ধারাবাহিকভাবে একটি বল নির্বাচন করে এবং এটি চিহ্নিত করে বলগুলির সংখ্যা নির্ধারণ করা

Question

বলি আমার একটি ব্যাগে এন বল আছে। আমার প্রথম অঙ্কনে, আমি বলটি চিহ্নিত করি এবং এটি ব্যাগের মধ্যে প্রতিস্থাপন করি। আমার দ্বিতীয় ড্রতে, আমি যদি একটি চিহ্নিত বল বাছাই করি তবে আমি এটি ব্যাগে ফিরিয়ে দেব। তবে, আমি যদি একটি চিহ্নবিহীন বল তুলে নিই তবে আমি এটি চিহ্নিত করব এবং এটি ব্যাগে ফিরিয়ে দেব। আমি যে কোনও অঙ্কনের জন্য এটি চালিয়ে যাচ্ছি। ব্যাগের কয়েকটি অঙ্কের অঙ্ক এবং অঙ্কনের চিহ্ন / চিহ্নহীন ইতিহাস দেওয়া প্রত্যাশিত বলটি কত?

Comments

সম্ভবত সম্পর্কিত: জনসংখ্যার প্রাচুর্য অনুমান করার জন্য আপনি ক্যাপচার-পুনর্বার পদ্ধতিটি দেখেছেন? en.wikipedia.org/wiki/Mark_and_recapture

— a.arfe

"প্রত্যাশিত নম্বর" এটির প্রত্যাশিত মানের স্বাভাবিক প্রযুক্তিগত অর্থে বোঝা যায় না, কারণ এর জন্য কোনও সম্ভাবনা বিতরণ নেই $N$। মত শোনাচ্ছে আপনি একটি জন্য জিজ্ঞাসা করা হয় মূল্নির্ধারক এর$N$।

— whuber

Answer 1

এখানে একটি ধারণা। দিন$\mathcal{I}$ প্রাকৃতিক সংখ্যার একটি সীমাবদ্ধ উপসেট হতে হবে যা এর জন্য সম্ভাব্য মান হিসাবে পরিবেশন করবে $N$। মনে করুন আমাদের একটি পূর্ব বিতরণ শেষ হয়েছে$\mathcal{I}$। একটি এলোমেলো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা পূর্ণ করুন$M$। দিন$k$ আমরা একটি বলকে যে বারে চিহ্নিত করি তার সংখ্যাটি এলোমেলোভাবে পরিবর্তনশীল হয়ে উঠুন $M$ব্যাগ থেকে আঁক লক্ষ্যটি সন্ধান করা$E(N|k)$। এটি ফাংশন হবে$M,k$ এবং পূর্ববর্তী।

বেয়েসের নিয়মে আমাদের রয়েছে

$$\begin{align} P(N=j|k) &= \frac{P(k|N=j)P(N=j)}{P(k)}\\ &= \frac{P(k|N=j)P(N=j)}{\sum_{r \in \mathcal{I}} P(k|N=r)P(N=r)} \end{align}$$

কম্পিউটিং $P(k|N=j)$ কুপন সংগ্রহকারীর সমস্যায় বৈকল্পিক হিসাবে পরিচিত একটি গণনা। $P(k|N=j)$ সম্ভাবনা যা আমরা লক্ষ্য করি $k$ স্বতন্ত্র কুপন $M$ আছে যখন আঁকুন $j$মোট কুপন। একটি যুক্তি জন্য এখানে দেখুন

$$P(k|N=j) = \frac{\binom{j}{k}k!S(M,k)}{j^M}$$

কোথায় $S$দ্বিতীয় ধরণের একটি আলোড়ন দেওয়ার সংখ্যা বোঝায় । তারপরে আমরা গণনা করতে পারি

$$E(N|k) = \sum_{j \in \mathcal{I}}jP(N=j|k)$$

নীচে বিভিন্ন জন্য কিছু গণনা দেওয়া আছে $k$ এবং $M$। প্রতিটি ক্ষেত্রে আমরা আগে একটি ইউনিফর্ম ব্যবহার$[k,10k]$

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline M & k & E(N)\\\hline 10 & 5 & 7.99 \\ 15 & 5 & 5.60 \\ 15 & 10 & 23.69\\ 30 & 15 & 20.00\\ 30 & 20 & 39.53 \\ \hline \end{array}$$