ইউনিফর্ম বনাম অ-ইউনিফর্ম গ্রিড

16

এটি সম্ভবত একটি ছাত্র স্তরের প্রশ্ন তবে আমি নিজের কাছে একে একে ক্লিট করতে পারি না। সংখ্যা পদ্ধতিতে অ-ইউনিফর্ম গ্রিড ব্যবহার করা কেন আরও সঠিক? আমি ফর্মের পিডিই জন্য কিছু সীমাবদ্ধ-পার্থক্য পদ্ধতির প্রসঙ্গে ভাবছি $u_t(x,t)=u_{xx}(x,t)$ । আর অনুমান করছি যে সময়ে একটি সমাধান আগ্রহী । সুতরাং, আমি দেখতে পাচ্ছি যে আমি যদি দ্বিতীয় ব্যয়টি প্রায় অনুমান করি, উদাহরণস্বরূপ ইউনিফর্ম গ্রিডে তিন পয়েন্টের প্রায় অনুমান ব্যবহার করে ত্রুটিটি হ'ল দ্বিতীয় ক্রম $x^{\ast}$ $O(h^2)$ । তারপরে আমি একটি ম্যাপিংয়ের মাধ্যমে অ-ইউনিফর্ম গ্রিড তৈরি করতে পারি এবং ডেরাইভেটিভের আনুমানিক জন্য ব্যবহৃত তিনটি পয়েন্টের সহগ খুঁজে পেতে পারি। আমি টেলর সম্প্রসারণ করতে পারি এবং আবার ডেরিভেটিভের জন্য দ্বিতীয় অর্ডার হওয়ার সীমাবদ্ধতা অর্জন করতে পারি , যেখানে ইউনিফর্ম গ্রিডের দূরত্ব যা থেকে আমি অ-ইউনিফর্ম গ্রিডে ম্যাপিং পেয়েছি। উভয় অনুমানের মধ্যে ডেরিভেটিভ থাকে এবং এটি আমার কাছে পরিষ্কার নয় যে কেন সমাধানটি অ-ইউনিফর্ম গ্রিডের উপর আরও সঠিক হবে কারণ এটি ত্রুটি অনুমানের সাথে সম্পর্কিত ডেরিভেটিভগুলির পরিমাণের উপর নির্ভর করে? $O(h^2)$ $h$

pde finite-difference

— কামিল
সূত্র

19

অ-অভিন্ন মেসের জন্য যুক্তিটি এইভাবে চলেছে (সমস্ত সমীকরণগুলি গুণগত হিসাবে বোঝে, অর্থাত্, সাধারণভাবে সত্য তবে এটি সমস্ত পরিস্থিতিতে এবং সমস্ত সমীকরণ বা সমস্ত সম্ভাবনাময় বিবেচনার জন্য প্রমাণিত হতে পারে):

‖ u - u_{h} ‖_{L^{2} (Ω)} \leq C h_{max}^{2} ‖ \nabla^{2} u ‖_{L^{2} (Ω)},

$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)} \le C h_{\text{max}}^2 \|\nabla^2 u\|_{L^2(\Omega)},$

‖ u - u_{h} ‖_{L^{2} (Ω)}^{2} \leq C h_{max}^{4} ‖ \nabla^{2} u ‖_{L^{2} (Ω)}^{2} .

$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)}^2 \le C h_{\text{max}}^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(\Omega)}^2.$

‖ u - u_{h} ‖_{L^{2} (Ω)}^{2} \leq C \sum_{K \in T} h_{K}^{4} ‖ \nabla^{2} u ‖_{L^{2} (K)}^{2} ।

$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)}^2 \le C \sum_{K \in {\mathbb T}} h_K^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^2.$

K

$K$

T

$\mathbb T$

h_{max}

$h_\text{max}$ । বরং সর্বাধিক দক্ষ কৌশল হ'ল সেলওয়্যার ত্রুটির অবদানকে - অন্য কথায়, আপনি নির্বাচন করা উচিত অন্য কথায়, স্থানীয় জাল আকার ছোট হওয়া উচিত যেখানে সমাধানটি রুক্ষ (বৃহত ডেরিভেটিভসযুক্ত) এবং বৃহত্তর যেখানে সমাধানটি মসৃণ হয় এবং উপরের সূত্রটি এই সম্পর্কের জন্য একটি পরিমাণগত পরিমাপ সরবরাহ করে।

h_{K}^{4} ‖ \nabla^{2} u ‖_{L^{2} (K)}^{2}

$h_K^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^2$

h_{K} \propto ‖ \nabla^{2} u ‖_{L^{2} (K)}^{- 1 / 2} .

$h_K \propto \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^{-1/2}.$

h_{K}

$h_K$

— ওল্ফগ্যাং ব্যাঙ্গারথ
সূত্র

1

আমি যুক্ত করব যে anisotropy সর্বাধিক দক্ষতার সাথে anisotropic আনস্যাটজ স্পেস (অর্থাত্ anisotropic জাল) দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। যেহেতু অ্যানিসোট্রপি কিছু প্রাথমিক মোটা জালের সাথে সংযুক্ত না হতে পারে, তাই একটি আইসোট্রপিক এএমআর অ্যালগরিদম খুব অদক্ষ হতে পারে। অ্যানিসোট্রপিতে কিছু অতিরিক্ত সমস্যা দেখা দেয় কারণ অনেকগুলি পদ্ধতি অনুপাতের অনুপাতের ক্ষেত্রে একইভাবে স্থিতিশীল নয়।

— জেদ ব্রাউন

6

এই উদাহরণ দিয়ে নিজেকে প্রমাণ করুন। সমতুল্য জালের উপর টুকরোচক রৈখিক প্রবৃত্তির সাহায্যে [0,1] ব্যবধানে স্কয়ার্ট (এক্স) বিভক্ত করার ক্ষেত্রে সর্বোচ্চ ত্রুটিটি কী?

কোন জালটি যখন এন পয়েন্টগুলির ith (i / n) by s দ্বারা প্রদত্ত হয় এবং সেক্ষেত্রে একটি সাবধানে নির্বাচিত জাল গ্রেডিং প্যারামিটারের সাথে জড়িত হওয়ার সময় সর্বোচ্চ ত্রুটিটি কী?

— রব শ্রাইবার
সূত্র

h_{i}

$h_i$

h_{i}

$h_i$

4

$u_t(x,t)=u_{xx}(x,t)$ $u_t(x,t)=(D(x)u_x(x,t))_x$ $D(x)$ $D(x)$

$u(x,0)$

— টমাস ক্লিম্পেল
সূত্র

আপনি দয়া করে উল্লেখ করতে পারেন, প্রাথমিক তথ্যগুলিতে বিচ্ছিন্নতার অঞ্চলগুলি আরও ঘনিষ্ঠভাবে "চেহারা" পেতে আপনি কী কী কৌশল ব্যবহার করবেন?

— কামিল

@ কামিল আমার এখানে দুটি জিনিস মনে আছে। প্রথম জিনিসটি পর্যাপ্ত নির্ভুলতার সাথে "গ্রিডে ব্যবহৃত উপস্থাপনায়" প্রাথমিক তথ্য প্রক্ষেপণ গণনা করা হয়। (এটিতে সাধারণত জাম্প বিচ্ছিন্নতাগুলিতে ওভার স্যাম্পলিং বা সাধারণ বিশ্লেষণী গণনাগুলির মতো জিনিস অন্তর্ভুক্ত থাকে)) আমি জানি যে এটি কেবল ভাল স্টাইল এবং এটি উল্লেখ করার পক্ষেও সহজ, তবে আমার অভিজ্ঞতায় এটি একক কারণে সৃষ্ট সমস্যাগুলি সমাধান করার জন্য প্রায়শই প্রয়োজন all ইনপুট ডেটা।

— টমাস ক্লিম্পেল

আমি অন্য যে জিনিসটির কথা ভাবছি তা হ'ল ইনপুট ডেটার অংশটি সীমানা শর্ত হিসাবে model তবে এ থেকে প্রাপ্ত সঞ্চয়গুলি প্রায়শই একটি ফ্যাক্টর টু এর চেয়ে কম হয় এবং সীমানা শর্তগুলি সঠিকভাবে পাওয়া আমার পক্ষে কমপক্ষে আমার অভিজ্ঞতায় অসুবিধাজনক। সুতরাং আমি বলব যে এটি প্রায়শই নিখুঁতভাবে করার চেষ্টা করার পক্ষে মূল্যহীন নয় (বা কেবলমাত্র সেই দিকের সমস্যার সাথে সম্পর্কিত প্রসারণটি যদি সত্যিই ছোট হয়, বা আপনি যদি সত্যই উচ্চতর নির্ভুলতা চান তবে) কেবলমাত্র সঠিকভাবে নির্বাচন করা উপযুক্ত নয় সীমানা শর্ত এবং সীমানা যথেষ্ট দূরে স্থাপন প্রায়শই যথেষ্ট ভাল কাজ করে।

— টমাস ক্লিম্পেল

4

কামিল, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান বিশ্বব্যাপী, অন্তরঙ্গকরণ স্থানীয়। টুকরোচক বহুবর্ষীয় অন্তরঙ্গকরণে, একাকিত্বের থেকে দূরে যথার্থতা এককতার দ্বারা বিরক্ত হবে না। দুর্ভাগ্যক্রমে, একটি উপবৃত্তাকারী সমীকরণ যেমন দ্বি-পয়েন্ট সীমানা মান সমস্যার সমাধান করার জন্য এটি মোটেও সত্য নয়। একাকিত্ব বিশ্বব্যাপী আনুমানিক দূষণ করবে।

এখানে চেষ্টা করার কিছু আছে। সমজাতীয় ডিরিচলেট বিসিএস ডি দিয়ে [0,1] এর উপর ডি (স্কয়ার্ট (এক্স) ডু) সলভ করুন পার্থক্য অপারেটর। এন-পয়েন্ট ইউনিফর্ম জালিতে সসীম উপাদান বা সীমাবদ্ধ পার্থক্য ব্যবহার করুন। একটি জাল সঙ্গে তুলনা করুন যেখানে ith পয়েন্ট (1 / এন) ^ 1.5। নোট করুন যে ইউনিফর্ম জালটির জন্য সবচেয়ে খারাপ ত্রুটি একাকিত্ব থেকে অনেক দূরে, এবং গ্রেডযুক্ত জালের চেয়ে অনেক বড়।

— রব শ্রাইবার
সূত্র