ক্র্যাঙ্ক-নিকোলসনের সর্বাধিক নীতি যদি μ ≐ k থাকে তবে ধরে রাখবে
μ ≐ কেজ2। 1
টজθতোমার দর্শন লগ করাn + 1= ইউএন+ + μ2( ( 1 - θ ) এ উএন+ θ এ ইউn + 1)
একজন0 ≤ θ ≤ 1μ ( 1 - 2 θ ) ≤ 12μ ( 1 - θ ) ≤ 12
একটি প্রমাণের জন্য, কে ডাব্লু মর্টন দ্বারা আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সংখ্যাসম্য সমাধানগুলি দেখুন । বিশেষত, বিভাগগুলি 2.10 এবং 2.11 এবং উপপাদ্য 2.2 দেখুন।
μ
[ 0 , 1 ]তোমার দর্শন লগ করাটআমিটআমিতোমার দর্শন লগ করাট0= ইউট2= 0ট
( 1 - μ)2( - 2 ) ) উn + 11= ( 1 + μ)2( - 2 ) ) উএন1,
তোমার দর্শন লগ করাn + 11= ( 1 - μ)1 + + μ) ইউএন1।
তোমার দর্শন লগ করা01= 1
তোমার দর্শন লগ করাএন1= ( 1 - μ)1 + + μ)এন,
তোমার দর্শন লগ করাএন1। 1তোমার দর্শন লগ করাএন1< 0এন। ≤ 1। ≤ 1μ
ফুবারবাজের অনুরোধের জবাবে আমি প্রমাণের স্কেচ যুক্ত করেছি।
( 1 + 2 θ μ ) ইউn + 1ঞ= θ μ ( ইউn + 1j - 1+ ইউn + 1j + 1)+ ( 1 - θ ) μ ( ইউএনj - 1+ ইউএনj + 1)+ + [ 1 - 2 ( 1 - θ ) μ ] তোমার দর্শন লগ করাএনঞ
μ ( 1 - θ ) ≤ 12
এখন ধরুন সর্বাধিকটি একটি অভ্যন্তরীণ বিন্দুতে প্রাপ্ত হয়েছে । নোট যে সব ইউ এন + + 1 ঞ - 1তোমার দর্শন লগ করাn + 1ঞতোমার দর্শন লগ করাn + 1j - 1তোমার দর্শন লগ করাn + 1j + 1তোমার দর্শন লগ করাএনj - 1তোমার দর্শন লগ করাএনj + 1তোমার দর্শন লগ করাএনঞতোমার দর্শন লগ করাn + 1ঞতোমার দর্শন লগ করাn + 1ঞ
( 1 + 2 θ μ ) ইউn + 1ঞ> θ μ ( ইউn + 1j - 1+ ইউn + 1j + 1)+ ( 1 - θ ) μ ( ইউএনj - 1+ ইউএনj + 1)+ + [ 1 - 2 ( 1 - θ ) μ ] তোমার দর্শন লগ করাএনঞ= ( 1 + 2 θ μ ) ইউn + 1ঞ
যা একটি বৈপরীত্য। এটি অনুসরণ করে যে এর সমস্ত অস্থায়ী এবং স্থানিক প্রতিবেশীগুলিতেও সর্বাধিক অর্জন করতে হবেতোমার দর্শন লগ করাn + 1ঞতোমার দর্শন লগ করা