একটি সাধারণ বিতরণে এক্স এর প্রত্যাশিত মান, এটি নির্দিষ্ট মানের নীচে থেকে দিন IV

কেবলমাত্র একটি নির্দিষ্ট মানের নীচে (উদাহরণস্বরূপ, গড় মানের নীচে) দেওয়া সত্ত্বেও যদি এটি সাধারণত বিতরণ করা হয় তবে এক্স এর প্রত্যাশিত মানটি পাওয়া সম্ভব কিনা তা কেবল ভাবছেন।

normal-distribution conditional-probability expected-value

— জুঁই
সূত্র

এটা অবশ্যই সম্ভব। সর্বনিম্ন আপনি ব্রুট ফোর্স

গণনা করতে পারবেন

F (t)^{- 1} \int_{- \infty}^{x} t f (t) d t

$F(t)^{-1} \int_{- \infty}^{x} t f(t) dt$ । অথবা আপনি যদি জানেন

μ

$\mu$ এবং

σ

$\sigma$ আপনি একটি সিমুলেশন ব্যবহার করে এটি অনুমান করতে পারে।

— dsaxton

@ ডিএসএক্সটন সেই সূত্রে কিছু টাইপস রয়েছে তবে আমরা ধারণাটি পাই। আমি যে বিষয়ে কৌতূহলী তা হ'ল প্রান্তিক গড়ের নীচে যখন আপনি ঠিক কীভাবে সিমুলেশনটি চালাবেন।

— হোবার

@ হ্যাঁ,

হওয়া উচিত ।

শূন্যের কাছাকাছি থাকলে সিমুলেশন করা খুব স্মার্ট হবে না , তবে আপনি যেমনটি উল্লেখ করেছেন যে কোনও উপায় আছে তবে ঠিক একটি সূত্র আছে।

F (t)

$F(t)$

F (x)

$F(x)$

F (x)

$F(x)$

— dsaxton

@ ডিএসএক্সটন ঠিক আছে, যথেষ্ট ন্যায্য। আমি কেবল আশা করছিলাম যে আপনি সাধারণ বন্টনের লেজ থেকে অনুকরণের জন্য এক ধরণের চালাক এবং সাধারণ ধারণা মনে রেখেছিলেন।

— whuber

বেশী বা কম Math.SE একই প্রশ্ন: math.stackexchange.com/questions/749664/average-iq-of-mensa

— JiK

উত্তর:

$X$ $\mu$ $\sigma^2$ $\sigma Z + \mu$ $Z$ $Z$

$\Phi$
$\phi(z) = \Phi^\prime(z)$
$\phi^\prime(z) = -z \phi(z)$

প্রথম দুটি বুলেটটি কেবল স্বরলিপি এবং সংজ্ঞা: তৃতীয়টি হ'ল আমাদের সাধারণ বিতরণের একমাত্র বিশেষ সম্পত্তি।

$T$ $X$ $Z$

t = (T - μ) / σ,

$t = (T-\mu)/\sigma,$

যাতে

Pr (X \leq T) = Pr (Z \leq t) = Φ (t) .

$\Pr(X \le T) = \Pr(Z \le t) = \Phi(t).$

তারপরে, শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশার সংজ্ঞা দিয়ে শুরু করে আমরা এটির জন্য এর লিনিয়ারিটিটি কাজে লাগাতে পারি

\begin{aligned} E (X | X \leq T) & = E (σ Z + μ | Z \leq t) = σ E (Z | Z \leq t) + μ E (1 | Z \leq t) \\ = (σ \int_{- \infty}^{t} z ϕ (z) d z + μ \int_{- \infty}^{t} ϕ (z) d z) / Pr (Z \leq t) \\ = (- σ \int_{- \infty}^{t} ϕ^{'} (z) d z + μ \int_{- \infty}^{t} Φ^{'} (z) d z) / Φ (t) . \end{aligned}

$\eqalign{ \mathbb{E}(X\,|\, X \le T) &= \mathbb{E}(\sigma Z + \mu \,|\, Z \le t) = \sigma \mathbb{E}(Z \,|\, Z \le t) + \mu \mathbb{E}(1 \,|\, Z \le t) \\ &= \left(\sigma \int_{-\infty}^t z \phi(z) dz + \mu \int_{-\infty}^t \phi(z) dz \right) / \Pr(Z \le t)\\ &=\left(-\sigma \int_{-\infty}^t \phi^\prime(z) dz + \mu \int_{-\infty}^t \Phi^\prime(z) dz\right) / \Phi(t). }$

ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্যটি দৃts়ভাবে জানায় যে ডেরিভেটিভের যে কোনও অবিচ্ছেদ্য শেষ প্রান্তে ফাংশনটি মূল্যায়ন করে পাওয়া যায়: । এটি উভয় ইন্টিগ্রালের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। যেহেতু এবং উভয়ই এ হওয়া উচিত , তাই আমরা পাই $\int_a^b F^\prime(z) dz = F(b) - F(a)$ $\Phi$ $\phi$ $-\infty$

E (X | X \leq T) = μ - σ \frac{ϕ (t)}{Φ (t)} .

$\mathbb{E}(X\,|\, X \le T) = \mu - \sigma \frac{\phi\left(t\right)}{\Phi\left(t\right)}.$

বিপরীত মিলের অনুপাতের সাথে আনুপাতিক আনুষ্ঠানিকভাবে এটি মূল গড় বিয়োগফল ।

আমরা আশা হিসাবে, জন্য মিলস বিপরীত অনুপাত ইতিবাচক হতে হবে এবং অতিক্রম আবশ্যক (যার গ্রাফ বিন্দু যুক্ত লাল লাইন দিয়ে দেখানো হয়)। এটা তোলে নেমে অবক্ষয়িত হয়েছে হিসাবে এ বৃহৎ বৃদ্ধি, তারপর ছাঁটাই জন্য (অথবা ) প্রায় কিছুই পরিবর্তন। যেহেতু খুব নেতিবাচকভাবে বৃদ্ধি পায়, বিপরীত মিলের অনুপাতটি অবশ্যই কারণ স্বাভাবিক বিতরণের লেজগুলি এত তাড়াতাড়ি হ্রাস পায় যে বাম লেজের প্রায় সমস্ত সম্ভাবনাটি তার ডানদিকে ( ) ঘনিষ্ঠ হয় । $t$ $-t$ $0$ $t$ $Z=t$ $X=T$ $t$ $-t$ $t$

অবশেষে, যখন গড় হয়, যেখানে বিপরীত মিলের অনুপাত । এটি এর প্রত্যাশিত মানটিকে বোঝায় , এটির গড় হিসাবে ছাঁটা হয়েছে (যা অর্ধ-সাধারণ বিতরণের নেতিবাচক ), এটি mean the মূল গড়ের নীচে এর মান বিচ্যুতির চেয়ে বহুগুণ বেশি। $T = \mu$ $t=0$ $\sqrt{2/\pi} \approx 0.797885$ $X$ $-\sqrt{2/\pi}$

— whuber
সূত্র

সাধারণভাবে ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন । $X$ $F(X)$

আমাদের কাছে, জন্য , আপনি বিশেষ ক্ষেত্রে গ্রহণ করে, পেতে পারেন উদাহরণস্বরূপ , যা উৎপাদ । $x\in[c_1,c_2]$

\begin{array}{rcl} P (X \leq x | c_{1} \leq X \leq c_{2}) & = & \frac{P (X \leq x \cap c_{1} \leq X \leq c_{2})}{P (c_{1} \leq X \leq c_{2})} = \frac{P (c_{1} \leq X \leq x)}{P (c_{1} \leq X \leq c_{2})} \\ = & \frac{F (x) - F (c_{1})}{F (c_{2}) - F (c_{1})} \end{array}

$\begin{eqnarray*} P(X\leq x|c_1\leq X \leq c_2)&=&\frac{P(X\leq x\cap c_1\leq X \leq c_2)}{P(c_1\leq X \leq c_2)}=\frac{P(c_1\leq X \leq x)}{P(c_1\leq X \leq c_2)}\\&=&\frac{F(x)-F(c_1)}{F(c_2)-F(c_1)} \end{eqnarray*}$

c_{1} = - \infty

$c_1=-\infty$

F (c_{1}) = 0

$F(c_1)=0$

শর্তাধীন cdfs ব্যবহার করে, আপনি শর্তসাপেক্ষ ঘনত্বের পেতে পারেন (যেমন, জন্য ), যা শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশা জন্য ব্যবহার করা যাবে। $f(x|X<0)=2\phi(x)$ $X\sim N(0,1)$

আপনার উদাহরণে, অংশগুলির দ্বারা সংহতকরণ যেমন @ হোবারের জবাব।

E (X | X < 0) = 2 \int_{- \infty}^{0} x ϕ (x) = - 2 ϕ (0),

$E(X|X<0)=2\int_{-\infty}^0x\phi(x)=-2\phi(0),$

— ক্রিস্টোফ হ্যাঙ্ক
সূত্র

+1 (এটি প্রথম প্রদর্শিত হওয়ার পরে আমি কোনওভাবেই মিস করেছি)। প্রথম অংশটি কাটা কাটা বিতরণ ফাংশনগুলি কীভাবে অর্জন করতে হয় তার দ্বিতীয় বিবরণ এবং দ্বিতীয়টি কীভাবে তাদের পিডিএফগুলি গণনা করতে পারে তা দেখায়।

— whuber