ব্লক স্ট্রাকচার ছাড়াই অনির্দিষ্ট সিস্টেমে আইট্রেটিভ পদ্ধতি

Question

মেট্রিকের অনির্দিষ্ট সিস্টেমগুলি মিশ্র সসীম উপাদানগুলির দ্বারা স্যাডল পয়েন্ট সমস্যার বিবেচনার ক্ষেত্রে উদাহরণস্বরূপ উপস্থিত হয়। সিস্টেম ম্যাট্রিক্স তারপরে ফর্মটিতে স্থাপন করা যেতে পারে

$$\begin{pmatrix} A & B^t \\ B & C\end{pmatrix}$$

যেখানে negativeণাত্মক (আধা) -সীমাবদ্ধ, ধনাত্মক (আধা) নিশ্চিত এবং স্বেচ্ছাসেবক হয়। অবশ্যই, সম্মেলনের উপর নির্ভর করে আপনি সুনির্দিষ্ট শর্তাদি ব্যবহার করতে পারেন, তবে এটি সেই ম্যাট্রিকগুলির কাঠামো pretty$A$$C$$B$

এই পদ্ধতির জন্য, উজোয়া পদ্ধতিটি কাজে লাগানো যেতে পারে, যা আসলে সিস্টেমটিকে একটি সমতুল্য আধা-নির্দিষ্ট ব্যবস্থায় রূপান্তর করার জন্য একটি "কৌশল" যা কনজুগেট গ্রেডিয়েন্ট, গ্রেডিয়েন্ট বংশোদ্ভূত এবং এর মতো সমাধান করতে পারে।

আমি একটি অনির্দিষ্ট সিস্টেমের মুখোমুখি হই যা এর মতো ব্লক কাঠামো নেই। উজোয়া ধরণের পদ্ধতিগুলি সে ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়। পাইগ অ্যান্ড স্যান্ডার্স দ্বারা প্রবর্তিত ন্যূনতম অবশিষ্টাংশ (MINRES) সম্পর্কে আমি অবগত, যা কেবল তিন-মেয়াদী পুনরাবৃত্তি এবং এটি কার্যকর করা সহজ বলে মনে হচ্ছে।

প্রশ্ন: প্রোটোটাইপিংয়ের জন্য মাইন্রেস কি সাধারণত একটি ভাল পছন্দ? এটা কি কোন ব্যবহারিক প্রাসঙ্গিকতা? পূর্ব শর্ত এই মুহুর্তে কোনও কেন্দ্রীয় সমস্যা নয়।

Comments

কী আপনার ম্যাট্রিকগুলি বিশেষ করে তোলে সে সম্পর্কে আপনি আরও কিছু বলতে পারেন? যেমন এটি কোন ধরণের সমস্যা থেকে আসে? এর সাথে কি অন্য কোনও ধরণের কাঠামো রয়েছে? ইত্যাদি ইত্যাদি

— বিল বার্থ

সর্বাধিক সাধারণ উত্তর পেতে আমি ইচ্ছাকৃতভাবে এটিকে ফাঁকা রেখেছি (সত্যই, এটি স্পষ্টতই ধরে নেয় যে একটি সন্তোষজনক সাধারণ উত্তর রয়েছে)। তবে নীচে হেলমহোল্টজ সমীকরণের সাথে উদাহরণটি আমার মনে রাখা মোটামুটি।

— শুহালো

Answer 1

আপনি যদি পূর্বশর্ত সম্পর্কে উদ্বিগ্ন না হন, তবে মাইন্রেস হ'ল মানক পছন্দ। তবে, সচেতন থাকুন যে MINRES এর জন্য একটি প্রতিসম ধনাত্মক সুনির্দিষ্ট পূর্বশর্ত প্রয়োজন।

আপনি যদি পূর্বশর্ত সম্পর্কে উদ্বিগ্ন হন তবে স্যাডল পয়েন্ট সমস্যা এবং সাধারণ অনির্দিষ্ট সমস্যার মধ্যে কাঠামোগত পার্থক্য বিবেচনা করা গুরুত্বপূর্ণ। ল্যাংরেঞ্জ মাল্টিপ্লায়ারদের দ্বারা প্রয়োগকৃত সীমাবদ্ধতা সহ উপবৃত্তীয় সমস্যাগুলি সমাধান করার সময় স্যাডল পয়েন্টের বেশিরভাগ সমস্যা দেখা দেয়। সংকোচনেতা এবং যোগাযোগের সীমাবদ্ধতা সাধারণ উদাহরণ। এই জাতীয় সমস্যার জন্য, অপারেটরটি সাব-স্পেসে বাধ্যতামূলক হয় যেখানে গ্রিনের ক্রিয়াকলাপগুলি দ্রুত ক্ষয় হয় with এই জাতীয় সমস্যাগুলি দক্ষতার সাথে ব্লক পূর্বশর্তীদের (পূর্ব শর্তযুক্ত উজওয়া এই পরিবারের সদস্য), সামঞ্জস্যপূর্ণ স্মুথার (যেমন ভানকা বা ব্লক পচনের উপর ভিত্তি করে), বা উপযুক্ত স্থানীয় এবং মোটা সমস্যার সাথে মাল্টিলেভেল ডোমেন পচন ব্যবহার করে দক্ষতার সাথে সমাধান করা যেতে পারে।

একটি অনির্দিষ্ট সমস্যার যে প্রোটোটাইপিকাল উদাহরণটি হ'ল হ'ল হোল্টজ সমীকরণ

$$-\nabla\cdot \big( a \nabla u \big) - k^2 u = f$$

কোথায় $a(x)$ধনাত্মক ধ্রুবক দ্বারা সমানভাবে উপরে এবং নীচে আবদ্ধ। জন্য$k$বৃহত্তর, সবুজ রঙের কাজগুলি অত্যন্ত দোলক যা পূর্বশর্ত (এবং বিচক্ষণতা) ​​কঠিন করে তোলে। এই প্রশ্নের উত্তরে বর্ণিত হিসাবে দুটি যুক্তিসঙ্গত পন্থা নিখুঁতভাবে মিলিত স্তর এবং "তরঙ্গ-রে মাল্টিগ্রিড" এর উপর ভিত্তি করে পূর্ববর্তী অবস্থাগুলি পরিষ্কার করছে । দুর্ভাগ্যক্রমে, এই পদ্ধতিগুলি একটি নির্দিষ্ট সমীকরণ এবং বাস্তবায়নের জন্য প্রযুক্তিগতের পরিবর্তে কাস্টম।

Comments

ন্যায়সঙ্গতভাবে, যদিও সাশ্রয়ী পূর্বশর্তগুলি অবশ্যই সমান্তরালভাবে দক্ষতার সাথে প্রয়োগ করার জন্য প্রযুক্তিগত, তবে ধারণাটি হেলমহোল্টজের সাথে সুনির্দিষ্ট নয়; প্রধান প্রয়োজনীয়তা একটি শোষণকারী সীমানা শর্ত (যেমন, পুরোপুরি মিলিত স্তর)।

— জ্যাক পলসন

Answer 2

সম্পর্কিত একটি প্রশ্ন যা আগ্রহী হতে পারে হ'ল বিচ্ছিন্ন রৈখিক সিস্টেম সলভার বাছাই করার সময় আমার কোন গাইডলাইন অনুসরণ করা উচিত? যদিও এই ক্ষেত্রে, আপনি কেবল পুনরাবৃত্তি পদ্ধতিতে আগ্রহী হবেন। পুনরুক্তি পদ্ধতিগুলি সম্পর্কে আমার বোঝা হ'ল যে কোনও প্রদত্ত পদ্ধতির জন্য রূপান্তরটি আপনার ম্যাট্রিক্সের বর্ণালীর উপর নির্ভরশীল। যদিও আপনি উজাওয়ার পদ্ধতিটি ব্যবহার করতে পারবেন না, আপনি এখনও জিএমআরইএস, বাইকনজুগেট স্থিতিশীল গ্রেডিয়েন্ট, মাইন্রেস, আধা-ন্যূনতম অবশিষ্টাংশ এবং অন্যান্য পুনরাবৃত্ত পদ্ধতিগুলি অনির্দিষ্ট সময়ের জন্য প্রয়োগ করতে পারেন।

বিভিন্ন পদ্ধতির কোডিং যদি উদ্বেগের বিষয় হয়ে থাকে তবে আপনি PETSc এর মতো লাইব্রেরি ব্যবহার করে আপনার অ্যালগরিদমে সলভার কল করতে পারেন যা বিভিন্ন পুনরাবৃত্ত লিনিয়ার সলভারকে প্রয়োগ করে।

Answer 3

এই ধরণের সমস্যার জন্য মাইনরাস হ'ল সেরা পছন্দ।

Comments

দয়া করে আপনার ব্যক্তিগত সাইটটিকে এইভাবে লিঙ্ক করবেন না। আপনার উত্তরের সাথে প্রাসঙ্গিক নির্দিষ্ট সংস্থানগুলিতে লিঙ্ক নির্দ্বিধায় নাও তবে আপনার ব্যক্তিগত সাইটটিকে এভাবে লিঙ্ক করবেন না। আমি এই উত্তর থেকে এটি সরিয়েছি। এই জাতীয় লিঙ্কগুলি আপনার ব্যবহারকারীর প্রোফাইলে অন্তর্ভুক্ত।

— জেড ব্রাউন

আপনি কি দয়া করে এই ধরণের সমস্যার জন্য MINRES সেরা পছন্দ কেন তা বিস্তারিতভাবে বলতে পারেন? আরও বিশদ যুক্ত করা আপনার উত্তরটিকে সম্প্রদায়ের কাছে আরও দরকারী করে তুলতে সহায়তা করবে এবং আপনাকে আরও ভোট পেতে সহায়তা করবে।

— জিফ অক্সবেরি