সম্পূর্ণ বন্ধ নিউম্যান সীমানা শর্তের সাথে সীমাবদ্ধ-পার্থক্য দ্বারা অ্যাডভেশন সমীকরণটি সমাধান করার সময় অদ্ভুত দোলন (সীমানায় প্রতিবিম্ব)

Question

আমি অ্যাডভেশন সমীকরণটি সমাধান করার চেষ্টা করছি তবে যখন তরঙ্গ সীমানা থেকে প্রতিবিম্বিত হয় তখন সমাধানটিতে একটি অদ্ভুত দোলনা উপস্থিত হয়। যদি কেউ এই নিদর্শনটি আগে দেখে থাকেন তবে আমি কারণটি এবং কীভাবে এড়াতে হবে তা জানতে আগ্রহী হব!

এটি একটি অ্যানিমেটেড জিআইএফ, অ্যানিমেশনটি দেখতে আলাদা উইন্ডোতে খোলা (এটি কেবল একবারে খেলবে বা একবারে এটি ক্যাশে যাওয়ার পরে হবে না!)

লক্ষ করুন যে প্রথম সীমানা থেকে তরঙ্গ প্রতিফলিত হতে শুরু না হওয়া পর্যন্ত প্রচারটি অত্যন্ত স্থিতিশীল বলে মনে হচ্ছে। আপনার কি মনে হয় এখানে কি ঘটতে পারে? আমি আমার কোডটি পরীক্ষা করে কয়েক দিন ব্যয় করেছি এবং কোনও ত্রুটি খুঁজে পাচ্ছি না। এটি আশ্চর্যজনক কারণ দুটি প্রচারমূলক সমাধান বলে মনে হচ্ছে: একটি ইতিবাচক এবং একটি নেতিবাচক; প্রথম সীমানা থেকে প্রতিবিম্ব পরে। সমাধানগুলি সংলগ্ন জাল পয়েন্টগুলি সহ ভ্রমণ করছে বলে মনে হচ্ছে।

বাস্তবায়ন বিশদ অনুসরণ।

উত্সাহ সমীকরণ,

$\frac{\partial u}{\partial t} = \boldsymbol{v}\frac{\partial u}{\partial x}$

যেখানে হ'ল প্রচারের বেগ।$\boldsymbol{v}$

ক্র্যাঙ্ক-নিকলসন হ'ল শর্তহীন (পিডিএফ লিঙ্ক) অ্যাডভেকশন সমীকরণের জন্য স্থিতিশীল বিবেচনার ভিত্তিতে প্রদত্ত স্থানটিতে আস্তে আস্তে পরিবর্তিত হয় (ফুরিয়ার রূপান্তরিত হলে কেবল কম ফ্রিকোয়েন্সি উপাদান থাকে)।$u(x)$

আমি যে বিচক্ষণতা প্রয়োগ করেছি তা হ'ল,

$\frac{\phi_{j}^{n+1} - \phi_{j}^{n}}{\Delta t} = \boldsymbol{v} \left[ \frac{1-\beta}{2\Delta x} \left( \phi_{j+1}^{n} - \phi_{j-1}^{n} \right) + \frac{\beta}{2\Delta x} \left( \phi_{j+1}^{n+1} - \phi_{j-1}^{n+1} \right) \right]$

ডানদিকে অজানা রাখার ফলে এটি রৈখিক আকারে লেখা যায়,

$\beta r\phi_{j-1}^{n+1} + \phi_{j}^{n+1} -\beta r\phi_{j+1}^{n+1} = -(1-\beta)r\phi_{j-1}^{n} + \phi_{j}^{n} + (1-\beta)r\phi_{j+1}^{n}$

যেখানে এবং (সমানভাবে বর্তমান ও ভবিষ্যত বিন্দু মধ্যে পরিমেয় সময় গড় নেওয়া) ।r = v Δ $\beta=0.5$$r=\boldsymbol{v}\frac{\Delta t}{2\Delta x}$

এই সমীকরণের সেটটিতে ম্যাট্রিক্স ফর্ম , যেখানে,$A\cdot u^{n+1} = M\cdot u^n$

$\boldsymbol{A} = \left( \begin{matrix} 1 & -\beta r & & & 0 \\ \beta r & 1 & -\beta r & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & \beta r & 1 & -\beta r \\ 0 & & & \beta r & 1 \\ \end{matrix} \right)$

$\boldsymbol{M} = \left( \begin{matrix} 1 & (1 - \beta)r & & & 0 \\ -(1 - \beta)r & 1 & (1 - \beta)r & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & -(1 - \beta)r & 1 & (1 - \beta)r \\ 0 & & &-(1 - \beta)r & 1 \\ \end{matrix} \right)$

ভেক্টর এবং আমরা যে পরিমাণটির জন্য সমাধান করতে চাই তার জ্ঞাত এবং অজানা।ইউ এন + $u^n$$u^{n+1}$

আমি তখন বাম এবং ডানদিকের সীমানায় বন্ধ নিউউমন সীমানা শর্ত প্রয়োগ করি । বদ্ধ সীমানা দ্বারা আমি উভয় ইন্টারফেসে । বন্ধ সীমানার জন্য দেখা যাচ্ছে যে (আমি এখানে আমার কাজ দেখাব না) আমাদের কেবল উপরের ম্যাট্রিক্স সমীকরণটি সমাধান করতে হবে। @ ডেভিডক্যাচসন দ্বারা চিহ্নিত হিসাবে, উপরের ম্যাট্রিক্স সমীকরণগুলি আসলে ডিরিচলেট সীমানা পরিস্থিতি বর্ণনা করে । নিউমান সীমানা শর্তের জন্য,$\frac{\partial u}{\partial x} = 0$

$\boldsymbol{A} = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & & & 0 \\ \beta r & 1 & -\beta r & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & \beta r & 1 & -\beta r \\ 0 & & & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$

হালনাগাদ

আচরণটি আমি ব্যবহার করা ধ্রুবকগুলির নির্বাচনের চেয়ে মোটামুটি স্বতন্ত্র বলে মনে হয় তবে আপনি উপরে যে প্লটটি দেখছেন তার মান এটি:

• $\boldsymbol{v}$ = 2
• DX = 0.2
• DT = 0.005
• $\sigma$ = 2 (গউসিয়ান এইচডাব্লুএইচএম)
• $\beta$ = 0.5

আপডেট দ্বিতীয়

শূন্য-বিহীন সহগের সাথে একটি সিমুলেশন, (নীচে মন্তব্যগুলি দেখুন), দোলটি চলে যায়, তবে তরঙ্গটি আর প্রতিফলিত হয় না !? বুঝতে পারছি না কেন?$D=1$

Comments

আপনি for এর জন্য কী ? $\mathbf{v}$

— খ্রিস্ট

$\boldsymbol{v=2}$ those সেই অনুকরণগুলিতে। আমি সিমুলেশন সেটিং দিয়ে আপডেট করব। ভাল ধারণা.

— বয়ফ্যারেল

তারপরে আমি প্রত্যাশা করব প্রাথমিক শর্তটি ডানদিকে মানিয়ে নেওয়া হবে এবং ডান সীমানা দিয়ে অদৃশ্য হয়ে যাবে। মাথায় আসার মতো সমস্ত বিষয় হ'ল যে কেন্দ্রীয় স্কিমটি নীচের কোষ পেকেট নম্বর 2 দিয়ে অ্যাডভেকশন-বিস্তারের সমীকরণের জন্য প্রয়োগ না করা পর্যন্ত উত্সাহিত দোলনা দিতে পারে? সম্ভবত upwind স্কিমটি চেষ্টা করে দেখুন?

— খ্রিস্ট

আপনি কি মনে করেন যে সমীকরণের সাথে চিহ্নের ত্রুটি থাকতে পারে। আসলে, আমার শেষ লক্ষ্যটি অ্যাডভেকশন-ডিফিউশন সমীকরণের সাথে এটি প্রয়োগ করা। আমি বর্তমানে বিভিন্ন সীমাবদ্ধ কেস পরীক্ষা করছি। উপরের উদাহরণে বিস্তরণ সহগটি শূন্যে সেট করা হয়েছিল। আমি উপরে একটি নতুন অ্যানিমেশন অন্তর্ভুক্ত করেছি। আমি বুঝতে পারি না যে যখন ছড়িয়ে পড়া সহগ ননজারো হয় তখন কেন পিকটি প্রতিফলিত হয় না? এটি ঠিক যেমনটি আপনি নির্দেশ করেছেন (দিকনির্দেশ বাদে) ঠিক তেমন করে।

— বয়ফ্যারেল

আমি নিয়ে ভাবছিলাম , সুতরাং সাইনটি ঠিক আছে। দ্বিতীয় চক্রান্তটি আমার কাছে ঠিক আছে। আপনি কেন কিছু প্রতিফলিত আশা করবেন? এটি কেবল তখনই ঘটতে পারে যখন পরিবর্তনগুলি কোনওভাবে স্বাক্ষর করে। কেন্দ্রীয় প্রকল্পের পরিবর্তে উত্সাহের জন্য আপুইন্ড স্কিমটি ব্যবহার করে চেষ্টা করুন, তারপরে আপনার জন্য অনুরূপ কিছু দেখতে পাওয়া উচিত । $\partial_t u + v \partial_x u =0$$v$$D=0$

— ক্রিস

Answer 1

আপনি যে সমীকরণটি সমাধান করছেন এটি সঠিক চলমান সমাধানের অনুমতি দেয় না, সুতরাং এই সমীকরণের জন্য প্রতিবিম্বিত সীমানা শর্তের মতো কোনও জিনিস নেই । আপনি যদি বৈশিষ্ট্যগুলি বিবেচনা করেন, আপনি বুঝতে পারবেন যে আপনি কেবলমাত্র ডানদিকের সীমানায় একটি সীমানা শর্ত চাপিয়ে দিতে পারেন। আপনি বাম সীমানায় একটি সমজাতীয় ডিরিচলেট সীমানা শর্ত চাপানোর চেষ্টা করছেন যা গাণিতিকভাবে অবৈধ।

পুনরাবৃত্তি করার জন্য: বৈশিষ্ট্যগুলির পদ্ধতিটি বলেছে যে কোনও ধ্রুবক জন্য ফর্মের যে কোনও লাইন ধরে সমাধানটি অবশ্যই স্থির থাকতে হবে । সুতরাং বাম সীমানা বরাবর সমাধানটি আপনার সমস্যার ডোমেনের অভ্যন্তরের পূর্ববর্তী সময়ে সমাধান দ্বারা নির্ধারিত হয়; আপনি সেখানে কোনও সমাধান চাপিয়ে দিতে পারবেন না।$x-\nu t = C$$C$

সমীকরণের বিপরীতে, আপনার সংখ্যাগত স্কিমটি ডানদিকে যাওয়া সমাধানগুলি স্বীকার করে । ডানদিকে যাওয়া মোডগুলি পরজীবী মোড হিসাবে উল্লেখ করা হয় এবং খুব উচ্চ ফ্রিকোয়েন্সি জড়িত। লক্ষ্য করুন যে ডানদিকে যাওয়া তরঙ্গটি একটি গ্রাসে প্রতিনিধিত্ব করা যায় এমন সর্বোচ্চ ফ্রিকোয়েন্সিগুলির সাথে যুক্ত একটি তৃতীয় তরঙ্গ প্যাকেট। এই তরঙ্গটি সম্পূর্ণরূপে একটি সংখ্যাসূচক শিল্পকর্ম যা আপনার বিবেচনার দ্বারা তৈরি।

জোর দেওয়ার জন্য: আপনি সমাধানের চেষ্টা করছেন এমন পুরো প্রাথমিক-সীমানা মান সমস্যাটি লিখেছেন নি। যদি আপনি এটি করেন তবে এটি পরিষ্কার হবে যে এটি কোনও গাণিতিকভাবে সু-পোজ সমস্যা নয়।

আপনি এখানে পোস্ট করেছেন বলে আমি আনন্দিত, যদিও এটি একটি সুন্দর চিত্র যা আপনি যখন ভালভাবে উত্থাপিত নন এমন সমস্যা এবং পরজীবী মোডের ঘটনাটি বিবেচনা করেন তখন কী ঘটতে পারে a আমার কাছ থেকে আপনার প্রশ্নের জন্য একটি বড় +1।

Comments

আলোচনা এবং সংশোধনের জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। আমি প্রশংসা করি নি যে ম্যাট্রিক্সের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের মতো একই বৈশিষ্ট্য থাকবে না । আরও মন্তব্য অনুসরণ করতে ...

— বয়ফ্যারেল

হ্যাঁ, আমি এখন দেখছি যে এটি আসলে ডিরিচলেট সীমানা শর্তগুলি কীভাবে সংশোধন করার জন্য আমি উপরে একটি নোট তৈরি করেছি। এই সমীকরণগুলি সমাধানের প্রক্রিয়াটি সত্যিই বুঝতে চেষ্টা করার জন্য আমি প্রথমবার চেষ্টা করেছি (রাস্তায়), আমি রাস্তায় ধাক্কা মারতে থাকি। আমি আমার অগ্রগতি পোস্ট করে খুশি!

— বয়ফ্যারেল

@ ডেভিড কেচসন: আমিও একই সমস্যায় পড়ছি এবং আমার সমস্যাটি নীচের লিঙ্কে পোস্ট করেছি scicomp.stackexchange.com/questions/30329/… আপনি দয়া করে আমাকে ব্যাখ্যা করতে পারেন আপনি কেন বলেন যে সমস্যাটি "গাণিতিকভাবে ভালভাবে উত্থিত " হয়নি? ? ধন্যবাদ।

— হারমান জারামিলো

@ হারমানজরমিলো আপনি বাম সীমানায় সমাধান মান আরোপের চেষ্টা করছেন, যেখানে এটি ইতিমধ্যে পিডিই দ্বারা নির্ধারিত হয়েছে। যে কোনও পাঠ্যপুস্তকের সাথে অ্যাডভেশনটির আলোচনা অন্তর্ভুক্ত রয়েছে তা বৈধ সীমারেখা শর্তগুলি কী এবং কেন তাও নির্দেশ করবে। আমি অতিরিক্ত ব্যাখ্যা সহ একটি দ্বিতীয় অনুচ্ছেদ যুক্ত করেছি; আশা করি এইটি কাজ করবে.

— ডেভিড কেচসন

@ হারমানজারামিলো: "গাণিতিকভাবে সু-পোজ" নয় মূলত আপনার সীমানায় একটি ফাংশন মূল্যের জন্য দুটি সমীকরণ রয়েছে, সীমানা শর্তের পাশাপাশি পিডিই নিজেই। সাধারণভাবে, এই দুটি সমীকরণ একে অপরের বিরোধিতা করে। আরও সাধারণভাবে, কেউ এটিকে একটি অপ্টিমাইজেশন সমস্যা হিসাবে বিবেচনা করতে পারে যাতে উভয় উদ্দেশ্য যতটা সম্ভব সন্তুষ্ট হয়।

— দবিধিঘাট

Answer 2

উপরের উত্তরগুলি থেকে আমি অনেক কিছু শিখেছি। আমি এই উত্তরটি অন্তর্ভুক্ত করতে চাই কারণ আমার বিশ্বাস এটি সমস্যার বিভিন্ন অন্তর্দৃষ্টি দেয়।

$$\begin{eqnarray} u_{xx} + \frac{1}{c} u_{tt} = 0. \end{eqnarray}$$ $c$

$u(x,t)=f(x-ct)$

$u(x,t_0)=p(x)$$x \in (-\infty, \infty)$$p[x-c(t-t_0)]$

$x \in [a,b]$$a$$b$

$t_0$

$$\begin{eqnarray} u(a,t_0)=0 \quad , \quad u(b, t_0) = p[b-c(t-t_0)]. \end{eqnarray}$$

এটি ডান প্রান্তে ডাল চালানো উত্পাদন করে যতক্ষণ না এটি ডান প্রান্তে অদৃশ্য হয়ে যায়।

বাম সীমানায় ডিরিচলেট এনিমেশন জন্য এখানে চাপুন

আমি এখনও কিছু শব্দ পেয়েছি যা আমি বুঝতে পারি না (এখানে কেউ দয়া করে সহায়তা করতে পারে?)

অন্য বিকল্পটি পর্যায়ক্রমিক সীমানা শর্ত আরোপ করা। এটি বামদিকে ডিরিচলেট সীমানা শর্ত চাপানোর পরিবর্তে আমরা তরঙ্গ প্যাকেট চাপিয়ে দিতে পারি যা বামদিকে সীমানার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। এটাই:

$$\begin{eqnarray} u(a,t_0)=p[a-c(t-t_0) ] \quad , \quad u(b, t_0) = p[b-c(t-t_0)]. \end{eqnarray}$$

$a-c(t-t_0) <a$$t>t_0$$c>0$$[a,b]$$b-a$$a-c(t-t_0)+b-a=a+b(t-t_0)$$u(a,t_0)=p[b-c(t-t_0]$

এই লিঙ্কটি দেখায় যে আমি পর্যায়ক্রমিক সীমানা শর্তগুলি কী বলব।

আমি অজগরে অ্যানিমেশন তৈরি করেছি এবং স্কিমটি এখানে ক্র্যাঙ্ক-নিকোলসন স্কিম হিসাবে এখানে প্রশ্নে নির্দেশিত হয়েছে।

তরঙ্গটি প্রথম (ডান) গণ্ডিতে আঘাত হানার পরেও আমি শব্দ শৈলীর সাথে লড়াই করছি।

Comments

আমি আমার মোবাইল ফোনে অ্যানিমেশনটি দেখতে পেলাম না তবে আমি বিশ্বাস করি যে আপনার শব্দের প্যাটার্নটি সংখ্যার যথাযথতা হারিয়ে যাওয়ার কারণে ঘটে। শোষণটি কেবলমাত্র কাজ করে কারণ আপনি সীমাটিতে সঠিক সমাধান চাপিয়ে দেন। এই সঠিক সমাধানটি লিখুন, ডান সীমানায় পৌঁছানোর সংখ্যাসূচক সমাধান ফ্রিকোয়েন্সি এবং পর্যায়ে কিছুটা পৃথক হয়। এটি আবার প্রতিবিম্ব এবং এইভাবে হস্তক্ষেপ বাড়ে।

— দবিধিঘাট

@ ডেভিডিঘ: আপনার তথ্যের জন্য ধন্যবাদ আমি এটি পরীক্ষা করব। আমি দুঃখিত যে অ্যানিমেশনটি আপনার ফোনে কাজ করে নি। এটি আমার ফোনে (স্যামসাং) কাজ করে না। এটি ফোনে কিছু হারিয়ে যাওয়া সফ্টওয়্যার হতে পারে। এটি একটি কম্পিউটারে কাজ করা উচিত। আবার ধন্যবাদ.

— হারমান জারামিলো

আপনাকে স্বাগতম. অ্যানিমেশন নিজেই এত গুরুত্বপূর্ণ নয়, আমি কেবল দেখতে চেয়েছিলাম ত্রুটিগুলি কত বড়। বিটিডব্লিউ, সীমানায় সঠিক সমাধান চাপিয়ে, আপনি ডিজাইনের মাধ্যমে "অশুভ-পোজনেস" এড়াতে পারেন। এটি হ'ল সীমানায় আপনার একটি মানের জন্য এখনও দুটি সমীকরণ রয়েছে তবে সঠিক ফলাফলটি ব্যবহার করে আপনি তাদের সামঞ্জস্য রাখতে বাধ্য করেন force তবে এটি কেবল আনুমানিক কাজ করে, কারণ সংখ্যাসূচক ফলাফলটি পুরোপুরি নির্ভুল হয় না।

— দবিধিঘরের

এবং আরেকটি মন্তব্য: তরঙ্গ সমীকরণের সাধারণ বিশ্লেষণাত্মক সমাধান হ'ল ডাল বাম দিকে সরানো এবং একটি ডানদিকে সরানো p আপনার ক্ষেত্রে, আপনি কেবল ডান-মুভিং ডাল বিবেচনা করেন, তাই আপনি ইতিমধ্যে প্রাথমিক শর্ত প্রয়োগ করেছেন - আপনি পাঠ্যের মধ্যে যা বলেছেন তার বিপরীতে।

— দবিধিঘরের

@ দেবিধিঃ নাড়ির গণ্ডিটি আঘাত হানার পরে আমি আপনার শব্দদৃষ্টি সম্পর্কে কিছুটা ভাবছিলাম। আমি বিশ্বাস করি আপনি ঠিক বলেছেন এবং সঠিক বিশ্লেষণ সমাধান এবং সংখ্যাসূচক প্রচারিত ডালের মধ্যে পার্থক্য রয়েছে। সীমানায় যে সামান্য পার্থক্য সেখানে দেখানো ছোট শব্দ শৈলীর প্যাটার্ন উত্পন্ন করে। এই আলোচনায় দেখানো সিএন অ্যাডভেকশন সিস্টেমটি ছড়িয়ে ছিটিয়ে রয়েছে এবং আমি বিশ্বাস করি যে ডালটি বাউন্ডারে আঘাতের আগে বিচ্ছুরণের বিষয়টি লক্ষ্য করা যায় না, তবে এটি সীমানায় ছোট বিশৃঙ্খলা (বিশ্লেষণাত্মক এবং সংখ্যাগত সমাধানগুলির মধ্যে পার্থক্য) হতে পারে। আবার ধন্যবাদ.

— হারমান জারামিলো