প্যারামিটার অনুমানের জন্য দ্বি দ্বি বিতরণের সম্ভাবনা ফাংশনটি কীভাবে অর্জন করতে হয়?

Question

মিলার এবং ফ্রেন্ডের সম্ভাব্যতা এবং প্রকৌশলীদের জন্য পরিসংখ্যান অনুসারে , 8 ইড (পিপি ২১17-২১৮), দ্বিপদী বিতরণের (বার্নোল্লি ট্রায়াল) সর্বাধিক করার সম্ভাবনা ফাংশনটি দেওয়া হয়েছে

$L(p) = \prod_{i=1}^np^{x_i}(1-p)^{1-x_i}$

এই সমীকরণে কীভাবে পৌঁছবেন? পোয়েসন এবং গাউসিয়ান অন্যান্য বিতরণ সম্পর্কে এটি আমার কাছে বেশ স্পষ্ট মনে হয়েছে;

$L(\theta) = \prod_{i=1}^n \text{PDF or PMF of dist.}$

দ্বিপদী জন্য একটি মাত্র কিছু আলাদা। সোজা এগিয়ে থাকতে, কীভাবে হয়েছিল

$nC_x~p^x(1-p)^{n-x}$

পরিণত

$p^{x_i}(1-p)^{1-x_i}$

উপরোক্ত সম্ভাবনা ফাংশনে?

Answer 1

সর্বাধিক সম্ভাবনার অনুমানের মধ্যে আপনি সর্বাধিক করার চেষ্টা করছেন ; তবে, এটি সর্বাধিক করা একটি নির্দিষ্ট x এর জন্য p x ( 1 - p ) n - x সর্বাধিক করার সমতুল্য ।$nC_x~p^x(1-p)^{n-x}$$p^x(1-p)^{n-x}$$x$

প্রকৃতপক্ষে, গাউসিয়ান এবং পয়েসনের সম্ভাবনাও তাদের অগ্রণী স্থিরদের জড়িত করে না, তাই এই ক্ষেত্রেটি ডব্লিউয়ের মতোই

---

ওপিএস মন্তব্য ভাষণ

এখানে আরও কিছু বিশদ দেওয়া হল:

প্রথমত, হল সাফল্যের মোট সংখ্যা যেখানে x i একক বিচার (0 বা 1)। অতএব:$x$$x_i$

$$\prod_{i=1}^np^{x_i}(1-p)^{1-x_i} = p^{\sum_1^n x_i}(1-p)^{\sum_1^n1-x_i} = p^{x}(1-p)^{n-x}$$

এটি দেখায় যে আপনি কীভাবে সম্ভাবনাগুলিতে উপাদানগুলি পান (উপরের পদক্ষেপগুলি পিছনের দিকে চালিয়ে)।

কেন ধ্রুব দূরে চলে যায়? অনানুষ্ঠানিকভাবে এবং বেশিরভাগ লোকেরা (আমাকে সহ) যা করেন, কেবল তা লক্ষ্য করা যায় যে শীর্ষস্থানীয় ধ্রুবক এর মানকে প্রভাবিত করে না যা সম্ভাবনা সর্বাধিক করে তোলে, তাই আমরা কেবল এটিকে উপেক্ষা করি (কার্যকরভাবে এটি 1 তে সেট করে)।$p$

আমরা সম্ভাবনা ফাংশনটির লগ নিয়ে এবং এর উত্পন্নকটি শূন্য কোথায় তা আবিষ্কার করে এটি অর্জন করতে পারি:

$$\ln\left(nC_x~p^x(1-p)^{n-x}\right) = \ln(nC_x)+x\ln(p)+(n-x)\ln(1-p)$$

ডেরাইভেটিভ আর্ট নিন এবং 0 এ সেট করুন :$p$$0$

$$\frac{d}{dp}\ln(nC_x)+x\ln(p)+(n-x)\ln(1-p) = \frac{x}{p}- \frac{n-x}{1-p} = 0$$

$$\implies \frac{n}{x} = \frac{1}{p} \implies p = \frac{x}{n}$$

লক্ষ্য করুন যে নেতৃত্বের ধ্রুবকটি এমএলইয়ের গণনা থেকে বাদ পড়েছে।

$L_1,L_2$$L_1=kL_2$$p$

ব্যবহারিক স্তরে সম্ভাবনা ফাংশনটি ব্যবহার করে অনুমান করা আসলে সম্ভাবনার অনুপাতের উপর নির্ভর করে, সম্ভাবনার পরম মানের নয়। এটি সম্ভাবনা অনুপাতের asympotic তত্ত্বের কারণে (যা asympototically চি-বর্গ হয় - কিছু নিয়মিততার শর্ত যা প্রায়শই উপযুক্ত appropriate সম্ভাবনা অনুপাতের পরীক্ষাগুলি নেইমন-পিয়ারসন লেমার কারণে পছন্দসই । সুতরাং, যখন আমরা দুটি সাধারণ অনুমান পরীক্ষা করার চেষ্টা করব, আমরা অনুপাত নেব এবং সাধারণ নেতৃস্থানীয় ফ্যাক্টর বাতিল হয়ে যাবে।

দ্রষ্টব্য: আপনি যদি দুটি ভিন্ন মডেলের তুলনা করছিলেন তবে এটি ঘটবে না , একটি দ্বিপদী এবং একটি পোষন বলুন। সেক্ষেত্রে ধ্রুবকগুলি গুরুত্বপূর্ণ।

উপরের কারণগুলির মধ্যে প্রথম (এল এর ম্যাক্সিমাইজার সন্ধানের অপ্রাসঙ্গিকতা) আপনার প্রশ্নের উত্তর সরাসরি দেয়।

Comments

$nC_x$$n$

@ ÉbeIsaac আরও কিছু বিবরণ যুক্ত করেছে

Answer 2

প্রোডাক্টে এক্সআই প্রতিটি স্বতন্ত্র পরীক্ষাকে বোঝায়। প্রতিটি স্বতন্ত্র পরীক্ষার জন্য xi 0 বা 1 হতে পারে এবং n সর্বদা 1 এর সমান হয়। অতএব, তুচ্ছভাবে, দ্বিপদী সহগ 1 এর সমান হবে। সুতরাং, সম্ভাবনার জন্য পণ্য সূত্রে দ্বিপদী সহগের গুণফল 1 হবে এবং সুতরাং সূত্রে কোনও এনসিএক্স নেই। এটি ধাপে ধাপে কাজ করার সময় বুঝতে পেরেছি :) (ফর্ম্যাটটির জন্য দুঃখিত, উত্তরে গাণিতিক অভিব্যক্তি দিয়ে উত্তর দেওয়ার জন্য অভ্যস্ত ছিল না ... তবে :))