ঘন অসুস্থ কন্ডিশনড ম্যাট্রিকগুলির ডায়াগোনালাইজেশন


10

আমি কিছু ঘন, অসুস্থ শর্তযুক্ত ম্যাট্রিকগুলি তির্যক করার চেষ্টা করছি। মেশিনের নির্ভুলতায়, ফলাফলগুলি সঠিক নয় (নেতিবাচক ইগেনভ্যালুগুলি ফিরিয়ে দেয়, ইগেনভেেক্টরগুলির প্রত্যাশিত প্রতিসাম্য থাকে না)। স্বেচ্ছাসেবীর নির্ভুলতার সুযোগ নিতে আমি ম্যাথমেটিকার আইজেনসিস্টেম [] ফাংশনে স্যুইচ করেছি, তবে গণনা অত্যন্ত ধীর slow আমি যে কোনও সমাধানের জন্য উন্মুক্ত। এমন প্যাকেজ / অ্যালগোরিদম রয়েছে যা শর্তাধীন সমস্যার জন্য উপযুক্ত? আমি পূর্বশর্তে বিশেষজ্ঞ নই, সুতরাং এটি কতটা সহায়তা করতে পারে তা আমি নিশ্চিত নই। অন্যথায়, আমি যা ভাবতে পারি তা হ'ল সমান্তরাল যথেচ্ছ যথার্থতা ইগেনভ্যালু সমাধানকারী, তবে আমি ম্যাথমেটিকা, ম্যাটল্যাব এবং সি ++ এর বাইরে কোনও কিছুর সাথে পরিচিত নই।

সমস্যার কিছু পটভূমি দেওয়ার জন্য, ম্যাট্রিকগুলি বড়, তবে বিশাল নয় (4096x4096 থেকে 32768x32768 সর্বাধিক)। এগুলি আসল, প্রতিসামগ্রী এবং ইগেনভ্যালুগুলি 0 এবং 1 (একচেটিয়া) এর মধ্যে আবদ্ধ থাকে, অনেকগুলি ইগনালভ্যুয়াল 0 এর খুব কাছাকাছি থাকে এবং 1 টিরও কাছে থাকে না The ম্যাট্রিক্স মূলত একটি কনভ্যুলেশন অপারেটর। আমার আমার সমস্ত ম্যাট্রিককে তির্যক করার দরকার নেই, তবে আমি যত বেশি যেতে পারি তত ভাল। আমার কাছে অনেকগুলি প্রসেসর এবং বিতরণকৃত কম্পিউটিং ক্ষমতা সহ কম্পিউটিং ক্লাস্টারে অ্যাক্সেস রয়েছে।

ধন্যবাদ


2
আপনার আসল প্রতিসম ম্যাট্রিকগুলিকে তির্যক করতে আপনি কোন রুটিন ব্যবহার করছেন? এবং কোন অর্থে এগেনুয়ালু পচনটি ভুল?
জ্যাক পলসন

এখানে আর্নল্ডের উত্তরের সাথে সম্পর্কিত একটি ধারণা রয়েছে: আপনার এসপিডি ম্যাট্রিক্সের একটি কোলেস্কি পচন করুন এবং তারপরে যথাযথতা সংরক্ষণের জন্য সম্ভবত একটি ডিকিডি-টাইপ অ্যালগরিদম ব্যবহার করে আপনি সবেমাত্র প্রাপ্ত চোলস্কি ত্রিভুজটির একক মানগুলি সন্ধান করুন।
জেএম

1
@ জেএম: একটি সংখ্যাগত একক পজিটিভ সুনির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্সের কোলেস্কি ডেকম্পোসিটন গঠন করা স্বাভাবিক পদ্ধতিতে সংখ্যাগতভাবে অস্থির হয়, কারণ একজনের সম্ভবত নেতিবাচক পিভটসের মুখোমুখি হয়। (উদাহরণস্বরূপ, মতলব এর চোল (এ) সাধারণত ব্যর্থ হয় One) তাদের এগুলি শূন্যে সেট করতে হবে এবং কারণগুলির সাথে সম্পর্কিত সারিগুলি নির্মূল করতে হবে। এটি করা নির্ভরযোগ্যতার সাথে সংখ্যাসূচক নাল স্থান পাওয়ার একটি উপায় দেয়।
আর্নল্ড নিউমায়ার

@ আর্নল্ড, যদি মেমরিটি পরিবেশন করে তবে কোলেস্কির এমন রূপান্তর রয়েছে যা ম্যাট্রিক্সটি ইতিবাচক অর্ধ- নির্ধারিত (বা প্রায়) এর ক্ষেত্রে প্রতিসাম্য পাইভটিং ব্যবহার করে । সম্ভবত সেগুলি ব্যবহার করা যেতে পারে ...
জেএম

@ জেএম: সেমিডেফিনাইট কেস সমাধানের জন্য কাউকে পাইভোটিংয়ের দরকার নেই; আমি যে রেসিপিটি দিয়েছি তা যথেষ্ট। আমি কেবল উল্লেখ করতে চেয়েছিলাম যে কেউ স্ট্যান্ডার্ড ক্যানড প্রোগ্রামগুলি ব্যবহার করতে পারে না তবে সেগুলি নিজেই সংশোধন করতে হবে।
আর্নল্ড নিউমায়ার

উত্তর:


7

বর্ণালী পচনের জায়গায় এসভিডি গণনা করুন। ফলাফলগুলি হস্ত গণিতের ক্ষেত্রে একই, কারণ আপনার ম্যাট্রিক্স প্রতিসম পজিটিভ নির্দিষ্ট, তবে সীমাবদ্ধ নির্ভুল গাণিতিক ক্ষেত্রে, আপনি আরও যথাযথতার সাথে ছোট ইগনালভ্যালগুলি পাবেন।

সম্পাদনা করুন: ডেমেল এবং কাহান, বিডিজাগোনাল ম্যাট্রিক্সের সঠিক একক মান, সিয়াম জে। বিজ্ঞান দেখুন। তাত্ক্ষণিকবাজার। Comput। 11 (1990), 873-912।
ftp://netlib2.cs.utk.edu/lapack/lawnspdf/lawn03.pdf

Edit2; মনে রাখবেন যে কোনও পদ্ধতিই মেশিনের নির্ভুলতার জন্য ব্যবহৃত মানের সময়ের চেয়ে ছোট ইগানুয়ালগুলি সমাধান করতে সক্ষম হবে না, কারণ একটি উল্প দ্বারা একটি একক এন্ট্রি পরিবর্তন করা ইতিমধ্যে এটির দ্বারা একটি ছোট ইগন্যালু পরিবর্তন করতে পারে। সুতরাং খুব ক্ষুদ্রের জায়গায় শূন্য ইগেনভ্যালুগুলি পাওয়া উপযুক্ত, এবং কোনও পদ্ধতি (উচ্চতর নির্ভুলতার সাথে কাজ করা বাদে) সম্পর্কিত ইগেনভেেক্টরগুলিকে বিচ্ছিন্ন করবে না, তবে কেবল সাধারণ সংখ্যা শূন্যস্থানটির জন্য একটি ভিত্তি ফিরিয়ে দেবে।


[0,বিটি;বি,0]

2
@ জ্যাকপলসন: মুল বক্তব্যটি হল দ্বিপক্ষীয় ফর্মটি ছোট একবচন মানগুলি আরও ভাল নির্ধারণ করে। সম্পর্কিত প্রতিসম ত্রিভুজাকৃতি ফর্মের তির্যকটিতে শূন্য রয়েছে, যা দ্বিখণ্ডকে দ্বিপক্ষীয় হ্রাস দ্বারা সংরক্ষণ করা হয়, তবে ত্রিদুটিটি প্রয়োগ করা কিউআর দ্বারা নয়।
আর্নল্ড নিউমায়ার

1
রেফারেন্স? জ্যাকবীর পদ্ধতিটি অত্যন্ত নির্ভুল হিসাবে পরিচিত (যদিও ধীর হলেও)।
জ্যাক পলসন

@ জ্যাকপুলসন: চেষ্টা করে দেখুন। Demmel & Kahan, Bidiagonal ম্যাট্রিক্সের সঠিক সিঙ্গুলার মূল্যবোধ, 202.38.126.65/oldmirrors/ftp.netlib.org/lapack/lawnspdf/...
আর্নল্ড Neumaier

[0,বিটি;বি,0]

1

এই পরামর্শের জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। আমি ম্যাথমেটিকার এসভিডি কমান্ড চেষ্টা করেছিলাম, কিন্তু আমি কোন লক্ষণীয় উন্নতি পাচ্ছি না (এখনও উপযুক্ত প্রতিসাম্য অনুপস্থিত, 'ইগেনভ্যালুগুলি' ভুলভাবে শূন্য যেখানে তারা আগে ভুলভাবে নেতিবাচক প্রকাশ পেয়েছিল)। সম্ভবত আমাকে বিল্ট-ইন ফাংশনটির পরিবর্তে উপরে বর্ণিত অ্যালগরিদমগুলির একটি প্রয়োগ করতে হবে? আমি সম্ভবত একটি নির্দিষ্ট পদ্ধতি ব্যবহার করার ঝামেলাতে যাওয়া এড়াতে চাই যদি না আমি আগেই নিশ্চিত হয়ে থাকি যে এটি একটি উল্লেখযোগ্য উন্নতি করবে।

@ জ্যাকপলসন, আপনি জ্যাকবির যে পদ্ধতিটি উল্লেখ করেছেন সে বিষয়ে আমি কাগজটি ঝাপিয়েছি এবং এটি আশাব্যঞ্জক বলে মনে হচ্ছে। আপনি বা যে কেউ ইয়েজেনসিস্টেমগুলি সন্ধানের জন্য জ্যাকবির পদ্ধতিটি কার্যকর করার জন্য কোনও ভাল উপায়ের পরামর্শ দিতে পারেন? আমি অনুমান করছি যে আমি যদি এটি নিজেই কোড করে রাখি (ম্যাটল্যাবে), এটি অত্যন্ত ধীর হবে।


আমি এটি পরীক্ষা করে দেখিনি, তবে এখানে একটি ম্যাটল্যাব বাস্তবায়ন রয়েছে: groups.google.com/forum/?fromgroups#!msg/sci.math.num-analysis/…
জ্যাক পলসন

মনে রাখবেন যে কোনও পদ্ধতিই মেশিনের নির্ভুলতার জন্য ব্যবহৃত মানের সময়ের চেয়ে ছোট ইগানুয়ালগুলি সমাধান করতে সক্ষম হবে না, কারণ একটি উল্প দ্বারা একটি একক এন্ট্রি পরিবর্তন করা ইতিমধ্যে এটির দ্বারা একটি ছোট ইগন্যালু পরিবর্তন করতে পারে। সুতরাং খুব ক্ষুদ্রের জায়গায় শূন্য ইগেনভ্যালুগুলি পাওয়া উপযুক্ত, এবং কোনও পদ্ধতি (উচ্চতর নির্ভুলতার সাথে কাজ করা বাদে) সম্পর্কিত ইগেনভেেক্টরগুলিকে বিচ্ছিন্ন করবে না, তবে কেবল সাধারণ সংখ্যা শূন্যস্থানটির জন্য একটি ভিত্তি ফিরিয়ে দেবে। আপনার এজেন্যগুলি কী দরকার?
আর্নল্ড নিউমায়ার

@ আর্নল্ডনিউইয়ার: আমি ম্যাটল্যাবে [0,1] এর পরিসীমাতে কিছুটা পরীক্ষা চালিয়েছি, যার মধ্যে একটি ইগনুয়ালু ম্যানুয়ালি 6.3e-16, এবং অক্টাভের এসভিডি রুটিনের (যেমন ডিজেভিডের উপর ভিত্তি করে, যা দ্বিদ্বীপ এবং হ্রাস ব্যবহার করে তারপরে কিউআর) এই মানগুলি অষ্টাভের আইগের চেয়ে অনেক বেশি নির্ভুলভাবে তুলবে। লিঙ্কযুক্ত জ্যাকোবি কোডটি ব্যবহার করতে খুব ধীর বলে মনে হচ্ছে, এমনকি পরিমিত আকারের ম্যাট্রিক্সেও।
জ্যাক পলসন

@ জ্যাকপুলসন: হ্যাঁ তবে লে একাধিক ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র আইজভ্যালু সম্পর্কে অভিযোগ করে বলে মনে হচ্ছে এবং তাদের আইজেনভেেক্টরগুলি খুব কমই ডিজাইন করা হবে তবে কোন পদ্ধতি ব্যবহার করা হোক না কেন, অবাধে মিশ্রিত হবে। এবং ইতিবাচক খুব ক্ষুদ্র ধনাত্মক মান (1e-16 এর চেয়ে কম) অবশ্যই শূন্য পাওয়া যাবে।
আর্নল্ড নিউমায়ার

@ আর্নল্ডনিউমায়ার ঠিক বলেছেন যে আমি একাধিক খুব ছোট এগেনভ্যালুগুলি খুঁজে পাচ্ছি, যা আমি অনুমান করছি যে সমস্যাটি আরও বাড়িয়ে তোলে। আমি বুঝতে পারি নি (যদিও পূর্ববর্তী ক্ষেত্রে এটি স্পষ্টতই) যে 1e-16 এর চেয়ে কম ইগোনালগুলি ভাসমান পয়েন্টে শূন্য হবে। আমি অনুমান করি যদিও সংখ্যাটি সংরক্ষণ করা যায়, বড় সংখ্যায় এটি যুক্ত করার পরে গোলাকৃতি ত্রুটি ঘটে। আইজেন্টিভেক্টররা আমাকে বলে যে কোনও নির্দিষ্ট সমস্যা সমাধানযোগ্য। ইগেনভেেক্টর সমস্যার সমাধানযোগ্য এবং অ দ্রবণীয় অংশগুলিতে পচন করতে দেয়। যদি আমি মৌলিকভাবে নির্ভুলতার দ্বারা সীমাবদ্ধ থাকি তবে আপনি কি দ্রুত সমাধানের জন্য কোনও প্যাকেজ সুপারিশ করতে পারেন?
লেইগ করুন
আমাদের সাইট ব্যবহার করে, আপনি স্বীকার করেছেন যে আপনি আমাদের কুকি নীতি এবং গোপনীয়তা নীতিটি পড়েছেন এবং বুঝতে পেরেছেন ।
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.