প্রান্তিক প্রভাবগুলির স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটির জন্য ডেল্টা পদ্ধতিটি কীভাবে ব্যবহার করবেন?

Question

ইন্টারগ্রেশন শব্দটি অন্তর্ভুক্ত করে এমন একটি রিগ্রেশন মডেলের গড় প্রান্তিক প্রভাবগুলির স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটিগুলি প্রায় অনুমানের জন্য আমি ব-দ্বীপ পদ্ধতিটি আরও ভালভাবে বুঝতে আগ্রহী। আমি ব-দ্বীপ-পদ্ধতির অধীনে সম্পর্কিত প্রশ্নগুলি দেখেছি তবে আমি যা খুঁজছি তা সরবরাহ করে নি।

একটি উদাহরণস্বরূপ উদাহরণ হিসাবে নিম্নলিখিত উদাহরণ ডেটা বিবেচনা করুন:

set.seed(1)
x1 <- rnorm(100)
x2 <- rbinom(100,1,.5)
y <- x1 + x2 + x1*x2 + rnorm(100)
m <- lm(y ~ x1*x2)

আমি গড় প্রান্তিক প্রভাব (সুপার কম্পিউটার) আগ্রহী x1এবং x2। এগুলি গণনা করার জন্য, আমি কেবল নিম্নলিখিতটি করি:

cf <- summary(m)$coef
me_x1 <- cf['x1',1] + cf['x1:x2',1]*x2 # MEs of x1 given x2
me_x2 <- cf['x2',1] + cf['x1:x2',1]*x1 # MEs of x2 given x1
mean(me_x1) # AME of x1
mean(me_x2) # AME of x2

তবে এই এএমইগুলির মানক ত্রুটিগুলি গণনা করতে আমি কীভাবে ব-দ্বীপ পদ্ধতি ব্যবহার করব?

আমি হাত দ্বারা এই বিশেষ মিথস্ক্রিয়া জন্য এসই গণনা করতে পারেন:

v <- vcov(m)
sqrt(v['x1','x1'] + (mean(x2)^2)*v['x1:x2','x1:x2'] + 2*mean(x2)*v['x1','x1:x2'])

কিন্তু ডেল্টা পদ্ধতিটি কীভাবে ব্যবহার করতে হয় তা আমি বুঝতে পারি না।

আদর্শভাবে, আমি যে কোনও স্বেচ্ছাচারী রিগ্রেশন মডেলের এএমইগুলির জন্য ডেল্টা পদ্ধতি (এবং কোড) সম্পর্কে কীভাবে ভাবেন সে সম্পর্কে কিছু গাইডেন্স খুঁজছি। উদাহরণস্বরূপ, এই প্রশ্নটি একটি নির্দিষ্ট ইন্টারেক্টিভ এফেক্টের জন্য এসই এর জন্য একটি সূত্র সরবরাহ করে এবং ম্যাট গোল্ডারের এই নথিটি বিভিন্ন ইন্টারেক্টিভ মডেলের জন্য সূত্র সরবরাহ করে তবে আমি সূত্রের চেয়ে এএমই এর এসই গণনা করার সাধারণ পদ্ধতিটি আরও ভালভাবে বুঝতে চাই want কোনও নির্দিষ্ট এএমই এর এসই।

Comments

+1 দুর্দান্ত প্রশ্ন (আমাকেও দীর্ঘদিন ধরে ঠাট্টা করে আসছে)! সেখানে Stata ফোরামে একটি পোস্ট হল: গড় প্রান্তিক জন্য ডেল্টা পদ্ধতি মান ত্রুটি ... । এসই-তে, বুটস্ট্র্যাপ পদ্ধতির ব্যবহারের একটি উদাহরণ রয়েছে: প্রবিত নিবন্ধনের জন্য প্রান্তিক প্রভাবগুলির জন্য এমএফএক্সবাট ফাংশন? ।

— বার্ড ওয়েইস

Answer 1

ডেল্টা পদ্ধতিটি সহজভাবে বলেছে যে আপনি যদি অক্সিলারি ভেরিয়েবলের প্রতিনিধিত্ব করতে পারেন তবে আপনি সাধারণত বিতরণ করা এলোমেলো ভেরিয়েবলের একটি ফাংশন হিসাবে প্রতিনিধিত্ব করতে পারেন, সহায়ক ভেরিয়েবল আনুমানিকভাবে সাধারণত ভেরিয়েবলের (EDIT: র ক্ষেত্রে কতটা সহায়ক পরিবর্তিত হয় তার সাথে বৈকল্পিকের সাথে বিতরণ করা হয়) is অ্যালেকোস পাপাদোপ্লোস দ্বারা চিহ্নিত হিসাবে ডেল্টা পদ্ধতিটি আরও সাধারণভাবে বলা যেতে পারে যে এটির জন্য অ্যাসিপোটোটিক স্বাভাবিকতার প্রয়োজন নেই)। এটিকে ভাবার সহজতম উপায় হ'ল টেলর সম্প্রসারণ হিসাবে, যেখানে কোনও ফাংশনের প্রথম শব্দটি গড় হয় এবং দ্বিতীয় ক্রমের শর্তাবলী থেকে ভিন্নতা আসে। বিশেষত, যদি প্যারামিটারের ফাংশন হয় এবং সেই পরামিতিগুলির জন্য সামঞ্জস্যপূর্ণ, সাধারণত বিতরণ করা অনুমানক: β খ ছ ( খ ) ≈ ছ ( β ) + + ∇ ছ ( β ) ' ( খ - β ) β b β $g$$\beta$$b$

$$g(b) \approx g(\beta) + \nabla g(\beta)^\prime (b - \beta)$$ যেহেতু একটি ধ্রুবক, এবং জন্য একটি ধারাবাহিক অনুমানকারী , তাই আমরা বলতে পারি: এই ক্ষেত্রে, আপনার ওএলএস অনুমান, এবং এএমই। আপনি এই নির্দিষ্ট এএমই লিখতে পারেন: আপনি যদি এই ফাংশনের গ্রেডিয়েন্টটি নেন (মনে রাখবেন, নয় সহগের একটি ফাংশন ), এটি হবে : $\beta$$b$$\beta$ $$\sqrt{n}\left(g(b)-g(\beta)\right)\,\xrightarrow{D}\,N\left(0, \nabla g(\beta)^\prime \cdot \Sigma_b \cdot \nabla g(\beta)\right)$$ $b$$g$ $$g(b_1,b_2)=b_1+b_2 \text{ mean}(x_2)$$ $x_2$ $$[1,\,\, \text{mean}(x_2)]^\prime$$ এবং এর ভেরিয়েন্স-কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স হতে পারে: এটিকে প্লাগ ইন করা ভেরিয়েন্স সূত্র এবং কিছু ম্যাট্রিক্স বীজগণিত করা আপনাকে একই অভিব্যক্তিটি চেয়েছিল যা আপনি চেয়েছিলেন gives$b$ $$\left[ \begin{matrix} s_{11} & s_{12} \\ s_{12} & s_{22} \end{matrix}\right]$$

সাধারণভাবে আপনি এই কাজ করতে চান আপনি স্পষ্টভাবে কোড যাই হোক না কেন করতে পারেন আপনি মধ্যে চান আপনার সব কোফিসিয়েন্টস এর কার্যকারিতা হিসেবে এবং তারপর ব্যবহার সংখ্যাসূচক গ্রেডিয়েন্ট নেওয়া থেকে সম্মান সঙ্গে ফাংশনের গড় (অন্যথায় আপনি ব্যবহার কম্পিউটার বীজগণিত আছে চাই) আপনার প্যারামিটারগুলি, আপনি যে অনুমানগুলি অনুমিত করেছেন at তারপরে আপনি কেবল ভেরিয়েন্স-কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স এবং এই সংখ্যাসূচক গ্রেডিয়েন্টটি নিন এবং এটি সূত্র এবং ভয়েলাতে প্লাগ করুন! ডেল্টা পদ্ধতি।$g$RnumDeriv

যুক্ত করুন: এই নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে Rকোডটি হবে:

v <- vcov(m)

# Define function of coefficients. Note all coefficients are included so it 
# will match dimensions of regression coefficients, this could be done more 
# elegantly in principle
g <- function(b){
    return(b[2] + b[4] * mean(x2))
}

require(numDeriv) # Load numerical derivative package

grad_g <-  jacobian(g, m$coef) # Jacobian gives dimensions, otherwise same as
                               # gradient 

sqrt(grad_g%*% v %*% t(grad_g)) # Should be exactly the same 

মনে রাখবেন যে এই সমস্যাটির জন্য সংখ্যাসূচক গ্রেডিয়েন্টের পরিবর্তে সঠিক গ্রেডিয়েন্ট পাওয়া সর্বদা পছন্দনীয়, কারণ সঠিক গ্রেডিয়েন্টের কম গণনীয় ত্রুটি থাকবে। সত্য যে ঘটিয়েছে রৈখিক এই সমস্যা হয়, এবং আরো অনেক জটিল ফাংশন জন্য সঠিক গ্রেডিয়েন্ট সবসময় পাওয়া নাও হতে পারে।$g$

Comments

এই খুব বিস্তারিত উত্তরের জন্য ধন্যবাদ। আমি মনে করি যা মূলত আমাকে ট্রিপ করছিল তা মূল ভেরিয়েবলের চেয়ে সহগের সাথে সম্মানের সাথে গ্রেডিয়েন্ট ছিল। আমি সত্যিই আপনার সাহায্য তারিফ করা!

— টমাস

এবং শুধু একটি স্পষ্ট প্রশ্ন। mean(x2)এসই গণনা করার সময় আপনি ব্যবহার করেন। এটি কি কেবলমাত্র প্রান্তিক প্রভাবের জন্য হবে না? আমার অন্তর্নিহিততাটি হ'ল এএমইগুলির জন্য, আমাকে প্রতিটি পর্যবেক্ষণের জন্য এসই করতে হবে এবং তারপরে কোনও উপায়ে তাদের জুড়ে গড়।

— টমাস

এটি লিনিয়ার এএমইগুলির সমতুল্য, যখন আপনি পর্যবেক্ষণগুলির গড় গড় নেন তবে আপনি কেবলমাত্র প্রান্তিক প্রভাব দিয়ে শেষ করেন। অন্যথায় আপনাকে gপ্রতিটি ব্যক্তির জন্য প্রান্তিক প্রভাবগুলির গড় হিসাবে সত্যই সংজ্ঞায়িত করতে হবে এবং সম্ভবত সংখ্যার গ্রেডিয়েন্টটি ব্যবহার করতে হবে, আমি নিশ্চিত নই যে প্রত্যেকের জন্য এসই নেওয়া বেশ একই রকম হবে।

— জায়েক

এটি এএমই এবং এমইটি লিনিয়ার এমএসের সমতুল্য। এসই আমি সমতুল্য বলে মনে করব না কারণ বৈকল্পিকতার জন্য ফর্মটি চতুর্ভুজযুক্ত, সুতরাং গড়টি কেবল পপ আউট হবে না। এসই পর্যবেক্ষণে কেন কেবল যোগ করা যায় না তার জন্য আমার খুব ভাল ধারণা নেই, তবে আমি নিশ্চিত এটি সত্য sure

— জায়েক

মনে রাখবেন ডেল্টা উপপাদ্যের স্বাভাবিকতার প্রয়োজন হয় না।

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস