নিউম্যান সীমানা শর্তের সাথে পইসন সমীকরণ সসীম-পার্থক্য ম্যাট্রিক্স রচনা করা

আমি সীমাবদ্ধ-পার্থক্য পদ্ধতির ব্যবহার করে পইসন সমীকরণটি সমাধান করতে আগ্রহী। আমি কীভাবে নিউম্যান সীমানা শর্তের সাথে ম্যাট্রিক্স সমীকরণটি লিখতে পারি তা আরও ভালভাবে বুঝতে চাই। কেউ নিম্নলিখিতটি পর্যালোচনা করবেন, এটা কি সঠিক?

সীমাবদ্ধ-পার্থক্য ম্যাট্রিক্স

পয়সন সমীকরণ,

\frac{\partial^{2} তোমার দর্শন লগ করা (এক্স)}{\partial {এক্স}^{2}} = ঘ (এক্স)

$\frac{\partial^2u(x)}{\partial x^2} = d(x)$

একটি সীমাবদ্ধ পার্থক্য ম্যাট্রিক্স সমীকরণ দ্বারা অনুমান করা যেতে পারে,

\frac{1}{(Δ এক্স)^{2}} এম ∙ \hat{তোমার দর্শন লগ করা} = \hat{ঘ}

$\frac{1}{(\Delta x)^2} \textbf{M}\bullet \hat u = \hat d$

যেখানে একটি হল ম্যাট্রিক্স এবং এবং হয় (কলাম) ভেক্টর, $\textbf{M}$ $n \times n$ $\hat u$ $\hat d$ $1 \times n$

পইসন সমীকরণের সীমাবদ্ধ পার্থক্য ম্যাট্রিক্স

একটি নিউমান সীমানা শর্ত যুক্ত করা হচ্ছে

নিউমেন সীমানা শর্তটি সীমানায় একটি জ্ঞান প্রবাহকে বলপূর্বক কার্যকর করে (এখানে আমরা এটি বাম দিকে যেখানে সীমানাটি এ থাকি এটি প্রয়োগ করি ), $x=0$

\frac{\partial তোমার দর্শন লগ করা (এক্স = 0)}{\partial এক্স} = σ

$\frac{\partial u(x=0)}{\partial x} = \sigma$ এই সীমানা শর্তকে কেন্দ্রিক সসীম-পার্থক্য হিসাবে লিখছেন,

সমীকরণে ত্রুটি। বিশেষ দ্রষ্টব্য। আমি এখানে মূলত একটি ত্রুটি করেছি, ত্রুটিতে সাইন দিয়েছি এবং ২ দ্বারা বিভক্ত হয়নি The নীচেরটি সংশোধন করা হয়েছে।

\frac{{তোমার দর্শন লগ করা}_{2} - {তোমার দর্শন লগ করা}_{0}}{2 Δ এক্স} = σ

$\frac{u_2 - u_0}{2\Delta x} = \sigma$

মূল ডোমেনের বাইরে একটি জাল পয়েন্ট পরিচয় ( ) ( )। এই শব্দটি দ্বিতীয় সমীকরণ, প্রবর্তনের মাধ্যমে নির্মূল করা যেতে পারে $u_0$

\frac{{তোমার দর্শন লগ করা}_{0} - 2 {তোমার দর্শন লগ করা}_{1} + + {তোমার দর্শন লগ করা}_{2}}{(Δ এক্স)^{2}} = ঘ_{1}

$\frac{u_0 - 2u_1 + u_2}{(\Delta x)^2} = d_1$

নতুন জাল পয়েন্ট চালু হওয়ার কারণে সমীকরণটি আরও তথ্য থাকা থেকে উদ্ভূত হয়। এটি আমাদের কেন্দ্রিক সসীম-পার্থক্য ব্যবহার করে ক্ষেত্রে সীমানা হিসাবে এর দ্বৈত ডেরাইভেটিভ লিখতে দেয় । $u_1$ $u_0$

অংশটি সম্পর্কে আমি নিশ্চিত নই

এই দুটি সমীকরণের দূর করা যেতে পারে। কাজটি দেখানোর জন্য প্রথমে অজানাটির জন্য পুনরায় ব্যবস্থা করা যাক, $u_0$

{তোমার দর্শন লগ করা}_{0} = - 2 σ Δ এক্স + + {তোমার দর্শন লগ করা}_{2} {তোমার দর্শন লগ করা}_{0} = (Δ এক্স)^{2} ঘ_{1} + + 2 {তোমার দর্শন লগ করা}_{1} - {তোমার দর্শন লগ করা}_{2}

$u_0 = -2\sigma\Delta x + u_2 \\ u_0 = (\Delta x)^2 d_1 + 2 u_1 - u_2$

এর পরে সেগুলি সমান এবং ফর্মটিতে পুনরায় সাজানো হবে,

\frac{{তোমার দর্শন লগ করা}_{2} - {তোমার দর্শন লগ করা}_{1}}{(Δ এক্স)^{2}} = \frac{ঘ_{1}}{2} + + \frac{σ}{Δ এক্স}

$\frac{u_2 - u_1}{(\Delta x)^2} = \frac{d_1}{2} + \frac{\sigma}{\Delta x}$

আমি এই ফর্মটি বেছে নিয়েছি কারণ এটি উপরের ম্যাট্রিক্স সমীকরণের মতো একই রূপ। লক্ষ করুন যে, শর্তাবলী দ্বারা বিভক্ত করা হয় উভয় এখানে এবং মূল সমীকরণের। এটাই কি সঠিক পন্থা? $u$ $(\Delta x)^2$

অবশেষে, এই সমীকরণটি ম্যাট্রিক্সের প্রথম সারি হিসাবে ব্যবহার করে,

বাম দিকে একটি নিউম্যান সীমানা শর্তের সাথে পইসন সমীকরণ (সংশোধন করা হয়েছে)

কিছু চূড়ান্ত চিন্তা,

এই চূড়ান্ত ম্যাট্রিক্স সঠিক?
আমি কি আরও ভাল পদ্ধতির ব্যবহার করতে পারি?
এই ম্যাট্রিক্স লেখার কোনও মানক উপায় আছে ?

— boyfarrell
সূত্র

আপনার গণনায় দুটি ত্রুটি রয়েছে: একটি কেন্দ্রিক সসীম পার্থক্য দ্বারা ভাগ করতে হয় । দ্বিতীয়ত, এছাড়াও ভুল, কারণ অবশ্যই একটি প্লাস হতে পারে।

2 Δ x

$2 \Delta x$

u_{0} = - σ Δ x + u_{2}

$u_0 = - \sigma \Delta x + u_2$

— ভ্যানকম্পুট

— লেভেকের

এই বিষয়গুলিও বৈজ্ঞানিকপিথন.না.

— এভেজেনি সার্জিভ

আপনি কি দয়া করে এই scicomp.stackexchange.com/questions/14306/…

— usumdelphini

উত্তর:

আমি মনে করি আপনি সঠিক পথে আছেন। আপনি যদি নিজের ত্রুটিগুলি সংশোধন করেন তবে এটি http://www.math.toronto.edu/mpugh/ টিচিং / ম্যাট 1062/ notes2.pdf এর সাথে খুব মিল দেখাচ্ছে ।

— vanCompute
সূত্র

মন্তব্য এবং সংশোধনের জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। আমি আমার প্রশ্ন সংশোধন করে আপডেট করেছি। আমি বিশ্বাস করি এখনই এটি ঠিক আছে।

— বয়ফ্যারেল

$u_0$

পিছনে ফিরে যান এবং এক সেকেন্ডের জন্য সমস্যাটি সম্পর্কে ভাবেন। একটি ল্যাপ্লেস সমীকরণকে মৌলিকভাবে উল্লেখ করে বলা হয় যে প্রতিটি বিন্দুটি তার প্রতিবেশীদের গড়। এটি সাধারণত রাবার শীট হিসাবে ভিজ্যুয়ালাইজড হয় এবং আমাকে এই বিষয়গুলি সম্পর্কে ভাবতে সহায়তা করে। (পইসন হ'ল ডাব্লু / আরও বা কম স্ট্রেচি পয়েন্ট)

আপনি যখন বাহ্যতম প্রান্তে সমাধান পৃষ্ঠের মান উল্লেখ করেন আপনি সেই পয়েন্টগুলিতে শিটটি ফাঁকে ফাঁকে "পিনিং" করছেন। আপনি যখন শীটটি প্রান্তগুলিতে ডেরাইভেটিভ দ্বারা নির্দিষ্ট করেছেন, সেখানে এমন অনেকগুলি সমাধান রয়েছে যা সমীকরণটি পরিপূর্ণ করে যা স্থানটিতে শীটটি অনুবাদ করে একই প্রকৃত আকৃতিটি বজায় রাখে এবং এভাবে ডেরাইভেটিভস।

$u_0 = 0$

— meawoppl
সূত্র

সুতরাং সাধারণত পয়সন সমীকরণটি কমপক্ষে একটি ডিরিচলেট সীমানা শর্তের সাথে সমাধান করা হয়, যাতে কোনও অনন্য সমাধান পাওয়া যায়? আমি অনুমান করি যে এটি অনুভূত হয় যে নিউমন সীমানা পরিস্থিতি কেবল তখনই বোধগম্য হয় যখন উত্স এবং ডুবে অন্তর্ভুক্ত করা হয়, অন্যথায় সমাধানের একটি অসীম সংখ্যা রয়েছে। তবে, আমি পরিবর্তে যদি ছড়িয়ে পড়া সমীকরণটি গ্রহণ করি তবে সঠিক পদার্থবিজ্ঞানের জন্য কিছু সময় নিউমান সীমানা শর্ত প্রয়োজন (যেমন ডু / ডিএক্স = 0 হলে সীমানার মধ্য দিয়ে পরিমাণের কোনও প্রবাহ নেই)। এটিতে আমি সত্যিই আগ্রহী Ne উপরের পদ্ধতিটি কি নিউমান বিসি প্রয়োগের সঠিক পদ্ধতি?

— বয়ফ্যারেল

আপনি কাগজের চারপাশে নিউম্যান বিসি প্রয়োগ করতে পারবেন না। আপনি যদি করেন তবে আপনার কোনও অনন্য সমাধান হবে না। এটি কমপক্ষে একদিকে পিন করা উচিত।

— ভ্যানকম্পুট

@ মাওওপিপিএল: সরাসরি ম্যাট্রিক্স সমাধান করার সময় কেউ কীভাবে নির্দিষ্ট পয়েন্টটি নির্দিষ্ট করে?

— jvriesem

সাধারণত এক পয়েন্টে 1 টি স্থির করে কেবল একটি পয়েন্ট স্থির করে, বাকী শূন্য এবং আরএইচএসের একটি মান যা আপনি দেখতে চান সমাধান বিমানে সামঞ্জস্য করে।

— meawoppl