এলইটি প্রয়োগ করা উচিত নয়?

— ম্যাট নিপলি 16

উত্তর:

এক্ষেত্রে সমাধানের দুটি প্রধান শ্রেণি রয়েছে।

"যথেষ্ট" স্মুথ সলিউশন

ইন স্ট্রং ধ্রুপদী কাগজ এটা দেখানো হয় যে Lax উপপাদ্য (অর্থাত, ধারণা যে দৃঢ়তা প্লাস স্থায়িত্ব অভিসৃতি বোঝা) অরৈখিক PDE সমাধান প্রসারিত সমানতা যদি তারা ক্রমাগত ডেরাইভেটিভস একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক আছে । নোট করুন যে কাগজটি হাইপারবোলিক সমস্যার উপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করে তবে ফলাফলটি প্যারাবোলিক সমস্যার দিকে নিয়ে যায়। প্রয়োজনীয় ডেরাইভেটিভসের সংখ্যা একটি প্রযুক্তিগত পয়েন্ট, তবে এই পদ্ধতির সাধারণত সমাধানগুলিতে প্রযোজ্য যা দৃE় অর্থে পিডিই সন্তুষ্ট করে।

বিচ্ছিন্ন সমাধান

অন্য চরম সময়ে, আমাদের বিচ্ছিন্নতার সাথে PDE "সমাধানগুলি" রয়েছে , যা সাধারণত ননলাইনার হাইপারবোলিক সংরক্ষণ আইন থেকে উদ্ভূত হয় । এই পরিস্থিতিতে অবশ্যই সমাধানটি দৃ the় অর্থে পিডিই সন্তুষ্ট করার জন্য বলা যায় না, কারণ এটি এক বা একাধিক পয়েন্টে অ-বিভেদযোগ্য। পরিবর্তে, দুর্বল সমাধানের একটি ধারণা চালু করা আবশ্যক, যা মূলত সমাধানটি একটি অবিচ্ছেদ্য সংরক্ষণ আইনকে সন্তুষ্ট করার জন্য প্রয়োজনীয় to

সমাধানের অভিযোজন প্রমাণ এই ক্ষেত্রে আরও বেশি কঠিন, কারণ স্থিতিশীলতা যথেষ্ট নয়; সাধারণত ক্রমটি একটি কমপ্যাক্ট স্পেসে থাকা যেমন ফাংশনগুলির কিছু সীমাবদ্ধ সর্বাধিক সর্বমোট বৈকল্পিকের সেট হিসাবে থাকা উচিত । $L_p$ $L_\infty$

যদি ক্রমটি কোনও কিছুর সাথে রূপান্তর করার জন্য দেখানো যায় এবং পদ্ধতিটি যদি রক্ষণশীল হয় তবে লাক্স-ওেন্ডরফ তত্ত্বটি গ্যারান্টি দেয় যে এটি সংরক্ষণ আইনের দুর্বল সমাধানে রূপান্তরিত করবে। যাইহোক, এই জাতীয় সমাধানগুলি অনন্য নয় । কোন দুর্বল সমাধানটি "সঠিক" তা নির্ধারণের জন্য এমন তথ্য প্রয়োজন যা হাইপারবোলিক পিডিইতে নেই। সাধারণত, একটি ক্রমাগত মডেলটিতে প্যারাবলিক পদগুলিকে অবহেলা করে হাইপারবোলিক পিডিইগুলি প্রাপ্ত হয় এবং সঠিক দুর্বল সমাধানটি ঠিক কী প্যারাবলিক পদগুলি বাতিল করা হয়েছিল তার উপর নির্ভর করতে পারে (এই শেষ পয়েন্টটি উপরের প্রশ্নের সাথে লিঙ্কিত কাগজের ফোকাস )।

এটি একটি সমৃদ্ধ এবং জড়িত বিষয়, এবং গাণিতিক তত্ত্ব সম্পূর্ণ থেকে দূরে। সর্বাধিক রূপান্তর প্রমাণ 1D সমস্যার জন্য এবং বিশেষায়িত কৌশলগুলির উপর নির্ভর করে। সুতরাং বাস্তবে হাইপারবোলিক সংরক্ষণ আইনগুলির প্রায় সমস্ত প্রকৃত গণনামূলক সমাধান বিদ্যমান সরঞ্জামগুলির সাথে অভিজাত প্রমাণিত হতে পারে না । একটি গণনামূলক দৃষ্টিকোণ থেকে ব্যবহারিক আলোচনার জন্য, লেভেকের বইটি দেখুন (অধ্যায় 8, 12 এবং 15); আরও কঠোর এবং বিস্তারিত চিকিত্সার জন্য আমি ড্যাফার্মোসকে পরামর্শ দেব ।

— ডেভিড কেচসন
সূত্র

আমার এখানে এখানে অবদান রাখার চেয়ে সামান্যই আছে যে যখনই সংখ্যাসূচক পদ্ধতিগুলিতে হাইপারবোলিক সমীকরণের সমস্যা হয় (এবং ভুল সমাধানে রূপান্তরিত হয়) তবে এটি সাধারণত ধাক্কা দেওয়ার কারণে হয় না। বরং যে ক্ষেত্রগুলির সাথে তারা অসুবিধা করছে সেগুলি হ'ল বিরলতর তরঙ্গ - যেখানে সমাধানটি মসৃণ।

{তোমার দর্শন লগ করা}_{টি} + + β \cdot \nabla এফ (তোমার দর্শন লগ করা) = ছ

$u_t + \beta \cdot \nabla F(u) = g$

F^{'} (u) = 0

$F'(u)=0$

u_{t} + β F^{'} (u) \cdot \nabla u = g

$u_t + \beta F'(u) \cdot \nabla u = g$

F^{'} = 0

$F'=0$

F^{'} = 0

$F'=0$

F^{'} = 0

$F'=0$

ω \subset Ω

$\omega\subset\Omega$

| ω | > 0

$|\omega|>0$

$F(u)$

এফ (তোমার দর্শন লগ করা) = \frac{{তোমার দর্শন লগ করা}^{4}}{{তোমার দর্শন লগ করা}^{4} + + (1 - তোমার দর্শন লগ করা)^{2} \cdot (1 - {তোমার দর্শন লগ করা}^{2})}

$F(u) = \frac{u^4}{u^4 + (1-u)^2 \cdot (1-u^2)}$

u

$u$

F^{'} (u) = 0

$F'(u)=0$

u = 0

$u=0$

— ওল্ফগ্যাং ব্যাঙ্গারথ
সূত্র

এটি একটি দুর্দান্ত পয়েন্ট, যদিও এটি কঠোর অর্থে প্রশ্নের অর্থেগোনাল। আপনি সঠিক দুর্বল সমাধানে রূপান্তরিত করার বিষয়টি সম্বোধন করেছেন , যা বাস্তবে কিছু দুর্বল সমাধানে রূপান্তরিত হওয়ার চেয়ে বাস্তবে বেশি সমস্যাযুক্ত ।

— ডেভিড কেচসন