অনেক মাত্রায় পিডিই

Question

আমি জানি যে পিডিইগুলির আনুমানিক সমাধানগুলি সন্ধানের বেশিরভাগ পদ্ধতিগুলি মাত্রা সংখ্যার সাথে খারাপভাবে স্কেল করে এবং মন্টি কার্লো এমন পরিস্থিতিতে ব্যবহার করা হয় যেগুলি ~ 100 মাত্রা ডাকে for

4-10 ডলারের মাত্রায় দক্ষতার সাথে সংখ্যায় পিডিই সমাধানের জন্য ভাল পদ্ধতিগুলি কী কী? 10-100?

মন্টি কার্লো ছাড়াও এমন কোনও পদ্ধতি আছে যা মাত্রার সংখ্যার সাথে ভাল স্কেল করে?

Comments

আপনি যে ধরণের সমস্যার সমাধান করছেন সে সম্পর্কে কিছুটা আরও তথ্য সরবরাহ করতে এটি আপনাকে সহায়তা করতে পারে। কম্পিউটেশনাল সায়েন্সে পরিচালিত বেশিরভাগ পিডিইর সর্বাধিক চার-মাত্রিক (সময় এবং তিনটি স্থানিক মাত্রা) থাকে। ভেরিয়েবলগুলি কি স্থানিক বা সময়ের ভেরিয়েবলগুলি হয়, বা আপনি অন্তর্ভুক্ত করছেন এমন অন্যান্য নির্ভরতা রয়েছে?

— আইজমেল

স্থানিক পরিবর্তনশীল। কোয়ান্টাম মেকানিক্সে আপনি ঘনত্বের ক্রিয়ামূলক তত্ত্ব বা হার্ট্রি-ফক ব্যবহার করেন এমন অনুমানগুলি করতে না চাইলে তরঙ্গসংশোধনটি মাত্রিক, যেখানে n ইলেক্ট্রনের সংখ্যা। সুতরাং এমনকি ছোট অণু এবং অণুগুলিকেও সঠিকভাবে পরিচালনা করতে প্রচুর পরিমাণে মাত্রা প্রয়োজন। $3n$$n$

— ড্যান

সমাধান সম্পর্কে আপনি কী তথ্য জানতে চান এটি অনেকটা নির্ভর করে। একটি খুব সহজেই একটি ইলেক্ট্রন তরঙ্গ ফাংশন সম্পর্কে প্রতিটি বিশদ জানতে চান । সুতরাং এক প্রকৃত পছন্দসই তথ্য গণনা কৌশল টেলর করতে হবে। $n$

— আর্নল্ড নিউমায়ার

দয়া করে 100 টি মাত্রায় একটি ইলেকট্রনিক শ্রয়েডিংগার সমীকরণের মন্টি কার্লো সমাধানের জন্য একটি উল্লেখ উল্লেখ করুন c

— আর্নল্ড নিউমায়ার

আমার কাছে রেফারেন্স নেই। আমি কেবল সিসিডির কথা শুনেছি যে অনেক মাত্রা QCD এর জন্য ব্যবহৃত হচ্ছে। আমি কেবল 4-5 মাত্রায় শ্রোয়েডাঙ্গার সিমুলেশন করতে চাইছি, তবে আমি ভাবছিলাম যে মন্টি কার্লো ছাড়াও কিছু কিছু মাত্রা সংখ্যার সাথে ভালভাবে ছড়িয়ে গেছে, এবং 100 টি অ্যাসিপটোটিক স্কেলিংয়ের জন্য একটি দুর্দান্ত, বড় গোলাকার সংখ্যার মতো বলে মনে হচ্ছে।

— ড্যান

Answer 1

একাধিক মাত্রায় ভিত্তি বা চতুর্ভুজ সরবরাহের আরও কাঠামোগত উপায় (যা অনেক ক্ষেত্রে এমসিকে প্রতিস্থাপন করতে পারে) হ'ল বিরল গ্রিড যা বিভিন্ন ক্রমের এক মাত্রিক নিয়মের কিছু পরিবারকে এমনভাবে সংহত করে যাতে কেবলমাত্র ঘনিষ্ঠভাবে বৃদ্ধি পেতে পারে মাত্রা, , বরং এটা যে মাত্রা হতে থাকার চেয়ে রেজল্যুশন একজন এক্সপোনেন্ট হয় এন ঘ ।$2^d$$N^d$

এই একটি Smolyak পাদসংস্থান, যা এক-মাত্রিক নিয়ম একটি ধারাবাহিক সম্মিলন হিসাবে পরিচিত হয় মাধ্যমে সম্পন্ন করা হয় যেমন$Q^1_l$

$Q^d_n = \displaystyle\sum^{n}_{l}(Q^{1}_i - Q^{1}_{i-1})\otimes Q^{d-1}_{m-i+1}$

স্থান থেকে সরানো উচ্চ মিশ্রিত আদেশের সাথে এটি টেনসর পণ্য চতুর্ভুজ স্থানের সমান । এটি যদি কঠোর পর্যায়ে ফ্যাশনে করা হয়, তবে জটিলতা আরও উন্নত হতে পারে। তবে, কেউ এটি করতে সক্ষম হন এবং ভাল আনুমানিকতা বজায় রাখার জন্য, দ্রবণটির নিয়মিততার যথেষ্ট পরিমাণে মিশ্র ডেরিভেটিভগুলি নষ্ট করতে হয়।

বিরল গ্রিডের মতো জিনিসগুলির জন্য Griebel একদল পিটিয়ে হত্যা করা হয়েছে কনফিগারেশন স্থান Schrodinger সমীকরণ এবং অন্যান্য উচ্চ মাত্রিক প্রশংসনীয় ভাল ফলাফল সঙ্গে জিনিস। প্রয়োগের ক্ষেত্রে, ব্যবহৃত বেস ভিত্তিক কার্যগুলি যতক্ষণ না আপনি বাসা বাঁধতে পারেন ততক্ষণ সাধারণ হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, প্লেন-তরঙ্গ বা শ্রেণিবদ্ধ বেসগুলি সাধারণ।

নিজেকে কোড করাও বেশ সহজ। আমার অভিজ্ঞতা থেকে, আসলে এই সমস্যাগুলির জন্য এটির কাজ করা অবশ্য খুব শক্ত। একটি ভাল টিউটোরিয়াল বিদ্যমান।

যাদের সমাধানগুলি দ্রুত মারা যায় এমন ডেরিভেটিভগুলির বৈশিষ্ট্যযুক্ত বিশেষত সোব্লেভ স্পেসে বাস করে এমন সমস্যার জন্য স্পারস গ্রিড পদ্ধতির সম্ভাব্যতর এমনকি আরও বেশি ফলাফল হতে পারে ।

অ্যাক্টা নুমেরিকা পর্যালোচনা কাগজ, উচ্চ-মাত্রিক প্যারামেট্রিক এবং স্টোকাস্টিক পিডিইগুলির স্পার্স টেন্সর বিবেচনার বিষয়টিও দেখুন ।

Comments

স্পারস গ্রিডগুলি প্রযোজ্য নয় এমন কোনও সুপরিচিত উদাহরণ রয়েছে?

— এমরোকলিন

আপনার সত্যিকার অর্থে নিয়মিততা রাখা দরকার। এছাড়াও, যদি আপনার বাজে হাই-ডাইমেনশনাল কাস্পস (কিউএম-এর মতো) থাকে তবে আপনাকে সতর্কতা অবলম্বন করতে হবে। আমি স্পার্স গ্রিড চক্র সম্পর্কে কিছু গল্প শুনেছি (এমনকি প্রমাণের সাথেও) যে মন্টে-কার্লোয়ের চেয়ে এটি এত ভাল নয় , তবে এটির কোনও ভাল রেফারেন্স খুঁজে পাওয়া যায় না।

— পিটার ব্রুনে

ঠিক আছে, স্ক্রয়েডিংগারগুলির জন্য বিরল গ্রিডের কাগজটি আপনি কেবল 2 ইলেক্ট্রনকেই ব্যবহার করেন। কয়টি ইলেকট্রন পদ্ধতি দ্বারা বাস্তবে ট্র্যাকটেবল হয়?

— আর্নল্ড নিউমায়ার

Answer 2

একটি সাধারণ নিয়ম হিসাবে, এটি বুঝতে সহজ কেন নিয়মিত গ্রিডগুলি 3 বা 4-মাত্রিক সমস্যার থেকে বেশি যেতে পারে না: ডি মাত্রায় আপনি যদি স্থানাঙ্কের দিকনির্দেশে ন্যূনতম এন পয়েন্ট পেতে চান তবে আপনি N ^ d পাবেন সামগ্রিক পয়েন্ট। এমনকি 1 ডি-তে তুলনামূলকভাবে সুন্দর ফাংশনগুলির জন্য, এগুলি সমাধান করার জন্য আপনার কমপক্ষে N = 10 গ্রিড পয়েন্ট প্রয়োজন, সুতরাং পয়েন্টগুলির সামগ্রিক সংখ্যা 10 ^ ডি হবে - এমনকি এমনকি সবচেয়ে বড় কম্পিউটারগুলিতেও আপনি ডি ছাড়িয়ে যাবেন না = 9, এবং সম্ভবত আর কখনও অতিক্রম করবে না । বিচ্ছিন্ন গ্রিডগুলি কিছু পরিস্থিতিতে সহায়তা করতে পারে যদি সমাধানের কার্যক্রমে নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্য থাকে তবে সাধারণভাবে, আপনাকে মাত্রিকতার অভিশাপের পরিণতিগুলি নিয়ে বাঁচতে হবে এবং এমসিসিএম পদ্ধতিগুলির সাথে যেতে হবে।

Comments

এমসিসিএম কী বোঝায়?

— ড্যান

মার্কভ চেইন মন্টি কার্লো: en.wikedia.org/wiki/Markov_chain_Monte_Carlo

— জ্যাক পলসন

Answer 3

$d=4,...,100$$d=100,101,...\infty$

Comments

$O(\sqrt{N})$$10^7$

$C^{k,\alpha}$