সমাধানের জ্যাকবিয়ান যখন একবচন হয় তখন নিউটনের পদ্ধতির জন্য কৌশলগুলি

Question

আমি ভেরিয়েবল এবং এক্স 2 এর জন্য নীচের সমীকরণগুলির সিস্টেমটি সমাধান করার চেষ্টা করছি (অন্য সবগুলি ধ্রুবক):$P,x_1$$x_2$

$$\frac{A(1-P)}{2}-k_1x_1=0 \\ \frac{AP}{2}-k_2x_2=0 \\ \frac{(1-P)(r_1+x_1)^4}{L_1}-\frac{P(r_1+x_2)^4}{L_2}=0$$

আমি দেখতে পাচ্ছি যে আমি এই সিস্টেমের সমীকরণগুলিকে যথাক্রমে x 1 এবং x 2 এর জন্য 1 এবং 2 সমীকরণগুলি সমাধান করে এবং তাদের সমীকরণ 3 এ প্রতিস্থাপন করে একটি একক পরিবর্তনশীল এর একক সমীকরণে রূপান্তর করতে পারি In সমাধানটি খুঁজতে মাতলাবের কমান্ডটি ব্যবহার করুন । K 1 = k 2 = 1 , r 1 = r 2 = 0.2 , এবং A = 2 পরামিতিগুলি ব্যবহার করে , আমি পি = x 1 = x হওয়ার প্রকৃত সমাধানটি পেয়েছি$(P)$$x_1$$x_2$fzero$k_1=k_2=1$$r_1=r_2=0.2$$A=2$ ।$P=x_1=x_2=0.5$

যাইহোক, আমি যখন নিউটনের পদ্ধতিটি মূল 3 বৈকল্পিক - 3 সমীকরণ সিস্টেমে প্রয়োগ করি তখন পুনরাবৃত্তিগুলি কখনই সমাধানে রূপান্তরিত হয় না, যতই আমি সত্য সমাধানের সাথে শুরু করি না কেন । $x^*=(P^*,x_1^*,x_2^*)=(0.5,0.5,0.5)$

প্রথমদিকে, আমি নিউটনের পদ্ধতিটি প্রয়োগ করার ক্ষেত্রে আমার একটি ত্রুটি সন্দেহ করেছিলাম। বেশ কয়েকবার যাচাই করার পরেও আমি কোনও বাগ পেলাম না। তারপর আমি ইনিশিয়াল অনুমান ব্যবহার করার চেষ্টা , তৎক্ষণাৎ & দেখ: Jacobian একবচন হয়। আমি জানি যে একক একক জ্যাকোবিয়ান অভিভাবনের ক্রমকে হ্রাস করতে পারে, তবে আমি মনে করি না যে এটি প্রয়োজনীয় সমাধানটি সত্য সমাধানে রূপান্তরিত করে। $x_0=x^*$

সুতরাং, আমার প্রশ্নটি হল, প্রকৃত সমাধানে সিস্টেমের জ্যাকোবিয়ান একবচন:

1. নিউটনের পদ্ধতিটি রুটে রূপান্তরিত করবে না তা প্রমাণ করার জন্য আর কোন শর্ত প্রয়োজনীয়?

2. বিশ্বায়ন কৌশল (যেমন লাইন-অনুসন্ধান) একক জ্যাকোবিয়ান থাকা সত্ত্বেও কনভারজেন্সের নিশ্চয়তা দেয়?

Answer 1

(1): এটি সমাধানে জ্যাকবীয়ানের নালাগুলিতে জ্যাকবীয়দের (sic!) ডেরিভেটিভগুলির আচরণের উপর নির্ভর করে। অনুশীলনে, কেউ এই ডেরাইভেটিভগুলি গণনা করে না এবং আমি সুনির্দিষ্ট শর্তগুলি মনে করার জন্যও মাথা ঘামাইনি।

(২) কাজ করে, যদিও রূপান্তরটি কেবল লিনিয়ার is

সুপারলাইনার কনভার্জেন্স (কমপক্ষে বেশিরভাগ ক্ষেত্রেই) পেতে, কেউ টেনসর পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারে। যেমন,
https://cfwebprod.sandia.gov/cfdocs/CCIM/docs/SAND2004-1944.pdf
http://www.jstor.org/stable/10.2307/2156931
http://www.springerlink.com/ দেখুন সূচক / X5G827367G548327.pdf

Answer 2

লাইন-সন্ধানের পরিবর্তে আপনি আপনার নিউটনের পদ্ধতিটি লেভেনবার্গ-মার্কুয়ার্ড অ্যালগরিদমে পরিবর্তন করার চেষ্টা করতে পারেন । আপনি মতলব ব্যবহার করছেন তবে বাস্তবায়ন যথেষ্ট সহজ।