নিউটনের পদ্ধতির জন্য আকর্ষণের বেসিন

Question

অরৈখিক সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য নিউটনের পদ্ধতিটি চতুর্ভুজ রূপান্তরিত হিসাবে পরিচিত যখন শুরুর অনুমানটি সমাধানের "যথেষ্ট পরিমাণে" থাকে।

"পর্যাপ্ত কাছাকাছি" কী?

আকর্ষণীয় এই অববাহিকার কাঠামো সম্পর্কে সাহিত্য কি আছে?

Comments

মূলটি পৃথক করা উচিত (একাধিক নয়)। যদি হেসিয়ান এই অঞ্চলে অভিন্নভাবে নির্দিষ্ট (অবতল বা নীচে) হয় তবে আপনার উচিত ভাল। অবশ্যই এই শর্তাদি পরীক্ষামূলকভাবে গ্যারান্টি দেওয়া বা পরীক্ষা করা সাধারণত অবৈজ্ঞানিক।

— মিনিটে হার্ডম্যাথ

আমি অন্য দিন এনএ-ডাইজেস্টে প্রশ্নটি দেখেছি এবং এটি আগ্রহজনক বলে মনে করেছি। স্পষ্টতই আমি একজনই ছিলাম না :-)

— ওল্ফগ্যাং ব্যাঙ্গার্থ

Answer 1

জটিল ডোমেনে একক যুক্তিযুক্ত সমীকরণের জন্য, আকর্ষণীয় অববাহিকাটি ভাঙ্গা, তথাকথিত জুলিয়া সেটটির পরিপূরক। http://en.wikedia.org/wiki/ জুলিয়া_সেট । কিছু দুর্দান্ত অনলাইন ফিগার সহ তত্ত্বের জন্য দেখুন, উদাহরণস্বরূপ,
http://mathlab.mathlab.sunysb.edu/~scott/Papers/Newton/Published.pdf
http://hera.ugr.es/doi/15019160.pdf

এমনকি '' বিশ্বায়িত '' জন্য নিউটন পদ্ধতিতে স্যাঁতসেঁতে আকর্ষণটির একটি ফ্র্যাক্টাল বেসিন রয়েছে; দেখতে http://www.jstor.org/stable/10.2307/2653002 ।$x^3-1=0$

সুতরাং সমাধানের "যথেষ্ট কাছাকাছি" কী তা বিশদে বিশদভাবে উল্লেখ করার সামান্য বিষয় আছে। যদি কেউ দ্বিতীয় ডেরাইভেটিভসের সীমানা জেনে থাকে তবে নিউটন - ক্যান্টোরোভিচ উপপাদ্য রয়েছে যা একটি বলের ব্যাসার্ধের নীচে সীমানা দেয় যেখানে নিউটনের পদ্ধতিটি রূপান্তরিত করে তবে 1 ডি ব্যতীত এগুলি বেশ হতাশাব্যঞ্জক হতে থাকে।

অন্তর্বর্তী গাণিতিক ব্যবহার করে গুণগতভাবে কার্যকর সীমানা পাওয়া যায়; দেখুন, উদাহরণস্বরূপ, আমার কাগজ
শেন জুহে এবং এ। নিউমায়ার , ক্রাচজিক অপারেটর এবং ক্যান্টোরোভিচের উপপাদ্য, জে ম্যাথ। পায়ুসংক্রান্ত। Appl। 149 (1990), 437-443।
http://www.mat.univie.ac.at/~neum/scan/61.pdf

Comments

এটি কেবলমাত্র জটিল প্লেনেই এর আকর্ষণের একটি ফ্র্যাক্টাল বেসিন রয়েছে। আসল লাইনে, কোনও প্রাথমিক অনুমান x > 0 করবে (একবার x > 1 রূপান্তরটি মনটোন হ্রাস পাবে এবং চতুর্ভুজ হার দ্রুত উপস্থিত হবে)। $x^3 - 1 = 0$$x > 0$$x > 1$

— হার্ডম্যাথ

@ হার্মথ: হ্যাঁ, তবে জটিল সমীকরণটি দুটি ভেরিয়েবলগুলিতে দুটি আসল সমীকরণ হয়ে যায়, যার জন্য একই প্রযোজ্য।

— আর্নল্ড নিউমায়ার

Answer 2

"পর্যাপ্তরূপে নিকটবর্তী" এর বৈশিষ্ট্যটি বিবেচনা করা কঠিন যে এটি ভঙ্গুর একটি শ্রেণির জন্ম দেয় । বিশ্বায়ন কৌশল যেমন লাইন অনুসন্ধান এবং বিশ্বাসের অঞ্চল সহ নিউটনের পদ্ধতিগুলি আকর্ষণের বেসিনকে প্রসারিত করে। অতিরিক্ত সমস্যার কাঠামো যদি উপলভ্য থাকে যেমন অনুকূলকরণের ক্ষেত্রে, রূপান্তরকরণের জন্য প্রয়োজনীয় অনুমানগুলি আরও দুর্বল করা যায়।

Comments

শুধু কৌতূহলের জন্য, "অতিরিক্ত সমস্যার কাঠামো যদি পাওয়া যায় যেমন অনুকূলকরণের ক্ষেত্রে, রূপান্তরকরণের জন্য প্রয়োজনীয় অনুমানগুলি আরও দুর্বল করা যায়?"

— ভ্যানকম্পিউট

@ ওয়ানকম্পিউট এই অপটিমাইজেশন সম্পর্কিত উদাহরণের জন্য এই উদাহরণটি দেখুন , যেখানে অবজেক্টটি ক্রিয়াকলাপ এমন তথ্য সরবরাহ করে যা প্রথম অর্ডারের অনুকূল অবস্থার মধ্যে হারিয়ে গেছে। অন্য রূপটি হ'ল জ্ঞান হবে যে একটি নির্দিষ্ট ধারাবাহিকতা (সিউডোট্রান্সিয়েন্ট, প্যারামিটার, গ্রিড ইত্যাদি) সর্বদা রূপান্তরিত হয়, তবে যদি কেউ সমস্যাটি সরাসরি সমাধানের চেষ্টা করে তবে সমাধানে পৌঁছানোর আগে অবশিষ্টাংশকে বাড়তে হতে পারে।

— জেড ব্রাউন

Answer 3

নিউটনের পদ্ধতির জন্য জটিল বহুপদীতে প্রয়োগের জন্য কিছু কার্যকর ফলাফল রয়েছে।

$f$

$$r=\frac{\eta}{2d}$$ $\eta$$f$$d$$f$

অন্যান্য স্পষ্ট সীমা অ্যান্টনি ম্যানিং দ্বারা দেওয়া হয়েছে কীভাবে নিউটনের পদ্ধতিটি (থিওরেম ১.২) ব্যবহার করে কোনও জটিল বহুবর্ষের মূল খুঁজে পাওয়া যায় তা নিশ্চিত করা যায় in

নিউটনের পদ্ধতিতে হবার্ড এট আল দ্বারা জটিল বহুপদীগুলির সমস্ত শিকড় কীভাবে সন্ধান করতে হয় তা দেখুন ।
উদ্ভাবন করছ। ম্যাথ। 146 (2001), নং। 1, 1–33। পিডিএফ

Comments

Math.stackexchange.com/a/1038487/589 থেকে অভিযোজিত ।

— lhf