সীমাবদ্ধ পার্থক্য পদ্ধতির জন্য ভ্যান নিউম্যান স্থায়িত্ব বিশ্লেষণের বিকল্প Al

13

আমি যুগল এক-মাত্রিক পোরোলেস্টিকটি সমীকরণ ( বায়োটের মডেল) সমাধান করার জন্য কাজ করছি , যা এই হিসাবে দেওয়া হয়েছে:

- (λ + 2 μ) \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial p}{\partial x} = 0

$-(\lambda+ 2\mu) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial p}{\partial x} = 0$

\frac{\partial}{\partial t} [γ p + \frac{\partial u}{\partial x}] - \frac{κ}{η} [\frac{\partial^{2} p}{\partial x^{2}}] = q (x, t)

$\frac{\partial}{\partial t} \left[ \gamma p + \frac{\partial u}{\partial x}\right] -\frac{\kappa}{\eta}\left[\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}\right] =q(x,t)$ ডোমেনেএবং সীমানা শর্ত সহ:

Ω = (0, 1)

$\Omega=(0,1)$

$p=0, (\lambda + 2\mu)\frac{\partial u}{\partial x}=-u_0$ এ এবং এ । $x=0$ $u=0, \frac{\partial p}{\partial x} = 0$ $x=1$

আমি একটি কেন্দ্রিক সসীম পার্থক্য স্কিম ব্যবহার করে এই সমীকরণকে পৃথকীকরণ করেছি:

(λ + 2 μ) \frac{u_{i + 1}^{t + 1} - 2 u_{i}^{t + 1} + u_{i - 1}^{t + 1}}{Δ x^{2}} + \frac{p_{i + 1}^{t + 1} - p_{i - 1}^{t + 1}}{2 Δ x} = 0

$(\lambda + 2\mu)\frac{u^{t+1}_{i+1}-2u^{t+1}_i+u^{t+1}_{i-1}}{\Delta x^2} + \frac{p^{t+1}_{i+1}-p^{t+1}_{i-1}}{2\Delta x} = 0$

γ \frac{p_{i}^{t + 1} - p_{i}^{t}}{Δ t} + \frac{u_{i + 1}^{t + 1} - u_{i - 1}^{t + 1}}{2 Δ x Δ t} - [\frac{u_{i + 1}^{t} - u_{i - 1}^{t}}{2 Δ x Δ t}] - \frac{κ}{η} [\frac{p_{i + 1}^{t + 1} - 2 p_{i}^{t + 1} + p_{i - 1}^{t + 1}}{Δ x^{2}}] = q_{i}^{t + 1}

$\gamma \frac{p^{t+1}_i-p^t_i}{\Delta t} + \frac{u^{t+1}_{i+1}-u^{t+1}_{i-1}}{2\Delta x \Delta t} -\left[ \frac{u^t_{i+1}-u^t_{i-1}}{2\Delta x \Delta t}\right] - \frac{\kappa}{\eta}\left[ \frac{p^{t+1}_{i+1} -2p^{t+1}_i + p^{t+1}_{i-1}}{\Delta x^2}\right]=q^{t+1}_i$

আমি বর্তমানে স্কিমটির ধারাবাহিকতা এবং স্থায়িত্ব বিশ্লেষণ করে রূপান্তরকরণের বিশদটি নিয়ে কাজ করছি। ধারাবাহিকতা অংশটি আমার কাছে মোটামুটি সহজবোধ্য বলে মনে হচ্ছে, তবে আমি ইতিমধ্যে স্থিতিশীলতা বিশ্লেষণে কিছু অসুবিধাগুলি পূর্বেই দেখছি। প্রথমত, দুটি ভেরিয়েবল এবং দুটি সমীকরণ রয়েছে। দ্বিতীয়ত, দ্বিতীয় সমীকরণে একটি মিশ্র স্পটিওটেম্পোরাল ডেরাইভেটিভ শব্দও রয়েছে। আমি ভ্যান নিউম্যান স্ট্যাবিলিটি বিশ্লেষণের সাথে পরিচিত এবং দেখতে পারি যে এই পদ্ধতিটি দিয়ে স্থায়িত্ব প্রতিষ্ঠা করা খুব শক্ত হবে। ভ্যান নিউম্যান বিশ্লেষণের কোনও বিকল্প আছে যা আমি ব্যবহার করতে পারি?

— পল
সূত্র

1

আপনি যদি সমীকরণের পদ্ধতিতে বিশ্লেষণ করতে স্বাচ্ছন্দ্য বোধ করেন না, তবে প্রথম সমীকরণটিকে এবং দ্বিতীয়টি সাথে আলাদা করে আলাদা করুন । তারপর নির্মূল করার মিশ্র আংশিক ডেরাইভেটিভস সমতা ব্যবহার ।

t

$t$

x

$x$

u

$u$

— ডেভিড কেচসন

@ ডেভিডকেটসন: আকর্ষণীয়। সংক্ষেপে, আপনি পরামর্শ করছি যে, আমি একটি একক পরিবর্তনশীল সিস্টেম কমাতে এবং এর মান ভন Neumann বিশ্লেষণ আচার পারে থেকে সাধারণত্ব কোন ক্ষতি ছাড়া ?

p

$p$

u

$u$

— পল

এটি একই সমস্যা, আপনি এটি সিস্টেম বা স্কেলার পিডিই হিসাবে লেখেন না কেন।

— ডেভিড কেচসন

7

$\frac{\partial u}{\partial x}$ $u_x$

[\begin{matrix} 0 & 0 \\ I & I \end{matrix}] \frac{d}{d t} [\begin{matrix} p_{h} (t) \\ u_{x, h} (t) \end{matrix}] + [\begin{matrix} - \partial_{h} & \partial_{h} \\ - Δ_{h} & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} p_{h} (t) \\ u_{x, h} (t) \end{matrix}] = [\begin{matrix} q_{h} (t) \\ 0 \end{matrix}] (*)

$\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ I & I \end{bmatrix} \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} p_h(t) \\ u_{x,h}(t) \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -\partial_h & \partial_h \\ -\Delta_h & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} p_h(t) \\ u_{x,h}(t) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} q_h(t) \\ 0 \end{bmatrix} \quad (*)$

1

$1$

_{h}

${}_h$

\frac{d}{d t}

$\frac{d}{dt}$

এখন ডিফারেনশিয়াল-বীজগণিত (ডিএই) কাঠামোটি স্পষ্ট। ভেরিয়েবলের জন্য উভয়ই ডিফারেনশিয়াল (সময়ে) এবং বীজগণিত সমীকরণ রয়েছে।

আপনি যদি তা দেখাতে পারেন যে অবিচ্ছিন্ন, সিএফ. এই প্রিন্ট [পি। 3] এবং ডিএই সূচকের 1 এর চেয়ে নীচে সম্পাদনা বা অদ্ভুততা মুক্ত এবং অন্তর্নিহিত ইউলার অভিজাত হিসাবে পরিচিত, এই বইয়ের তত্ত্বটি 5.12 দেখুন । (অস্বীকৃতি: এই বইটি নিখরচায় পাওয়া যায় না এবং আমার পিএইচডি সুপারভাইজারের দ্বারা লেখা হয়) $\begin{bmatrix} -\partial_h & \partial_h \\ I & I \end{bmatrix}$

এই পদ্ধতির সাথে, আপনি সম্ভবত স্থিতিশীলতা বিশ্লেষণের কাছাকাছি পাবেন।

সরাসরি প্রমাণ স্বরূপ স্থায়িত্ব, আমি সমীকরণ ব্যবহার করতে চেষ্টা করবে ভন নিউম্যান স্থায়িত্ব eigenfunctions ব্যবহার বিশ্লেষণ প্রয়োগ করতে এবং প্রভাব তদন্ত eigenfunctions সম্মুখের। $L^2$ $(*)$ $\Delta_h$ $\partial_h$

তবে , যদি জন্য স্থিতিশীলতা স্থাপন করা না যায় , তবে এর অর্থ এই নয় যে আপনার স্কিমটি রূপান্তরযোগ্য নয় - কারণ এর বিকল্পের কারণে । সাধারণভাবে বলতে গেলে, স্কিমে তাদের ডেরাইভেটিভগুলি প্রায় নিকটবর্তী করার পরিবর্তে প্রকৃত ভেরিয়েবলগুলির সমানকরণের জন্য স্থিতিশীলতা আশা করতে পারে। $(*)$ $u\leftarrow u_x$

পরিশিষ্ট: একটি ডিএই সূচক 1 বলা হয়, যদি এটি সমীকরণকে আলাদা না করেই ওডিইতে রূপান্তর করা যায়।

বলুন, ডিএই the তারপরে বোঝায় যে শেষ পর্যন্ত সহগের কলামগুলিকে অদলবদল করে এমন একটি পরিবর্তনশীল যা সঙ্গে (এ 2 এর সম্পত্তি ) এবং ইনভারটিবল (শুর পরিপূরক)।

[\begin{matrix} E_{1} \\ 0 \end{matrix}] \dot{y} + [\begin{matrix} A_{1} \\ A_{2} \end{matrix}] y = f .

$\begin{bmatrix} E_1 \\ 0 \end{bmatrix}\dot y + \begin{bmatrix} A_1 \\ A_2 \end{bmatrix} y = f.$

[\begin{matrix} E_{1} \\ A_{2} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} E_1 \\ A_2 \end{bmatrix}$

\tilde{y} \to y

$\tilde y \to y$

[\begin{matrix} E_{1} \\ A_{2} \end{matrix}] \to [\begin{matrix} {\tilde{E}}_{11} & {\tilde{E}}_{12} \\ {\tilde{A}}_{21} & {\tilde{A}}_{22} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} E_1 \\ A_2 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \tilde E_{11} & \tilde E_{12} \\ \tilde A_{21} & \tilde A_{22} \end{bmatrix}$

{\tilde{A}}_{22}

$\tilde A_{22}$

A_{2}

$A_2$

{\tilde{A}}_{11} - {\tilde{E}}_{12} {\tilde{A}}_{22}^{- 1} {\tilde{A}}_{21}

$\tilde A_{11} - \tilde E_{12} \tilde A_{22}^{-1} \tilde A_{21}$

সিস্টেমের জন্য এর অর্থ এই যে বীজগাণিতিক অংশ সংজ্ঞায়িত একটি অংশ জন্য সমাধান করতে ব্যবহার করা যেতে পারে এর । তারপরে, বাকী ভেরিয়েবলগুলির জন্য একটি , কেউ ডিফারেনশিয়াল অংশ ( মধ্যে দ্বিতীয় ব্লক লাইন থেকে নির্মূল করতে পারেন । $(*)$ $A_2:=[-\partial_h ~ \partial_h]$ $\tilde y_2$ $(p_h,u_{x,h})$ $\frac{d}{dt}\tilde y_2$ $(*)$

— জানুয়ারী
সূত্র

এটি একটি খুব আকর্ষণীয় কৌশল। আপনি উল্লিখিত কাগজের দিকে আমি নজর রেখেছি এবং আমি কৌতূহলী হয়েছি যে আপনি কীভাবে এই সিদ্ধান্তে পৌঁছেছেন যে অবশ্যই অবিচ্ছিন্ন হতে হবে । আপনি কোন উপপাদ্য প্রয়োগ করেছেন?

[\begin{array}{cc} - \partial_{h} & \partial_{h} \\ I & I \end{array}]

$\left[\begin{array}{cc}-\partial_h &\partial_h\\ I & I \end{array}\right]$

— পল

@ পল আমি রেফারেন্সের জন্য একটি উপপাদ্য খুঁজে পাইনি, তাই আমি আমার উত্তরে যুক্তিগুলি sertোকাব ...

— জানুয়ারী

4

আমি এখানে প্রদত্ত সমীকরণগুলির সাথে পরিচিত নই, তবে আমার কোর্স ওয়ার্কে একটি সংখ্যাগত স্কিমের স্থায়িত্ব পরীক্ষা করার জন্য আমি অন্য একটি পদ্ধতি শিখতে চাইছি। এটি পরিবর্তিত সমীকরণ বিশ্লেষণ হিসাবে পরিচিত।

এখানে এটির জন্য একটি ভাল রেফারেন্স,

http://193.146.160.29/gtb/sod/usu/$UBUG/repositorio/10291890_Warming.pdf

উপরোক্ত রেফারেন্সে, পরিবর্তিত সমীকরণ বিশ্লেষণ এবং ভন নিউমান স্ট্যাবিলিটি বিশ্লেষণের উপর ভিত্তি করে স্থায়িত্ব তত্ত্বের মধ্যে সংযোগ স্থাপন করা হয়েছে।

কিছুটা অনলাইন অনুসন্ধানের পরে আমি নিম্নলিখিত রেফারেন্সগুলি দেখতে পেলাম,

এই গবেষণাপত্রটি ভূমিকম্পের ফ্রিকোয়েন্সিগুলিতে বায়োটের পোরোলেস্টিক সমীকরণগুলির সীমাবদ্ধ পার্থক্য মডেলিং সম্পর্কে আলোচনা করেছে। এটির পাশাপাশি সংখ্যাগত স্কিমের স্থিতিশীলতা সম্পর্কিত একটি বিভাগ রয়েছে।

এই কাগজটি কাপল্ড সিস্টেমটিকে ডিকম্পল করার এবং সংখ্যাগত স্কিমের স্থায়িত্ব পরীক্ষা করার একটি সমাধান কৌশল উপস্থাপন করে।

— সুবোধ
সূত্র

আমি উপরের সমীকরণগুলিতে পরিবর্তিত সমীকরণ বিশ্লেষণ সম্পাদন করিনি, তবে ভন নিউমানের বিশ্লেষণের বিকল্প হিসাবে প্রশ্নটি জিজ্ঞাসা করার সাথে সাথে আমি উপরের উত্তরটি লিখেছি। এটি যথেষ্ট সম্ভব যে এটি প্রশ্নের উত্তর দেয় না। তবে কারও পক্ষে তার কাজের জন্য তালিকাভুক্ত উল্লেখগুলি দরকারী বলে মনে হতে পারে।

— সুবোধ 23'13

রেফারেন্সের জন্য আপনাকে ধন্যবাদ! আমি দেখতে পাচ্ছি যে আপনার সংশোধিত সমীকরণ বিশ্লেষণ পত্রিকায় যে ফর্মটি দরকার তা আমি যে সমীকরণগুলি ব্যবহার করছি তা পুরোপুরি ফিট করে না, তবে নতুন বিশ্লেষণের কৌশলগুলি শিখতে এটি বেশ আগ্রহজনক!

— পল