কিভাবে একটি বৃহত ম্যাট্রিক্সের শর্ত সংখ্যা আনুমানিক?

Question

আমি বড় ম্যাট্রিক্সের শর্ত সংখ্যাটি কীভাবে আনব $G$, যদি $G$ ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের সংমিশ্রণ $F$ (অ-ইউনিফর্ম বা ইউনিফর্ম), সীমাবদ্ধ পার্থক্য $R$, এবং তির্যক ম্যাট্রিকেস $S$?

ম্যাট্রিকগুলি খুব বড় এবং মেমরিতে সঞ্চয় হয় না এবং কেবল ফাংশন হিসাবে উপলব্ধ।

বিশেষত, আমার নিম্নলিখিত ম্যাট্রিক্স রয়েছে:

$G_\mu=S^HF^HFS+\mu R^HR$

আমি এর মধ্যে সম্পর্ক তদন্ত করতে চাই $\mu$ এবং শর্ত নম্বর $k(G_\mu)$।

আমি ধরে নিই যে একজনের একধরনের পুনরাবৃত্তি পদ্ধতির প্রয়োজন? সর্বোত্তমভাবে এখানে কিছু ম্যাটল্যাব কোড আওলাবে।

Comments

শর্ত সংখ্যাটির সংজ্ঞা দিয়ে চেষ্টা করার জন্য এবং ত্রিভুজ অসমতা এবং উপসম্পূর্ণতা ব্যবহার করে কীভাবে? আমার ধারণা আপনার প্রতিটি ম্যাট্রিকের নিয়ম / শর্তাবলী সম্পর্কে আপনার কিছু বলা উচিত। এইভাবে আপনি কন্ডিশনের সংখ্যার একটি অনুমান পাবেন$G_\mu$।

— আনেকে

Answer 1

ম্যাটল্যাব "সঠিক" এই জন্য ফাংশন একটি দম্পতি আছে, condএবং rcondপরেরটির শর্ত সংখ্যা একটি পারস্পরিক ফেরার সঙ্গে। মতলব আনুমানিক ফাংশন condestনীচে আরও সম্পূর্ণরূপে বর্ণিত।

প্রায়শই শর্ত সংখ্যার অনুমানগুলি ম্যাট্রিক্সের জন্য একটি লিনিয়ার সিস্টেমের সমাধানের উপ-পণ্য হিসাবে উত্পন্ন হয়, সুতরাং আপনি যে কোনও উপায়ে করতে হবে এমন অন্যান্য কাজের ক্ষেত্রে শর্ত সংখ্যা অনুমানটি পিগব্যাক করতে সক্ষম হতে পারেন। অনুমানগুলি কীভাবে গণনা করা হয় তার সংক্ষিপ্ত বিবরণের জন্য এখানে দেখুন । এছাড়াও সান্দিয়া ল্যাবস অ্যাজটেকো ডকুমেন্টেশন মন্তব্য (সেকশন 3.1 দেখুন) যে alচ্ছিক শর্ত সংখ্যা অনুমানটি পুনরাবৃত্তকারী সমাধানকারীদের (কনজুগেট গ্রেডিয়েন্টস সহ জেনারেটেড ট্রাইডিয়োনাল ল্যানকোসোস ম্যাট্রিক্স বা পুনরায় চালু জিএমআরইএস সহ জেনারেটেড হেসেনবুর্গ ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে) থেকে পাওয়া যায়।

যেহেতু আপনার ম্যাট্রিকগুলি "খুব বড়" এবং "কেবলমাত্র ফাংশন হিসাবে উপলভ্য" তাই যৌক্তিক পদ্ধতির একটি পদ্ধতি হতে পারে যা কনজিগেট গ্রেডিয়েন্ট সলভার বা বৈকল্পিকের উপর পিগব্যাক করে।

সাম্প্রতিক একটি আরএক্সি.ইউ.আর্গ. পেপার রৈখিক সিস্টেমগুলির পুনরাবৃত্ত দ্রবণগুলিতে অ-স্টেশনারি এক্সট্রিমাল ইগ্যালভ্যালু অনুমান এবং আপেক্ষিক ত্রুটির জন্য অনুমানকারীগুলি এই ধরনের পদ্ধতির প্রস্তাব দেয় এবং পূর্ববর্তী সাহিত্যের কয়েকটি উদ্ধৃতি রয়েছে।

এখন আমি দেখতে পাচ্ছি, এই ফোরামে বেশ কয়েকটি ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত পূর্ববর্তী প্রশ্ন রয়েছে (সমস্ত উত্তর উত্তর নয়, তবে মন্তব্যগুলি দেখুন):

সিজির সাথে চরম ইগেনভ্যালুগুলি অনুমান করুন

খুব বড় ম্যাট্রিকের জন্য শর্ত সংখ্যা অনুমান করা

মতলব / অক্টেভের একটি বৃহত ম্যাট্রিক্সের শর্ত সংখ্যা গণনা করার জন্য দ্রুততম অ্যালগরিদম

---

যেহেতু ম্যাটল্যাব কোডের প্রাপ্যতা এই প্রশ্নের অংশ ছিল, তাই এখানে condestএকটি বিল্ট-ইন ফাংশন সম্পর্কিত কিছু তথ্য যা 1-আদর্শ শর্ত সংখ্যাটি অনুমান করে$\|A\|_1 \|A^{-1}\|_1$। স্পষ্টভাবে ( (একটি কলামের সর্বাধিক 1-আদর্শ খুঁজে বের করুন) এবং অনুমান অনুমান করার জন্য এখানে 2010 সালের লিখন-আপ এবং এক্সটেনশানগুলির সাথে হ্যাজারের (1984) ধারণাটি রয়েছে from গ্রেডিয়েন্ট পদ্ধতি দ্বারাএছাড়াও জন Burkardt দেখি শর্ত , একটি ম্যাটল্যাব লাইব্রেরী (প্রাপ্তিসাধ্য অন্যান্য ভাষায়) "কম্পিউটিং বা একটি ম্যাট্রিক্স অবস্থার সংখ্যা আনুমানিক হিসাব জন্য।"$\|A\|_1$$\|A^{-1}\|_1$

যেহেতু আপনার ম্যাট্রিক্স দৃশ্যত হার্মিটিয়ান এবং ইতিবাচক সুনির্দিষ্ট, সম্ভবত 2-আদর্শ শর্ত সংখ্যাটি আরও আগ্রহী। সমস্যাটি তখন সবচেয়ে বড় থেকে সর্বনিম্ন (পরম) ইগেনাল্যুসের অনুপাতটি অনুমান করে। চ্যালেঞ্জটি 1-আদর্শের ক্ষেত্রে কিছুটা সমান্তরাল যে সাধারণভাবে বৃহত্তম ইগেনুয়ালুয়ের জন্য একটি ভাল অনুমান সহজেই পাওয়া যায়, তবে সবচেয়ে ছোট এগেনুয়ালু অনুমান করা আরও কঠিন প্রমাণ করে।

যদিও নন-এসপিডি (এবং এমনকি স্কোয়ারবিহীন) ক্ষেত্রে লক্ষ্য করা হচ্ছে, এই সাম্প্রতিক আরএক্সআইভি.অর্গ পেপার, নির্ভরযোগ্য আইট্রেটিভ কন্ডিশন-সংখ্যা অনুমান , ক্ষুদ্রতম এগেনালু অনুমানের সমস্যাটির একটি ভাল ওভারভিউ দেয় এবং ক্রিলোভ-সাবস্পেসের দ্বারা আক্রমণের প্রতিশ্রুতিবদ্ধ রেখা দেয় পদ্ধতি (এলএসকিউআর) যা এসপিডি ক্ষেত্রে কনজুগেট গ্রেডিয়েন্টের সমান।

Comments

আপনার উত্তর করার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। কনজুগেট গ্রেডিয়েন্ট সলভারের পার্শ্ব পণ্য হিসাবে আমি কীভাবে শর্ত নম্বর পাব?

— স্টিফেল

@ স্টিফেল: চূড়ান্ত ইগ্যালভ্যালুগুলির আনুমানিক গণনা এবং লেই গুয়াং- ইয়াওয়ের ননসিংগার ম্যাট্রিক্সের শর্ত সংখ্যা সম্পর্কে একটি 1992 এর কাগজ রয়েছে । আমি আরও ভাল রেফারেন্স (পে-ওয়াল পিছনে নয়) খুঁজে পেতে পারি কিনা তা আমাকে দেখতে দিন।

— হার্ডম্যাথ

@ স্টিফেল: কিছু লিঙ্ক যুক্ত হয়েছে। আপনি ওয়েবে অ্যাক্সেলসনের আইট্রেটিভ সলিউশন মেথডস (1996) এর জন্য গুগল বুকস (বা একটি লাইব্রেরি) পরীক্ষা করতে আগ্রহী হতে পারেন , এসএসপি। চ্যাপ। ১৩ কনজিগেট গ্রেডিয়েন্ট পদ্ধতির রূপান্তর হার , যদিও একাকী শর্ত সংখ্যা সরবরাহের চেয়ে অভিব্যক্তির জন্য প্রয়োজনীয় পুনরাবৃত্তির সংখ্যার আরও ভাল অনুমান পাওয়ার উপর জোর দেওয়া হচ্ছে।

— হার্ডম্যাথ

আপনার মত একটি নাম দিয়ে @Stiefel তুমি আমাদের সি জি পদ্ধতি সম্পর্কে শিক্ষা দিতে হবে :) দেখুন en.wikipedia.org/wiki/Eduard_Stiefel

— stali