ক্র্যাঙ্ক-নিকলসন কি বিক্রিয়া-বিস্ফোরণ-অ্যাডভেকশন (সংশ্লেষ) সমীকরণের জন্য স্থিতিশীল বিবেচনার পরিকল্পনা?

আমি পিডিইগুলির জন্য সাধারণ বিবেচনামূলক স্কিমগুলির সাথে খুব বেশি পরিচিত নই। আমি জানি যে ক্র্যাঙ্ক-নিকলসন প্রসারণ সমীকরণকে বিবেচনা করার জন্য জনপ্রিয় পরিকল্পনা। অ্যাডভেশন টার্মের জন্যও কি ভাল পছন্দ?

আমি প্রতিক্রিয়া-সংক্রমণ-অ্যাডভিকেশন সমীকরণ সমাধানে আকর্ষণীয় ,

$\frac{\partial u}{\partial t} + \nabla \cdot \left( \boldsymbol{v} u - D\nabla u \right) = f$

যেখানে $D$ পদার্থ আশ্লেষ সহগ হয় $u$ এবং $\boldsymbol{v}$ বেগ হয়।

আমার নির্দিষ্ট প্রয়োগের জন্য সমীকরণটি ফর্মটিতে লেখা যেতে পারে,

$\frac{\partial u}{\partial t} = \underbrace{D\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}}_{\textrm{Diffusion}} + \underbrace{\boldsymbol{v}\frac{\partial u}{\partial x}}_{\textrm{Advection (convection)}} + \underbrace{f(x,t)}_{\textrm{Reaction}}$

আমি প্রয়োগ করা ক্র্যাঙ্ক-নিকোলসন স্কিমটি এখানে রয়েছে,

$\frac{u_{j}^{n+1} - u_{j}^{n}}{\Delta t} = D \left[ \frac{1 - \beta}{(\Delta x)^2} \left( u_{j-1}^{n} - 2u_{j}^{n} + u_{j+1}^{n} \right) + \frac{\beta}{(\Delta x)^2} \left( u_{j-1}^{n+1} - 2u_{j}^{n+1} + u_{j+1}^{n+1} \right) \right] + \boldsymbol{v} \left[ \frac{1-\alpha}{2\Delta x} \left( u_{j+1}^{n} - u_{j-1}^{n} \right) + \frac{\alpha}{2\Delta x} \left( u_{j+1}^{n+1} - u_{j-1}^{n+1} \right) \right] + f(x,t)$

লক্ষ্য করুন $\alpha$ এবং $\beta$ শর্তাবলী। এটি স্কিমকে এর মধ্যে স্থানান্তর করতে সক্ষম করে:

$\beta=\alpha=1/2$ 1/2 ক্র্যাঙ্ক-নিকস্কলসন,
$\beta=\alpha=1$ এটি সম্পূর্ণ অন্তর্নিহিত
$\beta=\alpha=0$ এটি সম্পূর্ণরূপে সুস্পষ্ট

মানগুলি পৃথক হতে পারে, যা ছড়িয়ে পড়া শব্দটিকে ক্র্যাঙ্ক-নিকোলসন এবং অ্যাডভেকশন শব্দটিকে অন্য কিছু হতে দেয়। সবচেয়ে স্থিতিশীল পদ্ধতির কী, আপনি কি সুপারিশ করবেন?

— boyfarrell
সূত্র

উত্তর:

এটি একটি ভাল ফ্রেমযুক্ত প্রশ্ন এবং বুঝতে খুব দরকারী জিনিস। ভন নিউম্যান অ্যানালাইসিস এবং লেভেকের বইতে আপনাকে উল্লেখ করার জন্য করোক সঠিক। আমি এটিতে আরও কিছু যোগ করতে পারি। আমি একটি বিস্তারিত উত্তর লিখতে চাই, তবে এই মুহুর্তে আমার কাছে কেবল একটি সংক্ষিপ্ত জবাবের জন্য সময় রয়েছে:

সঙ্গে , আপনি একটি পদ্ধতি একেবারে ইচ্ছামত বড় পদক্ষেপ মাপ জন্য স্থিতিশীল যে, সেইসাথে দ্বিতীয়-অর্ডার সঠিক পেতে। যাইহোক, পদ্ধতিটি এল- অস্থির নয়, সুতরাং খুব উচ্চ ফ্রিকোয়েন্সি স্যাঁতসেঁতে হবে না, যা অবাস্তব। $\alpha=\beta=1/2$

সঙ্গে , আপনি একটি পদ্ধতি এছাড়াও নিঃশর্তভাবে স্থিতিশীল, কিন্তু শুধুমাত্র 1 ম-অর্ডার সঠিক যে পেতে। এই পদ্ধতিটি খুব ক্ষয়কারী। এটি এল- অস্থির। $\alpha=\beta=1$

আপনি যদি নেন তবে আপনার পদ্ধতিটি কেন্দ্রিক-পার্থক্য আধা-বিচক্ষণতার সাথে একটি অ্যাডিটিভ রঞ্জ-কত্তা পদ্ধতি প্রয়োগ হিসাবে বোঝা যাবে । এই জাতীয় পদ্ধতির জন্য স্থায়িত্ব এবং নির্ভুলতা বিশ্লেষণ যথেষ্ট জটিল। এই জাতীয় পদ্ধতিতে খুব সুন্দর একটি কাগজ এখানে । $\alpha\ne\beta$

কোন পদ্ধতির সুপারিশ করতে হবে তা এর তীব্রতা , আপনি যে ধরণের প্রাথমিক ডেটা নিয়েছেন এবং আপনার যে নির্ভুলতার সন্ধান করছেন তা নির্ভর করে depends যদি খুব কম নির্ভুলতা গ্রহণযোগ্য হয় তবে একটি খুব দৃ rob় পদ্ধতির। যদি মধ্যপন্থী বা বড় হয়, তাহলে সমস্যা আশ্লেষ-শাসিত ও খুব শক্ত হয়; সাধারণত ভাল ফলাফল দেয়। যদি খুব ছোট হয়, তবে স্পষ্ট পদ্ধতিতে এবং উচ্চতর অর্ডার আপভেন্ডিং শর্তাদির জন্য ব্যবহার করা সুবিধাজনক হতে পারে। $D$ $\alpha=\beta=1$ $D$ $\alpha=\beta=1/2$ $D$

— ডেভিড কেচসন
সূত্র

একটি খুব অন্তর্দৃষ্টিপূর্ণ উত্তর, আপনাকে ধন্যবাদ! বিচ্ছিন্নতা আধিপত্য বিস্তৃতকরণ এবং আধিপত্যের আধিপত্য বিস্তারের বিধিবিধানকে সংজ্ঞায়নের কোনও উপায় কি? পদগুলির বিশালতা তুলনা করা ছাড়া অন্য? উদাহরণস্বরূপ, কেবল সহগের সাথে তুলনা করে? প্রযুক্তিগত শব্দ এল স্থায়িত্ব অর্থ কি। প্রত্যেকেই এই বইটি সুপারিশ করে, আমাকে অবশ্যই এটি কিনতে হবে!

— বয়ফ্যারেল

আমি আপনাকে যে মানদণ্ড দিয়েছি তা কেবল সহগের সাথে জড়িত। সংক্ষেপে, এল-স্থিতিশীলতার অর্থ হ'ল উচ্চ ফ্রিকোয়েন্সিগুলি দৃ strongly়ভাবে স্যাঁতসেঁতে হবে।

— ডেভিড কেচসন

সুতরাং যখন একটি মসৃণ ফাংশন (বিবেচনা হিসাবে এটির উচ্চ ফ্রিকোয়েন্সি ফুরিয়ার উপাদান নেই) ক্র্যাঙ্ক-নিকোলসন একটি ভাল পছন্দ। তবে, যদি এর ধারালো প্রান্ত থাকে তবে ভাল পছন্দ।

u (x)

$u(x)$

u (x)

$u(x)$

β = 1

$\beta=1$

— বয়ফ্যারেল

এটি একটি যুক্তিসঙ্গত, যদিও খুব রুক্ষ, সাধারণীকরণ। আপনার খুব বেশি নির্ভুলতার প্রয়োজন না হলে এই পছন্দগুলি অন্তত কাজ করবে।

— ডেভিড কেচসন

সাধারণভাবে বলতে গেলে, আপনি প্যারাবোলিক সমীকরণের (বিচ্ছিন্ন অংশ) জন্য একটি অন্তর্নিহিত পদ্ধতিটি ব্যবহার করতে চান - প্যারাবোলিক পিডিই এর সুস্পষ্ট স্কিমগুলির স্থিতিশীল হওয়ার জন্য খুব স্বল্প টাইমস্টেপ থাকা দরকার। বিপরীতভাবে, হাইপারবোলিক অংশের (স্বীকৃতি) জন্য আপনি একটি স্পষ্ট পদ্ধতি চাইবেন এটি সস্তা হিসাবে এবং প্রসারণের জন্য একটি অন্তর্নিহিত স্কিম ব্যবহার করে আপনি যে লিনিয়ার সিস্টেমের সমাধান করতে হবে তার প্রতিসাম্যকে ব্যাহত করবেন না। এবং একতরফা পার্থক্য মতো কেন্দ্রিক পার্থক্য এড়াতে চান স্থিতিশীলতার কারণে । $(u_{j+1}-u_{j-1})/2\Delta t$ $(u_j-u_{j-1})/\Delta t$

আমি আপনাকে "ভন নিউম্যান স্ট্যাবিলিটি অ্যানালাইসিস" র্যান্ডি লেভকের বই বা ডেল ডুরানের বইটি দেখার পরামর্শ দিই । আপনার পর্যায়ক্রমে সীমানা শর্ত থাকলে আপনার বিচক্ষণতা স্কিমের স্থিতিশীলতা নির্ধারণের জন্য এটি একটি সাধারণ পদ্ধতি। (এছাড়াও একটি ভাল উইকি নিবন্ধের এখানে ।)

মূল ধারণাটি ধরে নেওয়া যে আপনার বিচ্ছিন্ন তরঙ্গের , যেখানে তরঙ্গ সংখ্যা এবং ফ্রিকোয়েন্সি যোগ করে লিখতে পারেআপনি PDE এর সমীকরণে বিমানের তরঙ্গকে ক্র্যাম করেন এবং প্রার্থনা করুন এটি প্রবাহিত হবে না। আমরা প্লেন হিসাবে আবার লিখতে পারি এবং আমরা তা নিশ্চিত করতে চাই । $e^{i(k j\Delta x-\omega n\Delta t)}$ $k$ $\omega$ $\xi^n e^{ikj\Delta x}$ $|\xi|\le 1$

উদাহরণস্বরূপ, সম্পূর্ণ বিচ্ছিন্ন ভিন্নতার সাথে সাধারণ ছড়িয়ে পড়া সমীকরণটি বিবেচনা করুন:

$\frac{u^{n+1}_j-u^n_j}{\Delta t} = D\frac{u^{n+1}_{j-1}-2u^{n+1}_j+u^{n+1}_{j+1}}{\Delta x^2}$

যদি আমরা একটি সমতল তরঙ্গকে প্রতিস্থাপন করি, তবে এবং divide দ্বারা ভাগ করুন , আমরা সমীকরণটি পাই $\xi^n$ $e^{ikj\Delta x}$

$\frac{\xi-1}{\Delta t} = D\frac{e^{-ik\Delta x}-2+e^{ik\Delta x}}{\Delta x^2}\xi$

এটি এখনই কিছুটা পরিষ্কার করুন এবং আমরা পাই:

$\xi = \frac{1}{1+\frac{2D\Delta t}{\Delta x^2}\left(1-\cos k\Delta x\right)}$ ।

এটি সর্বদা একের চেয়ে কম, সুতরাং আপনি পরিষ্কার in বিজ্ঞাপন সমীকরণের জন্য সুস্পষ্ট, কেন্দ্রিক স্কিমের জন্য এটি প্রয়োগ করার চেষ্টা করুন:

$\frac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta t} = v\frac{u_{j-1}^n-u_{j+1}^n}{2\Delta x}$

এবং আপনি কি পাবেন তা দেখুন(এবার এটির একটি কাল্পনিক অংশ থাকবে)) আপনি এটি খুঁজে পাবেন , যা দুঃখের সময়। সুতরাং আমার উপদেশ যে আপনি এটি ব্যবহার করবেন না। যদি আপনি এটি করতে পারেন তবে সম্পূর্ণ অ্যাডভেকশন-বিস্তারের সমীকরণের জন্য একটি স্থিতিশীল স্কিমটি খুঁজে পেতে আপনার খুব বেশি সমস্যা হওয়া উচিত নয়। $\xi$ $|\xi|^2 > 1$

এটি বলেছিল, আমি প্রসারণ অংশের জন্য একটি সম্পূর্ণ অন্তর্নিহিত স্কিম ব্যবহার করব। অংশে Change পরিবর্তন করুন যদি এবং তবে এবং একটি টাইমস্টেপ চয়ন করুন যাতে । (এটি কুরান্ট-ফ্রিডিরিচস-লেউই শর্ত )) এটি কেবলমাত্র প্রথম-আদেশ সঠিক, $u_j-u_{j-1}$ $v > 0$ $u_j-u_{j+1}$ $v < 0$ $V\Delta t/\Delta x \le 1$

— ড্যানিয়েল শাপেরো
সূত্র

এটি একটি সত্যই উত্তর, ধন্যবাদ।

— বয়ফ্যারেল

এই উত্তরটি সময়ের সাথে সামনের এবং পিছিয়ে থাকা ইউলারের পদ্ধতির উপর ভিত্তি করে কেবল বিবেচনার বিবেচনা করে। প্রশ্ন ক্র্যাঙ্ক-নিকোলসন সম্পর্কে।

— ডেভিড কেচসন