এফইএম বিবেচনার জন্য দুর্বল ফর্মটি অংশে একীকরণের ব্যবহারের উদ্দেশ্য কী?

24

পিডিইর শক্তিশালী রূপ থেকে এফইএম ফর্মে যাওয়ার সময় মনে হয় সর্বদা পরিবর্তনশীল ফর্মটি উল্লেখ করে এটি করা উচিত। এটি করার জন্য আপনি কিছু (সোবোলেভ) স্থানের একটি উপাদান দ্বারা শক্তিশালী ফর্মটি গুণান এবং আপনার অঞ্চলে একীভূত হন। এটি আমি গ্রহণ করতে পারি। আমি যা বুঝতে পারি না তা হ'ল কেন একজনকে সবুজ সূত্র (এক বা একাধিকবার) ব্যবহার করতে হবে।

আমি বেশিরভাগই পয়েসনের সমীকরণ নিয়ে কাজ করছি, সুতরাং আমরা যদি এটি গ্রহণ করি (একজাতীয় ডাইরিচলেট সীমানা অবস্থার সাথে) উদাহরণ হিসাবে, অর্থাৎ

\begin{aligned} - \nabla^{2} u & = f, u \in Ω \\ u & = 0, u \in \partial Ω \end{aligned}

$\begin{align} -\nabla^2u &= f,\quad u\in\Omega \\ u &= 0, \quad u\in\partial\Omega \end{align}$

তারপরে দাবি করা হয় যে বৈকল্পিক ফর্মটি গঠনের সঠিক উপায়

\begin{aligned} \int_{Ω} f v d \vec{x} & = - \int_{Ω} \nabla^{2} u v d \vec{x} \\ = \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d \vec{x} - \int_{\partial Ω} \vec{n} \cdot \nabla u v d \vec{s} \\ = \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d \vec{x} . \end{aligned}

$\begin{align} \int_\Omega fv\,\mathrm{d}\vec{x} &= -\int_\Omega\nabla^2 uv\,\mathrm{d}\vec{x} \\ &=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,\mathrm{d}\vec{x} - \int_{\partial\Omega}\vec{n}\cdot\nabla u v\,\mathrm{d}\vec{s} \\ &=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,\mathrm{d}\vec{x}. \end{align}$

তবে আমাকে প্রথম লাইনে প্রকাশটি ব্যবহার করতে বাধা দেয় কি, এটি কি কোনও রূপক রূপ নয় যা কোনও এফইএম ফর্ম পেতে ব্যবহার করা যেতে পারে? এটা বাইলিনিয়ার এবং রৈখিক ফর্ম সংশ্লিষ্ট নয় $b(u,v)=(\nabla^2 u, v)$ এবং $l(v)=(f, v)$ ? এখানে সমস্যাটি কি আমি যদি লিনিয়ার বেজড ফাংশন (শেপ ফাংশন) ব্যবহার করি তবে আমি সমস্যায় পড়ে যাব কারণ আমার শক্ত হয়ে যাওয়া ম্যাট্রিক্স নাল ম্যাট্রিক্স হবে (অবিরত নয়)? তবে আমি যদি অ-রৈখিক আকারের ফাংশন ব্যবহার করি? আমার কি এখনও গ্রিনের সূত্র ব্যবহার করতে হবে? যদি আমার না থাকে: এটি কি পরামর্শ দেওয়া উচিত? যদি আমি না করি তবে আমার কি ভেরিয়েশনাল-তবে-দুর্বল নয়?

এখন, আসুন আমি বলি যে আমার কাছে উচ্চতর অর্ডার ডেরিভেটিভস সহ একটি পিডিই রয়েছে, তার মানে কি এই যে গ্রিনের সূত্রটি আমি কীভাবে ব্যবহার করি তার উপর নির্ভর করে অনেকগুলি সম্ভাব্য ভেরিয়েশনাল ফর্ম রয়েছে? এবং তারা সবাই (বিভিন্ন) এফইএম অনুমানের দিকে নিয়ে যায়?

pde finite-element elliptic-pde

— খ্রীষ্টান
সূত্র

সম্পর্কিত: scicomp.stackexchange.com/questions/667/…

— পল

18

সংক্ষিপ্ত উত্তর:

না, আপনাকে নির্দিষ্ট এফইএমগুলির জন্য ইন্টিগ্রেশন করতে হবে না। তবে আপনার ক্ষেত্রে, আপনাকে এটি করতে হবে।

দীর্ঘ উত্তর:

ধরা যাক সীমাবদ্ধ উপাদান সমাধান। আপনি যদি piecewise রৈখিক বহুপদী আপনার ভিত্তি হিসেবে, তারপর গ্রহণ এতে আপনার দেব একটি আদেশ 1 বন্টন (ক Heaviside পদক্ষেপ ফাংশন উপর ব্যুৎপন্ন গ্রহণ মনে), এবং একীকরণ সঙ্গে গুন শুধুমাত্র হবে যখন আপনি এটিকে ইনার পণ্য না দিয়ে দ্বৈত জুটি হিসাবে গ্রহণ করেন তখন তা বিবেচনা করুন । তোমরা কেউই কখনও একটি নাল ম্যাট্রিক্স পাবেন, Riesz উপস্থাপনা উপপাদ্য বলেছেন মধ্যে একটি উপাদান আছে যে $u_h$ $\Delta$ $-\Delta u_h\in H^{-1}$ $v$ $L^2$ $\varphi_{-\Delta u_h} \in H^1_0$ মধ্যে ভেতরের পণ্য দ্বারা দ্বৈত যুগল বৈশিষ্ট্য পারেন : উপাদান দ্বারা অংশের উপাদান দ্বারা একীভূত জন্য এই দ্বৈত যুগল একটি হালকা চালা হবে: জন্য এই ট্রায়াঙ্গুলেশন একটি উপাদান $H^1$
$⟨ - Δ u_{h}, v ⟩_{H^{- 1}, H_{0}^{1}} = \underset{inner product in H^{1}}{\underset{⏟}{\int_{Ω} \nabla φ_{- Δ u_{h}} \cdot \nabla v}} .$ $\langle-\Delta u_h ,v \rangle_{H^{-1},H^1_0} = \underbrace{\int_{\Omega}\nabla \varphi_{-\Delta u_h} \cdot \nabla v}_{\text{inner product in }H^1}.$ $u_h$ $T$ এই আপনি বলে যে , তার দ্বৈত যুগল প্রতিনিধিত্ব আন্ত উপাদান সর্দি লাফ অন্তর্ভুক্ত করা উচিত লক্ষ্য প্রতিটি উপাদান সীমানা উপর ইন্টিগ্রেশন এছাড়াও মধ্যে একটি দ্বৈত জুড়ি এবং । এমনকি যদি আপনিপ্রতিটি উপাদানটিতেচতুর্ভুজ ভিত্তিক, যা একটি অদৃশ্য থাকে তবে আপনি এখনওঅভ্যন্তরীণ পণ্য হিসাবে লিখতে পারবেন না, কারণ এই আন্তঃ উপাদান ফ্লক্স জাম্পের উপস্থিতি রয়েছে। $\int_{Ω} \nabla u_{h} \cdot \nabla v = - \sum_{T} (\int_{T} Δ u_{h} v + \int_{\partial T} \frac{\partial u_{h}}{\partial n} v d S),$ $\int_{\Omega}\nabla u_h \cdot \nabla v = -\sum_{T}\left(\int_{T} \Delta u_h\,v + \int_{\partial T}\frac{\partial u_h}{\partial n}v\,dS\right),$ $-\Delta u_h$ $H^{1/2}$ $H^{-1/2}$ $\Delta$ $(\Delta u, v)$
$W^{k,p}$ $W^{k,p}$ $H^1$ $H^2$ $H^2$ $\Delta u_h$
নির্দিষ্ট এফইএমগুলির জন্য, আপনাকে অংশগুলি দ্বারা একীকরণ করতে হবে না। উদাহরণস্বরূপ, স্বল্প-বর্গাকার সীমাবদ্ধ উপাদান। প্রথম অর্ডার সিস্টেম হিসাবে দ্বিতীয় অর্ডার পিডি লিখুন: ig ab নাবলা ইউ, ab নবলা সিডট বোল্ডসিম্বল ig তারপরে আপনি সর্বনিম্ন-বর্গক্ষেত্রের ক্রিয়াকলাপটি ন্যূনতম করতে চান: রিটজ-গ্যালারকিনের সাথে একই মনোভাব বহন করে, উপরের ক্রিয়াকলাপকে হ্রাস করার সীমাবদ্ধ উপাদান গঠন সীমাবদ্ধ উপাদান স্থান অংশ দ্বারা একীকরণ প্রয়োজন হয় না।
${\begin{cases} σ = - \nabla u, \\ \nabla \cdot σ = f . \end{cases}$ $\begin{cases} \boldsymbol{\sigma} = -\nabla u, \\ \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} = f. \end{cases}$ $J (v) = ‖ σ + \nabla u ‖_{L^{2} Ω}^{2} + ‖ \nabla \cdot σ - f ‖_{L^{2} Ω}^{2},$ $\mathcal{J}(v) = \|\boldsymbol{\sigma} + \nabla u\|_{L^2{\Omega}}^2 + \|\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} - f\|_{L^2{\Omega}}^2,$

— শুহাও কও
সূত্র

17

প্রযুক্তিগতভাবে কোনও কিছুই আপনাকে থামিয়ে দেয় না, তবে আপনি যখন অংশগুলি দ্বারা একীভূত হন তখন সমাধানের জায়গার সাথে আপনি আরও নমনীয়তা পান যেহেতু তাদের নিয়মিততা (আইবিপি নন গঠনের জন্য প্রয়োজনীয়) প্রয়োজন নেই। আপনার প্রস্তাবিত লিনিয়ার উপাদানগুলি সাধারণত উপাদানের মধ্যে ধারাবাহিকতা প্রয়োগ করে এবং তাই এ হতে পারে না । আইবিপি গঠনের পাশাপাশি প্রতিসাম্য, যার নিজস্ব কিছু সুবিধাও রয়েছে। $H^2$ $H^2$

— Reid.Atcheson
সূত্র

1

আপনি কি বলছেন যে লিনিয়ার শেপ ফাংশনগুলি এইফ form এ নয় এমন এফইএম গঠনের একটি সমাধান দেয় কারণ এই এফইএম সমাধানকে দু'বার (দুর্বলভাবে) পৃথক করে ডেল্টা বিতরণের একটি যোগফল দেয়, যা ? এর অর্থ কি পিডি: 2 এর চেয়ে বেশি অর্ডারের জন্য আমাকে 1 এর চেয়ে উচ্চতর অর্ডারের শেপ ফাংশনগুলি ব্যবহার করতে হবে (কমপক্ষে যদি পরীক্ষা এবং পরীক্ষার জায়গাগুলি একই হওয়া উচিত?)?

H^{2}

$H^2$

L^{2}

$L^2$

— খ্রিস্টান

1

আপনি যা বলছেন তা মূলত সঠিক। দ্বিতীয় ক্রম PDE আপনি না বেশী হিসাবে অগত্যা (Shuhao এর উত্তর দেখুন) মিশ্র তৈয়ার নিচে লেখা যেমন উচ্চতর নিয়মানুবর্তিতা স্পেস ব্যবহার করতে সাহায্য পারেন। এই সমস্যাটি এড়াতে আপনি অন্যান্য কৌশল যেমন জাম্প পেনালাইজেশন ব্যবহার করতে পারেন। ক্লাসিকাল এফইএম উত্তরের জন্য, হ্যাঁ আপনার উচ্চতর নিয়মিততা দরকার।

— রিড.আচসসন

2

আমি প্রতিসাম্য গুরুত্ব জোর দেওয়া যাক। যদি কোনও ডিফারেনশিয়াল অপারেটর স্ব-স্থগিত হয় তবে আমি প্রত্যাশা করি যে একটি সমমিত ম্যাট্রিক্স শেষ হবে। অংশ দ্বারা সংহত ছাড়া এটি ক্ষেত্রে হবে না।

— স্টিফানো এম

1

সংযোজনীয় সুবিধাগুলি এটিকে যুক্ত করার ক্ষেত্রে আমার প্রাথমিক চিন্তা ছিল, তবে কি প্রতিসমের শক্তিশালী তাত্ত্বিক সুবিধা রয়েছে (সম্ভবত উপবৃত্তের ক্ষেত্রে এখনও অবধারিতভাবে থাকা বাস্তবের সহজ প্রমাণগুলি বাদ দিয়ে, যদি বিচক্ষণতা অদ্বিতীয় হয়)?

— রিড.এচচসন

15

এই পৃষ্ঠায় ইতিমধ্যে দুর্দান্ত উত্তর, তবে এখনও একটি (ছোট) অনুপস্থিত পয়েন্ট রয়েছে।

ওপি জিজ্ঞাসা করেছিল:

এখন, আসুন আমি বলি যে আমার কাছে উচ্চতর অর্ডার ডেরিভেটিভস সহ একটি পিডিই রয়েছে, তার মানে কি এই যে গ্রিনের সূত্রটি আমি কীভাবে ব্যবহার করি তার উপর নির্ভর করে অনেকগুলি সম্ভাব্য ভেরিয়েশনাল ফর্ম রয়েছে? এবং তারা সবাই (বিভিন্ন) এফইএম অনুমানের দিকে নিয়ে যায়?

আপনার যখন নিউম্যান ধরণের সীমানা পরিস্থিতি থাকে তখন অংশগুলি ( সঠিক উপায়ে) দ্বারা সংহত করা গুরুত্বপূর্ণ। প্রকৃতপক্ষে এটি আপনার আইপিপি দ্বারা আপনার পরিবর্তনশীল সূচনায় আপনি নিউউম্যান বিসি বিবেচনা করেন। নিউম্যান বিসি-র ফর্ম নির্ভর করে আপনি কীভাবে অংশগুলি দ্বারা একীভূত হন, সিএফ. রৈখিক স্থিতিস্থাপকতা অংশ দ্বারা একীকরণ এই উত্তর । সুতরাং এমনকি দ্বিতীয় অর্ডার উপবৃত্তাকার পিডিই এর জন্য, নিউম্যান বা মিশ্র সীমানা শর্তের জন্য বৈকল্পিক সূত্রটি পুনরুদ্ধার করার জন্য অংশগুলির দ্বারা সংহতকরণ একটি নির্দিষ্ট উপায়ে সম্পাদন করতে হবে। (এবং অবশ্যই এটি নির্বিশেষে আপনি এফইএম দ্বারা বিবেচিত হন)।

গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞানে, যেখানে নিউমান বিসি-র একটি সুস্পষ্ট সংজ্ঞা দেওয়া হয়েছে (হিট ফ্লাক্স, স্ট্রেস ...), ফলাফলগুলির সঠিক ব্যাখ্যা বজায় রাখার জন্য অংশগুলির দ্বারা সংহতকরণ গুরুত্বপূর্ণ। এমনকি একজাতীয় ডাইরিচলেট পরিস্থিতি এবং এফইএম-এর জন্য এটি সত্য, যেহেতু আমরা যদি সিসি চাপানোর জন্য ল্যাঞ্জরেঞ্জ গুণক পদ্ধতি ব্যবহার করি তবে গুণকগুলি ঘন প্রবাহ বা বাহিনীর মতো শারীরিক পরিমাণে পরিণত হয়।

— স্টেফানো এম
সূত্র