ভন নিউমানের স্থিতিশীলতা বিশ্লেষণ অ-রৈখিক সীমাবদ্ধ পার্থক্য সমীকরণ সম্পর্কে আমাদের কী বলে?

Question

আমি একটি কাগজ পড়ছি [1] যেখানে তারা সীমাবদ্ধ পার্থক্য পদ্ধতি ব্যবহার করে নিম্নলিখিত অ-রৈখিক সমীকরণ করে। তারা ভন নিউমানের স্থায়িত্ব বিশ্লেষণ ব্যবহার করে স্কিমগুলির স্থায়িত্ব বিশ্লেষণ করে। যাইহোক, লেখকরা বুঝতে পেরে এটি কেবল লিনিয়ার পিডিই'র ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। তাই লেখক "জমাকৃত" দ্বারা প্রায় এই কাজ অ রৈখিক শব্দ, অর্থাত তারা প্রতিস্থাপন সঙ্গে দীর্ঘ সময়ের , যেখানে হয় "এর স্থানীয়ভাবে ধ্রুবক মান প্রতিনিধিত্ব করতে বিবেচিত ।"

$$\begin{equation} u_t + u_x + uu_x - u_{xxt} = 0 \end{equation}$$ $uu_x$$Uu_x$$U$$u$

সুতরাং আমার প্রশ্ন দ্বিগুণ:

1: এই পদ্ধতিটি কীভাবে ব্যাখ্যা করা যায় এবং কেন এটি (কাজ করে না) কাজ করে?

2: আমরা প্রতিস্থাপন করতে পারে সঙ্গে দীর্ঘ সময়ের শব্দ, যেখানে "এর স্থানীয়ভাবে ধ্রুবক মান প্রতিনিধিত্ব করতে বিবেচনা করা হয় "?$uu_x$$uU_x$$U_x$$u_x$

তথ্যসূত্র

1. আইলবেক, জেসি এবং জিআর ম্যাকগুইয়ার। "নিয়মিত দীর্ঘ-তরঙ্গ সমীকরণ I: সংখ্যাসূচক পদ্ধতিগুলির সংখ্যাগত অধ্যয়ন। কম্পিউটেশনাল ফিজিক্স জার্নাল 19.1 (1975): 43-57।

Comments

আপনি সমীকরণটি ভুল টাইপ করেছেন। কাগজে সমীকরণটি আরএলডাব্লু সমীকরণ।

— Ömer

সম্পূর্ণ উত্তর ছাড়াই সম্পর্কিত প্রশ্নগুলি: scicomp.stackexchange.com/q/8717/713 , mathoverflow.net/q/186760 , scicomp.stackexchange.com/q/16142 , scicomp.stackexchange.com/q/6863 । আমি মনে করি, তাত্ত্বিকভাবে বলতে গেলে এটি কাজ করা উচিত কারণ আপনি খুব উচ্চ-ফ্রিকোয়েন্সি মোডের স্থিতিশীলতায় আগ্রহী (যেখানে ত্রুটিগুলি দেখা যায়, জাল ব্যবধানের ক্রমের তরঙ্গদৈর্ঘ্য), যেখানে সমাধানটি নিজেই পরিবর্তে অনেক কম ফ্রিকোয়েন্সি সহ পরিবর্তিত হবে, সুতরাং সহগের হিমায়িত করা এবং হিমায়িত-সহগের PDE এর স্থায়িত্ব অধ্যয়ন করা ঠিক আছে।

— কিরিল

আমি কিরিলের সাথে যুক্ত কয়েকটি প্রশ্নের উত্তর দিয়েছি। দুর্ভাগ্যক্রমে, আমি আরএলডাব্লু সমীকরণের জন্য কোনও ফলাফল সম্পর্কে অবগত নই, তবে সমাধানটি যথেষ্ট সাবলীল হওয়ায় সম্ভবত স্থায়িত্ব প্রমাণিত হতে পারে।

— ডেভিড কেচসন

Answer 1

আপনি যা বলছেন তা লিনিয়ারাইজেশন হিসাবে উল্লেখ করা হয়। এটি অ-রৈখিক PDE এর বিশ্লেষণে ব্যবহৃত একটি সাধারণ কৌশল। যা করা হয় তা হল বিন্যাসে সমীকরণ নিক্ষেপ করা,

$u_t+Au=0$

এখানে এ সমীকরণের রৈখিককরণের ফলে প্রাপ্ত একটি ম্যাট্রিক্স।

এখন আপনার প্রশ্নে,

1. আপনি যেমন ভাবছেন, এটি কিছুটা হলেও কাজ করে তবে কিছুটা অন্যদিকেও আসে না। ইউটিলিটিটি হ'ল স্থিতিশীলতা লিনিয়ার সিস্টেমগুলির জন্য প্রমাণিত হতে পারে তবে অ-রৈখিক সিস্টেমের জন্য সহজে নয়। সুতরাং লিনিয়ার ফলাফলগুলি অ-লিনিয়ার সিস্টেমে প্রসারিত হয়। প্রায়শই, বিশেষ ক্ষেত্রে বিভিন্ন পদ্ধতি গ্রহণ করা হয়। উদাহরণ স্বরূপ,

$uu_x = \frac{1}{2}(u^2)_x$

যা সংরক্ষণের রূপ। সুতরাং,

$u_t+\frac{1}{2}(u^2)_x = 0$

যখন সীমাবদ্ধ ভলিউম অর্থে প্রতিনিধিত্ব করা হয় তখন আপনার বিবর্তনের সীমাবদ্ধতা দেয়।

2. প্রতিস্থাপনটি করার কী কী উপযোগিতা রয়েছে। আপনি একটি তরঙ্গ সমীকরণ ফর্ম থেকে সমীকরণটি সরিয়ে ফেলবেন। যার অর্থ হ'ল সমাধানগুলি তরঙ্গ সমীকরণ হিসাবে আচরণ করবে না। সুতরাং স্থিতিশীলতা বিশ্লেষণে, পরীক্ষার সমাধানগুলি সম্পূর্ণ আলাদা এবং শারীরিকভাবেও হতে হবে।

Answer 2

লিনিয়ারাইজেশন আর্গুমেন্টটি বিস্তারিতভাবে বর্ণনা করার জন্য, uu_x- এ আপনি দুটি কারণেই স্থানীয়ভাবে ধ্রুবক, u_x নয়, ধরে নিতে চাইছেন: ক) আপনি যদি তার উদ্ভূত থেকে আরও ধীরে ধীরে পরিবর্তিত হন, এবং খ) আপনি যদি ধরে নেন যে u_x স্থানীয়ভাবে স্থির থাকে , সংজ্ঞা দ্বারা আপনিও ধরে নেন যে আপনি স্থানীয়ভাবে লিনিয়ার, যার অর্থ উচ্চতর স্থানের ডেরিভেটিভগুলি শূন্য, এবং এটি কেবল অতিরিক্ত আনুমানিক ত্রুটির পরিচয় দেয় না, তবে এটি বোঝাতে পারে যে আপনি আপনার সমীকরণের উপর নির্ভর করে স্নানের জল দিয়ে বাচ্চাকে বাইরে ফেলে দিচ্ছেন।