একটি অসম্ভব অনুমান সমস্যা?

প্রশ্ন

নেতিবাচক দ্বিপদী (এনবি) বিতরণের বৈচিত্রটি সর্বদা এর গড়ের চেয়ে বেশি। যখন কোনও নমুনার গড়টি তারতম্যের চেয়ে বেশি হয়, সর্বাধিক সম্ভাবনার সাথে বা মুহুর্তের অনুমানের সাথে কোনও এনবির পরামিতিগুলি ফিট করার চেষ্টা করা ব্যর্থ হয় (সীমাবদ্ধ পরামিতিগুলির সাথে কোনও সমাধান নেই)।

তবে এটি সম্ভব যে এনবি বিতরণ থেকে নেওয়া একটি নমুনার অর্থ বৈচিত্রের চেয়ে বেশি। এখানে আর একটি পুনরুত্পাদনযোগ্য উদাহরণ।

set.seed(167)
x = rnbinom(100, size=3.2, prob=.8);
mean(x) # 0.82
var(x) # 0.8157576

একটি শূন্য-সম্ভাবনা রয়েছে যে এনবি একটি নমুনা তৈরি করবে যার জন্য পরামিতিগুলি অনুমান করা যায় না (সর্বাধিক সম্ভাবনা এবং মুহুর্তের পদ্ধতিগুলি দ্বারা)।

এই নমুনার জন্য শালীন প্রাক্কলন দেওয়া যেতে পারে?
যখন অনুমানকারী সমস্ত নমুনার জন্য সংজ্ঞায়িত না হয় তখন অনুমান তত্ত্বটি কী বলে?

উত্তর সম্পর্কে

@ মার্করবিনসন এবং @ ইয়ভসের উত্তরগুলি আমাকে বুঝতে পেরেছিল যে প্যারামিট্রাইজেশনই মূল সমস্যা। এনবি এর সম্ভাব্যতা ঘনত্ব সাধারণত হিসাবে লেখা হয়

P (X = k) = \frac{Γ (r + k)}{Γ (r) k!} (1 - p)^{r} p^{k}

$P(X = k) = \frac{\Gamma(r+k)}{\Gamma(r)k!}(1-p)^rp^k$ বা

P (X = k) = \frac{Γ (r + k)}{Γ (r) k!} {(\frac{r}{r + m})}^{r} {(\frac{m}{r + m})}^{k} .

$P(X = k) = \frac{\Gamma(r+k)}{\Gamma(r)k!} \left(\frac{r}{r+m}\right)^r \left(\frac{m}{r+m}\right)^k.$

প্রথম প্যারামিট্রাইজেশনের অধীনে, সর্বাধিক সম্ভাবনা অনুমান যখনই নমুনার বৈকল্পিক গড়ের চেয়ে ছোট হয়, তাই সম্পর্কে দরকারী কিছুই বলা যায় না । দ্বিতীয়টির নিচে এটি , সুতরাং আমরা একটি যুক্তিসঙ্গত অনুমান দিতে পারি । অবশেষে, @MarkRobinson শো আমরা ব্যবহার দ্বারা অসীম মূল্যবোধের সমস্যার সমাধান করতে পারে যে পরিবর্তে । $(\infty, 0)$ $p$ $(\infty, \bar{x})$ $m$ $\frac{r}{1+r}$ $r$

উপসংহারে, এই অনুমানের সমস্যার সাথে মৌলিকভাবে কোনও ভুল নেই, আপনি সর্বদা প্রতিটি নমুনার জন্য এবং এর অর্থপূর্ণ ব্যাখ্যা দিতে পারবেন না । পরিষ্কার কথা বলতে গেলে ধারণাগুলি উভয় উত্তরে উপস্থিত রয়েছে। আমি প্রদত্ত পরিপূরকগুলির জন্য সঠিক হিসাবে @ মার্করবিনসনকে বেছে নিয়েছি। $r$ $p$

estimation maximum-likelihood negative-binomial

— gui11aume
সূত্র

এই ক্ষেত্রে সর্বাধিক সম্ভাবনা ব্যর্থ হয়েছে তা বলা ভুল। কেবলমাত্র মুহুর্তের পদ্ধতিগুলি অসুবিধার মুখোমুখি হতে পারে।

— শি'আন

@ শিয়ান আপনি প্রসারিত করতে পারেন? এই নমুনা সম্ভাবনা ডোমেইনে কোন সর্বাধিক হয়েছে (এছাড়াও দেখুন এই উদাহরণস্বরূপ)। আমি কিছু অনুপস্থিত করছি? যে কোনও ইভেন্টে, আপনি যদি এই ক্ষেত্রে পরামিতিগুলির এমএল অনুমান দিতে পারেন তবে আমি প্রশ্নটি আপডেট করব।

(0, \infty) \times (0, 1)

$(0,\infty) \times (0,1)$

— gui11aume

এবং এর সম্ভাব্যতার সীমাহীন দূরত্বে থাকতে পারে । সরল ডায়াগোনস্টিকের সাথে একই রকম সমস্যা লোম্যাক্স বিতরণের জন্য : এটি জানা যায় যে যখন নমুনাটির প্রকরণের সহক তখন আকারটির এমএল অনুমান অসীম । তবুও এই ইভেন্টের সম্ভাবনাটি কোনও নমুনা আকারের জন্য ইতিবাচক এবং , এবং জন্য যথেষ্ট শক্তিশালী ।

p \to 0

$p \to 0$

r \to \infty

$r \to \infty$

CV < 1

$\text{CV} < 1$

α = 20

$\alpha = 20$

n = 200

$n = 200$

— ইয়ভেস

@ হ্যাভস এই অন্যান্য উদাহরণের জন্য ধন্যবাদ (যা সম্পর্কে আমি অবগত ছিলাম না)। এই ক্ষেত্রে লোকেরা কী করবে?

— gui11aume

লোম্যাক্স উদাহরণে, কিছু লোক সূচকীয় বিতরণ ব্যবহার করতে পছন্দ করবে যা এবং সীমা । এটি অসীম এমএল প্রাক্কলন স্বীকার করতে উত্সাহিত হয়। পুনরায় প্যারামিটারাইজেশন দ্বারা চালানের খাতিরে, আমি বিশ্বাস করি যে অসীম পরামিতি কিছু ক্ষেত্রে বোধগম্য হতে পারে। আপনার এনবি উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা থেকে থেকে বিতরণ ব্যবহার করতে পছন্দ করি তবে একই ঘটনা ঘটে ।

α \to \infty

$\alpha \to \infty$

λ / α \to θ > 0

$\lambda / \alpha \to \theta >0$

r p / (1 - p) \to λ

$rp/(1-p) \to \lambda$

— Yves

উত্তর:

মূলত, আপনার নমুনার জন্য, আকারের প্যারামিটারের অনুমানটি প্যারামিটার স্পেসের সীমানায়। কেউ একটি পুনঃনির্ধারণকে যেমন d = আকার / (আকার + 1) হিসাবে বিবেচনা করতে পারে; যখন আকার = 0, ডি = 0, যখন আকার অনন্তের দিকে ঝুঁকবে, তখন ডি 1 টি পৌঁছেছে It এটি প্রমাণিত হয়েছে যে আপনি যে প্যারামিটার সেটিংস দিয়েছেন তার জন্য, অনন্ত আকারের আকার (1 এর কাছাকাছি) প্রায় 13% সময় ঘটে কক্স-রেড সমন্বিত প্রোফাইল সম্ভাবনা (এপিএল) অনুমান, যা এনবি (যেমন এখানে দেখানো হয়েছে) এর জন্য এমএলই অনুমানের বিকল্প । গড় প্যারামিটারের অনুমানগুলি (বা 'প্রোব') ঠিক আছে বলে মনে হচ্ছে (চিত্র দেখুন, নীল রেখাগুলি হ'ল মান, লাল বিন্দুটি আপনার বীজের = 167 নমুনার জন্য অনুমান)। এপিএল তত্ত্ব সম্পর্কে আরও বিশদ এখানে ।

সুতরাং, আমি 1 বলব: ডেস্কটপ প্যারামিটারের অনুমানগুলি হতে পারে .. আকার = অসীমতা বা ছড়িয়ে দেওয়া = 0 নমুনা প্রদত্ত একটি যুক্তিসঙ্গত অনুমান। একটি পৃথক প্যারামিটার স্থান বিবেচনা করুন এবং অনুমান সীমাবদ্ধ হবে।

— মার্ক রবিনসন
সূত্র

আমার প্রশ্নের উত্তর দিতে সাইটে যোগদানের জন্য ধন্যবাদ! কক্স-রেড সমন্বিত প্রোফাইল সম্ভাবনার বিশদটি খুব আশাব্যঞ্জক দেখাচ্ছে।

— gui11aume

$p \to 0$ $r \to \infty$ $\Theta := (0,\,1)\times(0,\,\infty)$ $\lambda >0$ $[p,\,r] \in \Theta$ $p \to 0$ $r \to \infty$ $rp/(1-p) \to \lambda$

$\text{CV} < 1$ $>0.3$ $\alpha = 20$ $n = 200$

এমএল বৈশিষ্ট্যগুলি একটি বৃহত নমুনা আকারের জন্য: নিয়মিততা শর্তে, একটি এমএল অনুমান উপস্থিত থাকে, অনন্য হতে পারে এবং সত্য পরামিতির দিকে ঝোঁক থাকে। তবুও একটি নির্দিষ্ট সীমাবদ্ধ আকারের জন্য, এমএল অনুমানটি ডোমেনে উপস্থিত হতে ব্যর্থ হতে পারে, যেমন সর্বাধিক সীমাতে পৌঁছেছে। এটি কোনও ডোমেনেও বিদ্যমান থাকতে পারে যা সর্বোচ্চকরণের জন্য ব্যবহৃত চেয়ে বড়।

$\alpha \to \infty$ $\lambda / \alpha \to \theta >0$ $\text{GPD}(\sigma,\,\xi)$ $\xi >0$ $\widehat{\xi} < 0$ $\widehat{\xi} = 0$

পুনরায় প্যারামিটারাইজেশন দ্বারা চালানের খাতিরে, আমি বিশ্বাস করি যে অসীম পরামিতি কিছু ক্ষেত্রে বোধগম্য হতে পারে।

— ইভস
সূত্র