প্রথম স্ট্যান্ডার্ড সাধারণ টেবিলটি কে তৈরি করেছেন?

আমি আমার প্রারম্ভিক পরিসংখ্যান শ্রেণিতে স্ট্যান্ডার্ড সাধারণ টেবিলটি প্রবর্তন করতে চলেছি এবং এটি আমাকে অবাক করে দিয়েছিল: প্রথম স্ট্যান্ডার্ডের সাধারণ টেবিলটি কে তৈরি করেছে? কম্পিউটারগুলি আসার আগে তারা কীভাবে এটি করেছিল? আমি কাউকে হাত থেকে হাজার হাজার রিমেনের অঙ্কের সংক্ষিপ্ত-জোরের কথা ভেবে কাঁপছি।

— ড্যানিয়েল স্মোকিন
সূত্র

কেউ historতিহাসিকভাবে অবহিত শিক্ষণ চাইছেন দেখে ভাল লাগল।

— mdewey

উত্তর:

ল্যাপলেস সর্বপ্রথম টেবুলেশনের প্রয়োজনীয়তাটি স্বীকৃতি দিয়েছিল:

\begin{aligned} G (x) & = \int_{x}^{\infty} e^{- t^{2}} d t \\ (1) & = \frac{1}{x} - \frac{1}{2 x^{3}} + \frac{1 \cdot 3}{4 x^{5}} - \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{8 x^{7}} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{16 x^{9}} + \dots \end{aligned}

$\begin{align}G(x)&=\int_x^\infty e^{-t^2}dt\\[2ex]&=\small \frac1 x- \frac{1}{2x^3}+\frac{1\cdot3}{4x^5} -\frac{1\cdot 3\cdot5}{8x^7}+\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}{16x^9}+\cdots\tag{1} \end{align}$

সাধারণ বিতরণের প্রথম আধুনিক টেবিলটি পরে ফরাসী জ্যোতির্বিজ্ঞানী খ্রিস্টান ক্র্যাম্প দ্বারা বিশ্লেষণ ডেস রিফ্রাকশনস অ্যাস্ট্রোনমিক্স অ্যান্ড টেরেস্ট্রেস (পার লে সিটোয়েন ক্র্যাম্প, প্রোফেসিউর ডি চিমি এবং দে ফিজিক এক্সপ্রেমেন্টেল à l'école সেন্ট্রলে ডু ড্যাপার্টেমেন্ট দে লা রোয়ার, 1799) তৈরি করেছিলেন । সাধারণ বিতরণ সম্পর্কিত টেবিলগুলি থেকে : একটি সংক্ষিপ্ত ইতিহাস লেখক (গুলি): হারবার্ট এ ডেভিড উত্স: আমেরিকান পরিসংখ্যানবিদ, খণ্ড। 59, নং 4 (নভেম্বর।, 2005), পৃষ্ঠা 309-311 :

উচ্চাকাঙ্ক্ষীভাবে, Kramp আট দশমিক (দিয়েছিলেন $8$ ডি) টেবিল পর্যন্ত $x = 1.24,$ $9$ ডি $1.50,$ $10$ ডি $1.99,$ এবং $11$ ডি $3.00$ ক্ষেপক জন্য প্রয়োজনীয় পার্থক্য একসাথে। প্রথম ছয় ডেরাইভেটিভস লিখে $G(x),$ তিনি সহজভাবে একটি টেলর সিরিজ সম্প্রসারণ ব্যবহার $G(x + h)$ সম্পর্কে $G(x),$ সঙ্গে $h = .01,$ $h^3.$ এ টার্ম পর্যন্ত এই তার কাছ থেকে ধাপে ধাপে এগিয়ে যেতে সক্ষম $x = 0$ থেকে $x = h, 2h, 3h,\dots,$ উপরে গুন $h\,e^{-x^2}$ by
$1 - h x + \frac{1}{3} (2 x^{2} - 1) h^{2} - \frac{1}{6} (2 x^{3} - 3 x) h^{3} .$ $1-hx+ \frac 1 3 \left(2x^2 - 1\right)h^2 - \frac 1 6 \left(2x^3 - 3x\right)h^3.$ সুতরাং, $x = 0$ এই পণ্যটি হ্রাস করে $.01 (1 - \frac{1}{3} \times .0001) = .00999967,$ $.01 \left(1 - \frac 1 3 \times .0001 \right) = .00999967,$ যাতে $G(.01) = .88622692 - .00999967 = .87622725.$

⋮

$\vdots$

তবে ... তিনি কতটা সঠিক হতে পারেন? ঠিক আছে, উদাহরণস্বরূপ $2.97$ নেওয়া যাক :

অ্যামেজিং!

আসুন গাউসিয়ান পিডিএফ-এর আধুনিক (সাধারণীকৃত) প্রকাশের দিকে এগিয়ে যাওয়া যাক:

$\mathscr N(0,1)$

f_{X} (X = x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{x^{2}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}} = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- {(z)}^{2}}

$f_X(X=x)=\large \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac {x^2}{2}}= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-\left(\frac {x}{\sqrt{2}}\right)^2}= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-\left(z\right)^2}$

$z = \frac{x}{\sqrt{2}}$ $x = z \times \sqrt{2}$

$P_Z(Z>z=2.97)$ $e^{ax}$ $1/a$ $x$ $\sqrt{2}$

আরও, খ্রিস্টান ক্র্যাম্প স্বাভাবিক হয়নি, সুতরাং আর by অনুসারে দেওয়া ফলাফলগুলি আমাদের সংশোধন করতে হবে, দ্বারা গুণ করে $\sqrt{2\pi}$

\frac{\sqrt{2 π}}{\sqrt{2}} P (X > x) = \sqrt{π} P (X > x)

$\frac{\sqrt{2\pi}}{\sqrt{2}}\,\mathbb P(X>x)=\sqrt{\pi}\,\,\mathbb P(X>x)$

$z=2.97$ $x=z\times \sqrt{2}=4.200214$

(R = sqrt(pi) * pnorm(x, lower.tail = F))
[1] 0.00002363235e-05

ফ্যান্টাস্টিক!

$0.06$

z = 0.06
(x = z * sqrt(2))

(R = sqrt(pi) * pnorm(x, lower.tail = F))
[1] 0.8262988

$0.82629882$

নিকটবর্তী...

জিনিসটি ... ঠিক কতটা কাছাকাছি? সমস্ত আপ-ভোট প্রাপ্তির পরেও আমি আসল উত্তরটি ঝুলতে পারি না। সমস্যাটি হ'ল যে আমি চেষ্টা করেছি সমস্ত অপটিক্যাল চরিত্র স্বীকৃতি (ওসিআর) অ্যাপ্লিকেশন অবিশ্বাস্যভাবে বন্ধ ছিল - আপনি যদি আসলটি একবার দেখে থাকেন তবে অবাক হওয়ার কিছু নেই। সুতরাং, আমি তার কাজের দৃ Pre়তার জন্য খ্রিস্টান ক্র্যাম্পের প্রশংসা করতে শিখেছি যখন আমি ব্যক্তিগতভাবে তার টেবিল প্রিমিয়ারের প্রথম কলামে প্রতিটি অঙ্ক টাইপ করেছি ।

@ গ্লেন_বি থেকে কিছু মূল্যবান সহায়তার পরে, এখন এটি খুব ভালভাবে সঠিক হতে পারে এবং এটি এই গিটহাব লিঙ্কে আর কনসোলে অনুলিপি এবং কপি করার জন্য প্রস্তুত ।

এখানে তার গণনার যথার্থতা বিশ্লেষণ is নিজেকে বন্ধনী ...

[আর] মান এবং ক্র্যাম্পের সান্নিধ্যের মধ্যে সম্পূর্ণ ক্রমগত পার্থক্য :

$0.000001200764$ $301$ $1$

নিখুঁত ত্রুটি (এমএই) , বা এরmean(abs(difference))সাথেdifference = R - kramp:

$0.000000003989249$ $3$

প্রবেশের ক্ষেত্রে [গণনা] এর তুলনায় তাঁর গণনাগুলি সর্বাধিক বিবিধ ছিল প্রথম ভিন্ন দশমিক স্থানের মানটি অষ্টম অবস্থানে ছিল (শত মিলিয়নতম)। গড়ে (মিডিয়ান) তাঁর প্রথম "ভুল" দশম দশমিক অঙ্ক (দশম বিলিয়নতম!) এ ছিল। এবং, যদিও তিনি কোনও ক্ষেত্রেই [আর] এর সাথে সম্পূর্ণরূপে একমত নন, ত্রয়োদশ ডিজিটাল প্রবেশ পর্যন্ত নিকটতম প্রবেশটি বিচ্যুত হবে না।

আপেক্ষিক পার্থক্য বা mean(abs(R - kramp)) / mean(R)(একই all.equal(R[,2], kramp[,2], tolerance = 0)) এর অর্থ:

$0.00000002380406$

রুট মানে স্কোয়ার ত্রুটি (আরএমএসই) বা বিচ্যুতি (বড় ভুলগুলিকে আরও ওজন দেয়), হিসাবে গণনা করা হয়sqrt(mean(difference^2)):

$0.000000007283493$

যদি আপনি চিস্তিয়ান ক্র্যাম্পের কোনও ছবি বা প্রতিকৃতি খুঁজে পান তবে দয়া করে এই পোস্টটি সম্পাদনা করুন এবং এটি এখানে রাখুন।

— আন্তনি পরল্লদা
সূত্র

দুটি ভিন্ন রেফারেন্স পেয়ে এটি চমৎকার, এবং আমি মনে করি যে অতিরিক্ত বিবরণগুলি (উপরের লেজের জন্য স্পষ্টত প্রসারিত ল্যাপ্লেস যেমন দেওয়া হয়েছে) এখানে ভাল।

— Glen_b

সর্বশেষতম সম্পাদনা সহ এটি আরও ভাল তবে আমি দু'বার উত্সাহ দিতে পারি না - দুর্দান্ত স্টাফ। নোট করুন যে ডেভিডের নিবন্ধে ক্র্যাম্পের টেবিলটি দেখানো সমস্ত অঙ্কের সঠিকতা কেন নেই (প্রথম ধাপে একটি খুব ছোট ত্রুটিটি সম্পন্ন করা হয়েছিল) - তবে এটি বেশিরভাগ পরিসংখ্যান সংক্রান্ত অ্যাপ্লিকেশনগুলির জন্য এখনও যথেষ্ট বেশি

— Glen_b

@ অলিভিয়ারগ্রোওয়ের আমার ভুল টাইপ করা দশমিক অঙ্কটি নির্দেশ করার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। এটি এখন সংশোধন করা হয়েছে। আমি এমন এক সময়ে বড় হয়েছি যখন ফরাসী ভাষা আবশ্যক ছিল এবং কোনওভাবেই আমার ভাষাটির স্পর্শকাতর ব্যবহারের সাথে কোনওভাবেই অসম্মান বোঝানো হয়নি (সেখানে একটি রেফারেন্স রয়েছে, তবে কিছু মনে করবেন না), যা আমি উল্টো করে দিয়েছি। "সিটিয়েন ক্র্যাম্প" হিসাবে - কাগজে পরিচয়ের historicalতিহাসিক রূপগুলি হাইলাইট করার চেষ্টা।

— আন্তনি পরল্লদা

আরে, দুঃখিত আপনি অনুভব করেছেন যে এটি একটি সাহসী মন্তব্য ছিল। আমি কেবল স্টাফগুলিকে ইশারা করছিলাম, আমি কোনওভাবেই বলছি না যে আপনি কোনও কিছুর প্রতি অসম্মান করছেন। অবশ্যই আপনি শাস্তি দিতে বা অতিরঞ্জিত করতে পারেন (বা একটি রেফারেন্সও তৈরি করতে পারেন) অবশ্যই। তবে একটি ফরাসীভাষী লোক হিসাবে, আমি এটি পেলাম না (এটি আমি জানাতে চেষ্টা করেছি, কমপক্ষে)। "লে সিটোয়েন ক্র্যাম্প" এর কোনও সমস্যা ছিল না: আমি কেবল অনুলিপি করে উদ্ধৃতি দিয়েছিলাম, কারণ এটি ইংরেজি ছিল না। দুঃখিত যদি আপনি অনুভব করেন যে এটি একটি বিরক্তিকর মন্তব্য ছিল, তবে তা নয়। আমার ইংরেজি ব্যবহারেরও অভাব রয়েছে। Comparison আপনার তুলনা সুন্দরভাবে সম্পন্ন হয়েছিল!

— অলিভিয়ার গ্রাগোয়ার

@ পি। উইন্ড্রিজে দুঃখিত ... আমি বুঝতে পেরেছিলাম আমার কাছে ভাঙা হাইপারলিঙ্কগুলি ছিল ...

— আন্তোনি পেরেল্লদা

এইচএ ডেভিডের মতে [১] ল্যাপ্লেস "1783 এর প্রথম দিকে" সাধারণ বিতরণের টেবিলগুলির প্রয়োজনীয়তা স্বীকার করেছিলেন এবং প্রথম সাধারণ টেবিলটি 1799 সালে ক্র্যাম্প দ্বারা উত্পাদিত হয়েছিল।

$0$ $x$ $e^{-t^2}$ $\frac{_1}{^2}$

তবে ক্র্যাম্প ল্যাপ্লেসের এই সিরিজগুলি ব্যবহার করেনি, যেহেতু অন্তরগুলির মধ্যে একটি ব্যবধান ছিল যার জন্য তারা কার্যকরভাবে প্রয়োগ করতে পারে।

$x$ $G(x+h)$ $G$

নির্দিষ্ট হতে, প্রাসঙ্গিক দুটি বাক্য উদ্ধৃত করে:

$G(x + h)$ $G(x)$ $h = .01$ $h^3$ $x = 0$ $x = h, 2h, 3h,...$ $he^{-x^2}$
$1 - h x + \frac{1}{3} (2 x^{2} - 1) h^{2} - \frac{1}{6} (2 x^{3} - 3 x) h^{3} .$ $1-hx+ \frac13(2x^2 - 1)h^2 - \frac16(2x^3 - 3x)h^3.$ $x = 0$ $.01 (1 - \frac{1}{3} \times .0001) = .00999967, (4)$ $.01 (1 - \frac13 \times .0001 ) = .00999967,\qquad\qquad (4)$ $G(.01) = .88622692 - .00999967 = .87622725$ $10^{-9}$

ডেভিড নির্দেশ করে যে টেবিলগুলি ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়েছিল।

তাই হাজার হাজার রিমন অঙ্কের চেয়ে এটি ছিল শত শত টেলর বিস্তৃতি।

একটি ছোট নোটে, একটি চিমটিতে (সাধারণ টেবিল থেকে কেবলমাত্র একটি ক্যালকুলেটর এবং কয়েকটি স্মরণীয় মানগুলির সাথে আটকে) আমি অন্যান্য মানগুলিতে একটি ভাল আনুমানিকতা পাওয়ার জন্য সিম্পসনের নিয়মটি (এবং সংখ্যাসূচক একীকরণের জন্য সম্পর্কিত নিয়মগুলি) সফলভাবে প্রয়োগ করেছি; এটা না সব সঠিকতা কয়েক পরিসংখ্যান একটি সংক্ষিপ্ত টেবিল * উত্পাদন করতে যে ক্লান্তিকর। [ক্র্যাম্পের স্কেল এবং যথার্থতার সারণী প্রস্তুত করা মোটামুটি বড় কাজ হবে, যদিও, তিনি যেমন চালাক পদ্ধতি ব্যবহার করেছিলেন।]

* একটি সংক্ষিপ্ত টেবিল দ্বারা, আমার অর্থ এমন একটি যেখানে আপনি মূলত খুব বেশি নির্ভুলতা না হারিয়ে ট্যাবুলেটেড মানগুলির মধ্যে অন্তরঙ্গকরণের সাথে দূরে যেতে পারেন। আপনি শুধুমাত্র বিকেল 3 চিত্রে সঠিকতা বলে চান আপনি কি সত্যিই গনা প্রয়োজন হবে না সব যে অনেক মান। আমি কার্যকরভাবে বহুবর্ষীয় ইন্টারপোলেশন ব্যবহার করেছি (আরও সুনির্দিষ্টভাবে, সীমাবদ্ধ পার্থক্য কৌশল প্রয়োগ করা হয়েছে), যা রৈখিক দোলনের চেয়ে কম মান সহ একটি টেবিলের জন্য অনুমতি দেয় - যদি ইন্টারপোলেশন পদক্ষেপে আরও কিছু প্রচেষ্টা করা হয় - এবং লগিট ট্রান্সফর্মেশনের সাথে ইন্টারপোলেশনও করেছি, যা লিনিয়ার ইন্টারপোলেশনকে যথেষ্ট কার্যকর করে তোলে তবে আপনার যদি ভাল ক্যালকুলেটর থাকে তবে কেবলমাত্র এটি ব্যবহারযোগ্য)।

[1] হারবার্ট এ। ডেভিড (2005),
"সাধারণ বিতরণ সম্পর্কিত টেবিলগুলি: একটি সংক্ষিপ্ত ইতিহাস"
আমেরিকান পরিসংখ্যানবিদ , খণ্ড। 59, নং 4 (নভেম্বর।), পৃষ্ঠা 309-311

[২] ক্র্যাম্প (
১99৯৯ ), ডেস রিফ্রাকশনস অ্যাস্ট্রোনমিকস অ্যান্ড টেরেস্ট্রেস,
লাইপজিগ বিশ্লেষণ করুন : শুইকিকার্ট

— Glen_b
সূত্র

মজার বিষয়! আমি মনে করি জটিল সূত্রের সংহতকরণের মাধ্যমে প্রথম ধারণাটি আসে নি; বরং, সংযুক্তিগুলিতে অ্যাসেম্পটিকগুলি প্রয়োগের ফলাফল। কলম এবং কাগজ পদ্ধতিতে কয়েক সপ্তাহ লাগতে পারে; কার্ল গাউসের পক্ষে তার পূর্বসূরীদের পাইয়ের গণনার তুলনায় এতটা শক্ত নয়। আমি মনে করি গাউসের ধারণা সাহসী ছিল; গণনা তাঁর জন্য সহজ ছিল।

স্ক্র্যাচ থেকে স্ট্যান্ডার্ড জেড টেবিল তৈরির উদাহরণ-
১. এন (জনসংখ্যাটি হ'ল 20) সংখ্যার জনসংখ্যা নিন এবং সেখান থেকে আকারের সমস্ত সম্ভাব্য নমুনার তালিকা (r বলুন 5) list
2. নমুনা মানে গণনা। আপনি এনসিআর নমুনা অর্থ পান (এখানে, 20c5 = 15504 অর্থ)।
৩. তাদের গড় জনসংখ্যা গড়ের সমান। নমুনা অর্থের স্টাডেভ সন্ধান করুন।
৪. নমুনার জেড স্কোরের অর্থ স্যাম্পল অর্থগুলির পপ গড় এবং স্টাডিভ ব্যবহার করে।
5. Z ক্রমটিকে আরোহণের ক্রমে বাছাই করুন এবং z এর সম্ভাবনাটি আপনার এনসিআর z মানগুলির মধ্যে একটি সীমার মধ্যে সন্ধান করুন।
Normal. সাধারণ টেবিলের সাথে মানগুলির তুলনা করুন। ছোট এন হাতের গণনার জন্য ভাল। বৃহত্তর এন স্বাভাবিক সারণির মানগুলির কাছাকাছি উত্পন্ন করবে।

নিম্নলিখিত কোডটি আরে রয়েছে:

n <- 20  
r <- 5  

p <- sample(1:40,n)  # Don't be misled!! Here, 'sample' is an r function  
                     used to produce n random numbers between 1 and 40.  
                     You can take any 20 numbers, possibly all different.  

c <- combn(p, r)     # all the nCr samples listed  
cmean <- array(0)  

for(i in 1:choose(n,r)) {  
    cmean[i] <- mean(c[,i])  
                }  

z <- array(0)  
for(i in 1:choose(n,r)) {  
    z[i] <- (cmean[i]-mean(c))/sd(cmean)  
                }  

ascend <- sort(z, decreasing = FALSE)

0 এর নীচে z এবং ইতিবাচক মান q এর মধ্যে পড়ার সম্ভাবনা; একটি পরিচিত টেবিলের সাথে তুলনা করুন। তুলনা করতে নীচে 0 এবং 3.5 এর মধ্যে কি ম্যানিপুলেট করুন।

q <- 1  
probability <- (length(ascend[ascend<q])-length(ascend[ascend<0]))/choose(n,r)   
probability   # For example, if you use n=30 and r=5, then for q=1, you  
              will get probability is 0.3413; for q=2, prob is 0.4773

— মোঃ তৌহিদুল ইসলাম
সূত্র

টেবিলগুলি তৈরি করতে এইভাবে নমুনাটি কীভাবে ব্যবহার করা যেতে পারে তা আমি দেখতে পাচ্ছি না। আমার মনে হয় ওপি প্রথম ব্যক্তিটি কে কেবল জানতে চেয়েছিল

— মাইকেল চেরনিক

আপনার মূল্যবান মন্তব্য মাইকেল চেরনিকের জন্য ধন্যবাদ। 1) ওপি লিখেছে "কম্পিউটারগুলি আসার আগে তারা কীভাবে এটি করত? আমি হাজার হাজার রিম্যানের হাতে একটি সংখ্যক নিষ্ঠুর-শক্তি গণনার কথা ভেবে কাঁপছি" " আমি সেই অংশটির উত্তর দেওয়ার চেষ্টা করেছি। 2) 'নমুনা' শব্দটি প্রতি সেম্পে নমুনা নয়, এলোমেলো সংখ্যার একটি তালিকা তৈরি করার জন্য এটি একটি ফাংশন। আমরা স্থিরভাবে যে কোনও 20 নম্বর নিতে পারি। সমর্থনকারী আর লিংকটি দেখুন এখানে stackoverflow.com/questions/17773080/…

— মোঃ তৌহিদুল ইসলাম