পিডি এর সিস্টেমকে ডিকুয়াল করতে নির্দিষ্ট পয়েন্ট পুনরাবৃত্তি ব্যবহার করা

ধরুন আমার একটি সীমানা মান সমস্যা ছিল:

\frac{d^{2} u}{d x^{2}} + \frac{d v}{d x} = f in Ω

$\frac{d^2u}{dx^2} + \frac{dv}{dx}=f \text{ in } \Omega$

\frac{d u}{d x} + \frac{d^{2} v}{d x^{2}} = g in Ω

$\frac{du}{dx} +\frac{d^2v}{dx^2} =g \text{ in } \Omega$

u = h in \partial Ω

$u=h \text{ in } \partial\Omega$

আমার লক্ষ্য হ'ল এই যুগল সমস্যার সমাধানটিকে পাতলা পিডিই'র ক্রমানুসারে পচন করা। সিস্টেম decouple করার জন্য, আমি অনুমান একটি ক্রম উপর একটি নির্দিষ্ট বিন্দু পুনরাবৃত্তির আবেদন করছি $(u^k,v^k)$ যেমন যে

\frac{d^{2} u^{k}}{d x^{2}} + \frac{d v^{k - 1}}{d x} = f

$\frac{d^2u^k}{dx^2} + \frac{dv^{k-1}}{dx}=f$

\frac{d u^{k - 1}}{d x} + \frac{d^{2} v^{k}}{d x^{2}} = g

$\frac{du^{k-1}}{dx} +\frac{d^2v^k}{dx^2} =g$

তাত্ত্বিকভাবে, এটি আমাকে সম্পূর্ণরূপে উপবৃত্তাকার PDE হিসাবে উভয় সমীকরণ সমাধান করার অনুমতি দেবে। যাইহোক, আমি কখনও পিডিই এর জন্য নির্দিষ্ট পয়েন্ট পুনরাবৃত্তি প্রয়োগ করতে দেখিনি। আমি সংখ্যাসূচক বিচ্ছিন্ন সমীকরণের (সীমাবদ্ধ পার্থক্য পদ্ধতি, সসীম উপাদান পদ্ধতি ইত্যাদি) প্রয়োগের নির্দিষ্ট পয়েন্ট পুনরাবৃত্তিগুলি দেখেছি, তবে কখনও ক্রমাগত সমীকরণগুলিতে কখনও আসে না।

আমি কি এটি করে কোনও নির্মম গাণিতিক নীতি লঙ্ঘন করছি? এটি কি গাণিতিকভাবে বৈধ? ডিস্ক্রিট ভেরিয়েবল সমস্যার পরিবর্তে কনটিনিয়াস ভেরিয়েবল সমস্যার ক্ষেত্রে স্থির পয়েন্ট পুনরাবৃত্তি প্রয়োগ করে আমি কি পিপিকে আনউপ্পলড পিডিইর ক্রম হিসাবে সমাধান করতে পারি?

এই মুহুর্তে, আমি এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করা ব্যবহারিক কিনা তা নিয়ে আসলেই আমি উদ্বিগ্ন নই, বরং এটি তাত্ত্বিকভাবে প্রশংসনীয় কিনা তা নয়। কোন প্রতিক্রিয়া ব্যাপকভাবে প্রশংসা হবে!

pde iterative-method

— পল
সূত্র

হাইপারবোলিক PDE সাহিত্যে, ভগ্নাংশ পদক্ষেপ এবং অপারেটর বিভক্তকরণ পদ্ধতিগুলি আপনি উপরে বর্ণিত হিসাবে সাজান।

— জেফ অক্সবেরি

(u^{k}, v^{k})

$(u^k, v^k)$

(u^{k}, p^{k})

$(u^k, p^k)$

@ বিলবার্থ: হ্যাঁ! আমি ঠিক এটি সংশোধন করেছি।

— পল

@ জিফঅক্সবেরি: আমি অপারেটরকে আলাদা আলাদা চরিত্রের মধ্যে দেখতে পাই।

— বেনামে

@ পল: আমি কমপক্ষে অন্য একটি সমস্যার কথা ভাবতে পারি যেখানে "মিলিত পিডিই" একটি নির্দিষ্ট পয়েন্ট পুনরাবৃত্তির মাধ্যমে সমাধান করা হয় (এবং কেবলমাত্র নির্দিষ্ট পয়েন্ট সমস্যা হিসাবে সূচিত হয় না): ডোমেন পচন, উদাহরণস্বরূপ নিউম্যান-ডিরিচলেট পদ্ধতিটি দেখুন। (এখানে পার্থক্য হ'ল আপনার দুটি পিডিই রয়েছে তবে তারা বিভিন্ন ডোমেনে বাস করে এবং এই সংযোগটি কেবলমাত্র একটি ইন্টারফেসের মাধ্যমে হয়)।

— বেনামে

$C^{\infty}(\Omega)\times C^{\infty}(\Omega)$

\frac{d^{2} u^{k}}{d x^{2}} + \frac{d v^{k - 1}}{d x} = f \frac{d^{2} v^{k}}{d x^{2}} + \frac{d u^{k - 1}}{d x} = g

$\frac{\text{d}^2u^k}{\text{d}x^2} + \frac{\text{d} v^{k-1}}{\text{d} x} =f\\ \frac{\text{d}^2v^k}{\text{d}x^2} + \frac{\text{d} u^{k-1}}{\text{d} x} =g\\$ (প্লাস সীমানা শর্ত)।

এটা স্পষ্ট যে যদি এই ক্রম এগোয়, এটা PDEs আসল সেটের একটি সমাধান হতে হবে।

$x^k\to x^{k+1}$ $u^0$ $v^0$

‖ (\begin{matrix} u^{k} \\ v^{k} \end{matrix}) - (\begin{matrix} {\hat{u}}^{k} \\ {\hat{v}}^{k} \end{matrix}) ‖ \leq q ‖ (\begin{matrix} u^{k - 1} \\ v^{k - 1} \end{matrix}) - (\begin{matrix} {\hat{u}}^{k - 1} \\ {\hat{v}}^{k - 1} \end{matrix}) ‖

$\left\| \begin{pmatrix} u^k\\ v^k \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \hat{u}^k\\ \hat{v}^k \end{pmatrix} \right\| \le q \left\| \begin{pmatrix} u^{k-1}\\ v^{k-1} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \hat{u}^{k-1}\\ \hat{v}^{k-1} \end{pmatrix} \right\|$

| q | < 1

$|q|<1$

(u^{k - 1}, v^{k - 1})

$(u^{k-1}, v^{k-1})$

({\hat{u}}^{k - 1}, {\hat{v}}^{k - 1})

$(\hat{u}^{k-1}, \hat{v}^{k-1})$

এই যুক্তি অবিচ্ছিন্ন এবং বিযুক্ত স্থান উভয় ক্ষেত্রেই কাজ করে।

— নিকো শ্ল্যামার
সূত্র

করা উচিত নয় ?

| q | < 1

$|q|<1$

— পল