ক্র্যাঙ্ক-নিকলসন বিবেচনার দ্বারা তাপ সমীকরণের সর্বোচ্চ / ন্যূনতম নীতিটি কি বজায় রাখা হয়?

আমি 1 ডি তাপ সমীকরণ সমাধান করতে ক্র্যাঙ্ক-নিকলসন সসীম পার্থক্য স্কিম ব্যবহার করছি। আমি ভাবছি যে তাপের সমীকরণের সর্বাধিক / ন্যূনতম নীতিটি (যেমন সর্বোচ্চ / সর্বনিম্ন প্রাথমিক অবস্থায় বা সীমানায় ঘটে) বিযুক্ত সমাধানের পক্ষেও থাকে।

এটি সম্ভবত ক্র্যাঙ্ক-নিকোলসন একটি স্থিতিশীল এবং অভিভাবক প্রকল্প যে সত্য দ্বারা বোঝানো হয়। তবে মনে হচ্ছে ক্র্যাঙ্ক-নিকোলসন স্টেনসিল থেকে তৈরি ম্যাট্রিকগুলি ব্যবহার করে আপনি লিনিয়ার বীজগণিত যুক্তির মাধ্যমে সরাসরি এটি প্রমাণ করতে সক্ষম হবেন।

আমি এটিতে সাহিত্যের কোনও পয়েন্টারকে প্রশংসা করব। ধন্যবাদ।

— foobarbaz
সূত্র

হাই foobarbaz, এবং scicomp স্বাগতম! আমি আপনার ধরে নিই যে আপনি যে সমস্যার সমাধান করছেন তার কোনও উত্সের শর্ত নেই, তাই না?

— পল

ক্র্যাঙ্ক-নিকোলসনের সর্বাধিক নীতি যদি থাকে তবে ধরে রাখবে

μ ≐ \frac{ট}{জ^{2}} \leq 1

$\mu \doteq \frac{k}{h^2} \leq 1$

k

$k$

h

$h$

θ

$\theta$

{তোমার দর্শন লগ করা}^{এন + + 1} = {তোমার দর্শন লগ করা}^{এন} + + \frac{μ}{2} ((1 - θ) একজন {তোমার দর্শন লগ করা}^{এন} + + θ একজন {তোমার দর্শন লগ করা}^{এন + + 1})

$u^{n+1} = u^n + \frac{\mu}{2}\left( (1-\theta)Au^n + \theta Au^{n+1}\right)$

A

$A$

0 \leq θ \leq 1

$0 \leq \theta \leq 1$

μ (1 - 2 θ) \leq \frac{1}{2}

$\mu(1-2\theta) \leq \frac{1}{2}$

μ (1 - θ) \leq \frac{1}{2}

$\mu(1-\theta) \leq \frac{1}{2}$

একটি প্রমাণের জন্য, কে ডাব্লু মর্টন দ্বারা আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সংখ্যাসম্য সমাধানগুলি দেখুন । বিশেষত, বিভাগগুলি 2.10 এবং 2.11 এবং উপপাদ্য 2.2 দেখুন।

$\mu$

$[0,1]$ $u_i^k$ $k$ $i$ $u^k_0 = u^k_2 = 0$ $k$

(1 - \frac{μ}{2} (- 2)) {তোমার দর্শন লগ করা}_{1}^{এন + + 1} = (1 + + \frac{μ}{2} (- 2)) {তোমার দর্শন লগ করা}_{1}^{এন},

$\left(1 - \frac{\mu}{2}(-2)\right)u^{n+1}_1 = \left(1 + \frac{\mu}{2}(-2)\right)u^n_1,$

{তোমার দর্শন লগ করা}_{1}^{এন + + 1} = (\frac{1 - μ}{1 + + μ}) {তোমার দর্শন লগ করা}_{1}^{এন} ।

$u^{n+1}_1 = \left(\frac{1-\mu}{1+\mu}\right)u^n_1.$

$u_1^0 = 1$

{তোমার দর্শন লগ করা}_{1}^{এন} = {(\frac{1 - μ}{1 + + μ})}^{এন},

$u^n_1 = \left(\frac{1-\mu}{1+\mu}\right)^n,$

u_{1}^{n} \leq 1

$u^n_1 \leq 1$

u_{1}^{n} < 0

$u^n_1 < 0$

n

$n$

μ \leq 1

$\mu \leq 1$

μ \leq 1

$\mu \leq 1$

μ

$\mu$

ফুবারবাজের অনুরোধের জবাবে আমি প্রমাণের স্কেচ যুক্ত করেছি।

\begin{aligned} (1 + + 2 θ μ) {তোমার দর্শন লগ করা}_{ঞ}^{এন + + 1} & = θ μ ({তোমার দর্শন লগ করা}_{ঞ - 1}^{এন + + 1} + + {তোমার দর্শন লগ করা}_{ঞ + + 1}^{এন + + 1}) \\ + + (1 - θ) μ ({তোমার দর্শন লগ করা}_{ঞ - 1}^{এন} + + {তোমার দর্শন লগ করা}_{ঞ + + 1}^{এন}) \\ + + [1 - 2 (1 - θ) μ] {তোমার দর্শন লগ করা}_{ঞ}^{এন} \end{aligned}

$\begin{align*} (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j &= \theta\mu(u^{n+1}_{j-1} + u^{n+1}_{j+1})\\ &+ (1-\theta)\mu(u^n_{j-1} + u^n_{j+1})\\ &+ [1-2(1-\theta)\mu]u^n_j \end{align*}$

$\mu(1-\theta)\leq \frac{1}{2}$

এখন ধরুন সর্বাধিকটি একটি অভ্যন্তরীণ বিন্দুতে প্রাপ্ত হয়েছে । নোট যে সব $u^{n+1}_j$ $u^{n+1}_{j-1}$ $u^{n+1}_{j+1}$ $u^n_{j-1}$ $u^n_{j+1}$ $u^n_j$ $u^{n+1}_j$ $u^{n+1}_j$

\begin{aligned} (1 + + 2 θ μ) {তোমার দর্শন লগ করা}_{ঞ}^{এন + + 1} & > θ μ ({তোমার দর্শন লগ করা}_{ঞ - 1}^{এন + + 1} + + {তোমার দর্শন লগ করা}_{ঞ + + 1}^{এন + + 1}) \\ + + (1 - θ) μ ({তোমার দর্শন লগ করা}_{ঞ - 1}^{এন} + + {তোমার দর্শন লগ করা}_{ঞ + + 1}^{এন}) \\ + + [1 - 2 (1 - θ) μ] {তোমার দর্শন লগ করা}_{ঞ}^{এন} \\ = (1 + + 2 θ μ) {তোমার দর্শন লগ করা}_{ঞ}^{এন + + 1} \end{aligned}

$\begin{align*} (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j &> \theta\mu(u^{n+1}_{j-1} + u^{n+1}_{j+1})\\ &+ (1-\theta)\mu(u^n_{j-1} + u^n_{j+1})\\ &+ [1-2(1-\theta)\mu]u^n_j\\ &= (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j \end{align*}$

যা একটি বৈপরীত্য। এটি অনুসরণ করে যে এর সমস্ত অস্থায়ী এবং স্থানিক প্রতিবেশীগুলিতেও সর্বাধিক অর্জন করতে হবে $u^{n+1}_j$ $u$

— বেন
সূত্র

ধন্যবাদ! আপনি মর্টন ছাড়াও অন্য একটি রেফারেন্স সম্পর্কে জানেন? আমি গুগল বইয়ের পূর্বরূপে এই বিভাগগুলি বা উপপাদ্য অ্যাক্সেস করতে পারি না। আমি প্রমাণ বুঝতে চাই।

— foobarbaz

@ ফুবারবাজ আমার কাছে আর একটি রেফারেন্স সহজ নয়, তবে আমি প্রমাণের একটি রূপরেখা যুক্ত করেছি। যদি আমি এটি আরও পরিষ্কার করে তুলতে পারি তবে আমাকে জানান।

— বেন

স্থায়িত্ব মানে একটি বিশৃঙ্খলা সময়সীমাবদ্ধ থাকে। এর অর্থ এই নয় যে সর্বাধিক নীতিটি বিযুক্ত স্তরে সন্তুষ্ট, এটি একটি ভিন্ন সমস্যা। পৃথক পৃথক নীতিকে সন্তুষ্ট করা যথেষ্ট তবে স্থায়িত্বের জন্য প্রয়োজনীয় নয়।

— ক্রিস
সূত্র