আমি কীভাবে 1 ডি অ্যাডভেকশন সমীকরণের সংখ্যাসম্য সমাধানে উত্সাহিত দোলনের উপর একটি সীমাবদ্ধতা অর্জন করতে পারি?

Question

ধরুন আমার নিম্নলিখিত পর্যায়ক্রমিক 1 ডি অ্যাডভেকশন সমস্যা ছিল:

$\frac{\partial u}{\partial t} + c\frac{\partial u}{\partial x} = 0$ ইন যেখানে এর এ এক ঝাঁক বিচ্ছিন্নতা রয়েছে । $\Omega=[0,1]$
$u(0,t)=u(1,t)$
$u(x,0)=g(x)$
$g(x)$$x^*\in (0,1)$

এটি আমার বোঝা যায় যে প্রথম অর্ডার থেকে উচ্চতর লিনিয়ার সসীম পার্থক্যমূলক স্কিমগুলির জন্য, সময়ের সাথে সাথে এটি উত্সাহিত হওয়ার সাথে সাথে বিচ্ছুরিত দোলনগুলি ঘটে এবং ফলস্বরূপ তার প্রত্যাশিত তরঙ্গ আকার থেকে সমাধানকে বিকৃত করে তোলে। উইকিপিডিয়া ব্যাখ্যার মতে , মনে হয় সাধারণত এই অসিলেশনগুলি ঘটে যখন একটি বিচ্ছিন্ন ফাংশন সীমাবদ্ধ ফুরিয়ার সিরিজের সাথে সন্নিবেশিত হয়।

কোনও কারণে, আমি বুঝতে পারি না যে এই পিডিইর সমাধানে একটি সীমাবদ্ধ ফুরিয়ার সিরিজ কীভাবে পালন করা যায়। বিশেষত, বিশ্লেষণাত্মকভাবে আমি কীভাবে "ওভার-শ্যুট" এর একটি আবদ্ধ অনুমান করতে পারি?

Answer 1

প্রথম অর্ডার আপওয়াইন্ড পদ্ধতিটি হলেন মনোোটোন; এটি উত্সাহী দোলনা প্রবর্তন করে না। তবে এটি কেবলমাত্র প্রথম অর্ডারেই নির্ভুল, এর ফলে বহুসংখ্যক উদ্দেশ্যে অপ্রয়োজনীয় হিসাবে এত সংখ্যক ছড়িয়ে পড়ে। গডুনভের উপপাদ্যটিতে বলা হয়েছে যে প্রথম ক্রমের চেয়ে বেশি লিনিয়ার স্থানিক বিবেচ্যতা একঘেয়েমি হতে পারে না। দোলনগুলিকে কঠোরভাবে নিয়ন্ত্রণ করতে আমরা মোট ভ্যারিয়েশন হ্রাসকরণ (টিভিডি) স্কিমগুলি ব্যবহার করি। টিভিডি পদ্ধতিগুলি সাধারণত দ্বিতীয় ক্রমের যথার্থতার মধ্যে সীমাবদ্ধ। উচ্চতর আদেশের জন্য, আমাদের হয় আমাদের অনুরোধটি শিথিল করতে হবে, মোট ভ্যারিয়েশন বাউন্ডেড (টিভিবি) পদ্ধতিগুলি যেমন (ওয়েটড) এসেন্সিয়েন্টাল অ-অসিলিটিরি ((ডাব্লু) ENO) এর দিকে নিয়ে যাওয়া উচিত, অথবা আমাদের টিভিডির সংজ্ঞাটি "সর্বোচ্চ-নীতি সংরক্ষণ" করতে শিথিল করতে হবে বা অনুরূপ, যেখানে প্রাথমিক এক্সট্রামা প্রাথমিক পুনর্গঠিত সমাধানের শর্তে রয়েছে, ফলস্বরূপবিশেষ সীমিত স্কিম ।

Comments

আমার ক্ষমাপ্রার্থনা ... কিছু কারণে, আমি ধারণা পেয়েছিলাম যে এটি প্রথম অর্ডার স্কিমের জন্যও সত্য। এই মন্তব্যটি প্রতিবিম্বিত করতে আমি প্রশ্নটি সম্পাদনা করেছি।

— পল

Answer 2

পর্যায়ক্রমের সীমানাগুলির সাথে 1D সমস্যার লিনিয়ার সীমাবদ্ধ পার্থক্য বিবেচনার ফলে ফর্মটির বিচক্ষণতা বাড়ে

$$U^{n+1} = LU^n$$

যেখানে একটি সার্কুল্যান্ট ম্যাট্রিক্স । যে কোনও সার্কুল্যান্ট ম্যাট্রিক্সের বিচ্ছিন্ন ফুরিয়ার মোডগুলি (এখানে গ্রিড স্পেসিং এবং হল ওয়েভেনবার, যা গ্রিডে শূন্য থেকে সর্বোচ্চ ওয়েভনবারের প্রতিনিধিত্বযোগ্য)। এই আইজেনভেেক্টরগুলি গ্রিডে প্রতিনিধিত্ব করা যায় এমন সমস্ত ফাংশনের ভিত্তি তৈরি করে। যদি আপনি এই বিচ্ছিন্ন ফুরিয়ার মোডগুলির ক্ষেত্রে সমাধানটি প্রকাশ করেন তবে সংখ্যাটি পদ্ধতিটি তির্যক হয়, অর্থাত প্রতিটি ফুরিয়ার উপাদান প্রতিটি পদক্ষেপে একটি (সাধারণত জটিল) স্কেলার ফ্যাক্টর দ্বারা গুণিত হয়। স্কেলার ফ্যাক্টরটি প্রায়শই প্রশস্তকরণ ফ্যাক্টর হিসাবে উল্লেখ করা হয় এবং আমি যা বর্ণনা করেছি তা ভন নিউমানের বিশ্লেষণ হিসাবে পরিচিত$L$

$$v_j = \exp(ijh\xi)$$ $h$$\xi$। লিনিয়ার ডিফারেনশিয়াল অপারেটরগুলিকে "তির্যক" করার জন্য এটি লৈখিক পিডিইগুলির ফুরিয়ার বিশ্লেষণের সাথে সমান।

আপনি উদাহরণস্বরূপ চমৎকার ব্যাখ্যা, পাঠ্যে থাকা, জানতে পারেন Strikwerda বা লেভেক ।

Comments

আমি ভ্যান নিউম্যান বিশ্লেষণের সাথে পরিচিত। তবে আমি কি সত্যিই এই বিশ্লেষণটি জালিয়াতি দোলাচলে আবদ্ধ হওয়ার জন্য ব্যবহার করতে পারি?

— পল

আমি মূলত আপনার বক্তব্যটির জবাব দিচ্ছিলাম আমি এই পিডিইর সমাধানে সীমাবদ্ধ ফুরিয়ার সিরিজটি কীভাবে পর্যবেক্ষণ করা যায় তা বুঝতে পারি না। তবে হ্যাঁ, আপনি এই বিশ্লেষণ থেকে এ জাতীয় সীমা পেতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, আপনি সবচেয়ে খারাপ অবস্থার দিকে নজর দিতে পারেন যেখানে সমস্ত মোড গঠনমূলকভাবে হস্তক্ষেপ করে। তবে এটি সম্ভবত খুব হতাশাব্যঞ্জক বলে মনে হতে পারে। অনুশীলনে, আমি টিভিডি বা টিভিবি (যা বেশ শক্তিশালী এবং লিনিয়ার স্কিমগুলির জন্য ধারণ করে না) ব্যতীত অন্য কাউকে সীমাবদ্ধতা অর্জন করতে দেখিনি।

— ডেভিড কেচসন

সর্বাধিক ওয়েভেনবার মোডের জন্য ছড়িয়ে পড়ার সম্পর্কটি দেখে আপনি সম্ভবত আরও আকর্ষণীয় হয়ে উঠতে পারেন। তবে আমি কখনও এটি সম্পন্ন করতে দেখিনি।

— ডেভিড কেচসন

Answer 3

সমস্ত উত্সাহী দোলন গিবস ঘটনা নয়। এগুলি দেখতে দেখতে একই রকম, তবে বিযুক্ত ফাংশনগুলির সমস্ত সসীম ফুরিয়ার অনুমানের জন্য গিবস দোলন রয়েছে (আপনি আরও শর্তাদি যুক্ত করার সাথে সাথে তারা কেবল আরও ছোট হয়ে যায়)। অন্যদিকে, PDEগুলিতে সীমাবদ্ধ পার্থক্যের সীমাবদ্ধতার সমাধানের ফলে বিচ্ছিন্ন কার্যাবলীগুলির অ-দোলক উপস্থাপনা রয়েছে যা সীমাহীন সিরিজের প্রয়োজন হয় না।

বাথ ( আপফাইন্ড পদ্ধতিগুলির ইনফ – সাপ টেস্টিং , পিডিএফ) এর 1-ডি-তে সীমাবদ্ধ উপাদান পদ্ধতিগুলির জন্য একটি প্রবন্ধ রয়েছে (সংশ্লেষণ-প্রসারণ, আইআইআরসি) যা - শর্তের জন্য ধ্রুবককে গণনা করে এবং দোলনের সাথে সম্পর্কিত করে । আপনি এটি থেকে কিছু অন্তর্দৃষ্টি পেতে পারেন।$\inf$$\sup$

Comments

এটি একটি দরকারী কাগজ, তবে নোট করুন যে ইনফ-সাপ স্থিতিশীলতা দোলাগুলির শক্তিশালী নিয়ন্ত্রণ সরবরাহ করে না। উদাহরণস্বরূপ কোনও পরিমাণ ইনফ-সাপ স্থায়িত্ব কোনও টিভিডি পদ্ধতি সরবরাহ করতে পারে না। এবং গডুনভের উপপাদ্যর আলোকে, যদি আমরা প্রথম অর্ডারের চেয়েও বেশি অ-দোলনীয় সমাধানের ইচ্ছা করি তবে লিনিয়ার স্থানিক বিবেচনার সন্ধান করা কোনও বোধগম্য নয়। দ্রষ্টব্য যে পেচলেট নম্বর এই কাগজের সমস্ত পদ্ধতিতে উপস্থিত হয় এবং পদ্ধতিগুলি প্রথমত অর্ডার যথার্থতার জন্য th ম্যাথর্ম হিসাবে অবনমিত হয় , পাশাপাশি টিভিডি না হয়ে থাকে। $\mathrm{Pe}\to \infty$

— জেড ব্রাউন

এগুলি সবই সত্য বক্তব্য। এটি কেবল সংশ্লেষণ-প্রসারণ সমস্যার ক্ষেত্রেই প্রযোজ্য।

— বিল বার্থ

Answer 4

সীমাবদ্ধ ফুরিয়ার সিরিজ এবং সসীম উপাদানগুলির সান্নিধ্যের মধ্যে সংযোগ সম্পর্কে আপনার শেষ প্রশ্ন হিসাবে: সাধারণভাবে, আপনি যদি একটি সীমাবদ্ধ মাত্রিক স্থানে যার ভিত্তির ক্রিয়াগুলি অবিচ্ছিন্ন থাকে তার উপর একটি লাফ দিয়ে কোনও ফাংশন প্রজেক্ট করার চেষ্টা করেন , আপনি গীবস ঘটনাটি পাবেন get এটি সত্য যদি ভিত্তিটি সীমাবদ্ধ ফুরিয়ার সিরিজ হয় (যেখানে ভিত্তি ফাংশনগুলি সাইনস এবং কোসাইন হয়) বা যদি ভিত্তিটি স্বাভাবিক সীমাবদ্ধ উপাদান টুপি ফাংশন হয় - এটি প্রোজেকশনটির সম্পত্তি এবং বেস ফাংশনগুলির অযোগ্যতা।

Comments

আমি ভুল প্রমাণিত হতে পেরে খুশি, যেহেতু আমি স্পষ্টভাবে অনুশীলনের বাইরে আছি, তবে আমি আরও যোগ্যতা ছাড়াই টুপি ফাংশনগুলিতে অনুমান সম্পর্কে আপনার মন্তব্য কিনছি না। আমার প্রথম বর্ষের এফইএম ক্লাস থেকে আমার পুরানো 1-ডি ম্যাটল্যাব কোডটি ব্যবহার করে আমার দ্রুত গণনা দেখায় যে টুপি ফাংশনগুলি ব্যবহার করে এ ধাপের ফাংশনটির অভিক্ষেপটি নন- । আপনার কি এমন একটি উদাহরণ রয়েছে যা দেখায় যে আমি কী মিস করছি? $H_0^1$

— বিল বার্থ

কিছু মনে করো না. পুরাতন কোডটি পুরানো। আমি দোলনাগুলি পুনরুত্পাদন করতে পারি। পূর্ববর্তী মন্তব্য প্রত্যাহার করা হয়েছে।

— বিল বার্থ

আমি আনন্দিত যে আমি সাহায্য করতে পেরেছিলাম :-)

— ওল্ফগ্যাং ব্যাঙ্গারথ

Answer 5

একটি পদ্ধতির সমতুল্য সমীকরণের মাধ্যমে হ'ল অর্থাত্ আপনার বিযুক্ত পদ্ধতিটি নিকটতম প্রশস্ততা দেয় এমন ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ। আপনি কখনই সমাধান করতে চেয়েছিলেন এমন ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ এটি কখনও নয়। তারপরে আপনি প্রাথমিক তথ্য হিসাবে একটি পদক্ষেপ ফাংশনের জন্য সমতুল্য সমীকরণের অ্যাসিম্পটোটিক সমাধানটি দেখুন। বোচে, ডি, বননাড, জি। এবং রামোস, ডি, 2003 দেখুন the অ্যাডভেশন সমীকরণ সমাধানের জন্য সংখ্যাসূচক স্কিমগুলির তুলনা। ফলিত গণিতের অক্ষর, 16 (2), পিপি 147-154।