ফিক্স-পয়েন্ট সমস্যায় অ-একঘেয়েমি রূপান্তর

পটভূমি

আমি তরল তত্ত্ব থেকে অর্স্টেইন-জার্নিকে সমীকরণের একটি বৈকল্পিক সমাধান করছি । বিমূর্তভাবে, সমস্যাটি নির্দিষ্ট পয়েন্ট সমস্যা সমাধানের হিসাবে প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে , যেখানে হল একটি ইন্টিগ্রো-বীজগণিত অপারেটর এবং হ'ল সমাধান ফাংশন ( ওজেডের সরাসরি সম্পর্ক সম্পর্কিত ফাংশন)। আমি পিকার্ড পুনরাবৃত্তি দ্বারা সমাধান করছি, যেখানে আমি প্রাথমিক পরীক্ষার সমাধান এবং স্কিম দ্বারা নতুন পরীক্ষার সমাধান উত্পন্ন করি $A c(r)=c(r)$ $A$ $c(r)$ $c_0(r)$ যেখানে একটি সামঞ্জস্যযোগ্য পরামিতি যাপরবর্তী ট্রায়াল সলিউশনে ব্যবহৃত এবং এর মিশ্রণ নিয়ন্ত্রণ করে। এই আলোচনার জন্য, এর অনুমান মান দিন গুরুত্বহীন নয়। আমি কাঙ্ক্ষিত সহনশীলতা মধ্যে থেকে পুনরাবৃত্তির পর্যন্ত এগোয় পুনরাবৃত্তি, :

c_{j + 1} = α (A c_{j}) + (1 - α) c_{j},

$c_{j+1} = \alpha (A c_j) + (1-\alpha)c_j~,$

α

$\alpha$

c

$c$

A c

$Ac$

α

$\alpha$

ϵ

$\epsilon$

সমস্যা আমার বৈকল্পিক ইন,

একটি প্যারামিটার উপর নির্ভর করে

, আর আমার প্রশ্ন হল কিভাবে অভিসৃতি সম্পর্কে

এই প্যারামিটারটি উপর নির্ভর করে।

Δ_{j + 1} \equiv \int d \vec{r} | c_{j + 1} (r) - c_{j} (r) | < ϵ .

$\Delta_{j+1} \equiv \int d\vec r |c_{j+1}(r)-c_j(r)| < \epsilon~.$

A

$A$

λ

$\lambda$

A c = c

$Ac=c$

জন্য বিস্তৃত মানগুলির জন্য , উপরের পুনরাবৃত্তি স্কিমটি দ্রুততর রূপান্তরিত করে। তবে, আমি হ্রাস পেয়েছি eventually, অবশেষে আমি এমন একটি ব্যবস্থায় পৌঁছেছি যেখানে নীচের চিত্রটি রূপান্তরটি অ-একঘেয়েমিক। $\lambda$ $\lambda$

মূল প্রশ্ন

স্থির-পয়েন্ট সমস্যার পুনরাবৃত্তিমূলক সমাধানগুলিতে, নন-একজাতীয় রূপান্তরটির কোনও বিশেষ তাত্পর্য আছে? এটি কি সংকেত দেয় যে আমার পুনরাবৃত্তি স্কিমটি অস্থিতিশীলতার পথে? সর্বাধিক গুরুত্বপূর্ণ , নন-মনোোটোন কনভার্জেন্সটি কী আমাকে সন্দেহজনক করে তুলবে যে "রূপান্তরিত" সমাধানটি নির্দিষ্ট পয়েন্ট সমস্যার ভাল সমাধান নয়?

iterative-method convergence

— Endulum
সূত্র

$x$ $x=f(x)$ $x^*$ $\frac{\partial f}{\partial x}(x^*) \le \alpha$ $\alpha$ $<1$ $x^*$

$\lambda$
যদি আপনার সমাধানটি সঠিকভাবে প্রতিষ্ঠিত আপেক্ষিক সহনশীলতার মধ্যে রূপান্তরিত হয় যা স্বল্প সংখ্যার জন্যও দায়ী, তবে তা রয়েছে has

— NameRakes
সূত্র

আপনি আপনার দ্বিতীয় বিষয়টি পরিষ্কার করতে পারেন?

— এন্ডুলাম

| x_{j + 1} - x_{j} |

$|x_{j+1}-x_j|$

| x_{j} | ϵ

$|x_j| \thinspace \epsilon$

ϵ

$\epsilon$