পর্যবেক্ষণিত তথ্য ম্যাট্রিক্স প্রত্যাশিত তথ্য ম্যাট্রিক্সের একটি ধারাবাহিক অনুমানকারী?

Question

আমি প্রমাণ করার চেষ্টা করছি যে দুর্বলভাবে সামঞ্জস্যপূর্ণ সর্বাধিক সম্ভাবনা অনুমানকারী (এমএলই) এ মূল্যায়ন করা তথ্য ম্যাট্রিক্স প্রত্যাশিত তথ্য ম্যাট্রিক্সের একটি দুর্বলভাবে সামঞ্জস্যপূর্ণ অনুমানকারী। এটি একটি বিস্তৃত উদ্ধৃত ফলাফল তবে কেউ রেফারেন্স বা প্রমাণ দেয় না (আমি ক্লান্ত হয়ে পড়েছি গুগলের ফলাফলের প্রথম 20 পৃষ্ঠা এবং আমার পরিসংখ্যানের পাঠ্যপুস্তক) আমি মনে করি!

এমএলইসের দুর্বল ধারাবাহিক ধারাটি ব্যবহার করে আমি যে ফলাফল পেতে চাই তার জন্য আমি প্রচুর সংখ্যার দুর্বল আইন (ডাব্লুএলএলএন) এবং অবিচ্ছিন্ন ম্যাপিং উপপাদ ব্যবহার করতে পারি। তবে আমি বিশ্বাস করি অবিচ্ছিন্ন ম্যাপিং উপপাদ্য ব্যবহার করা যাবে না। পরিবর্তে আমি মনে করি প্রচুর সংখ্যার অভিন্ন আইন (ইউএলএলএন) ব্যবহার করা দরকার। এর প্রমাণ আছে এমন কোনও রেফারেন্স সম্পর্কে কি কেউ জানেন? আমি ইউএলএলএন-তে চেষ্টা করেছি তবে ব্র্যাভিটির জন্য এটি আপাতত বাদ দিচ্ছি।

আমি এই প্রশ্নের দৈর্ঘ্যের জন্য ক্ষমা চাইছি তবে স্বরলিপিটি প্রবর্তন করতে হবে। স্বরলিপিটি হ'ল লোকেরা (আমার প্রমাণটি শেষের দিকে)।

ধরে আমরা র্যান্ডম ভেরিয়েবল একটি IID নমুনা আছে $\{Y_1,\ldots,Y_N\}$ ঘনত্বের সঙ্গে , যেখানে (এখানে নমুনার সদস্যদের যে কোনও একটির মতো একই ঘনত্বের সাথে একটি সাধারণ র্যান্ডম ভেরিয়েবল)। ভেক্টর all সমস্ত নমুনা ভেক্টরের ভেক্টর যেখানে Y i ∈ R n সমস্ত i = 1 , … , N এর জন্য । ঘনত্বগুলির আসল প্যারামিটার মান θ θ$f(\tilde{Y}|\theta)$$\theta\in\Theta\subseteq\mathbb{R}^{k}$$\tilde{Y}$$Y=(Y_1,\ldots,Y_N)^{T}$$Y_{i}\in\mathbb{R}^{n}$$i=1,\ldots,N$$\theta_{0}$ , এবং θ এন (ওয়াই)এর স্বাস্থ্যহীন সামঞ্জস্যপূর্ণ সর্বোচ্চ সম্ভাবনা মূল্নির্ধারক (MLE) হল θ 0 । নিয়মিততার শর্ত সাপেক্ষে ফিশার ইনফরমেশন ম্যাট্রিক্স হিসাবে লেখা যেতে পারে$\hat{\theta}_{N}(Y)$$\theta_{0}$

$$I(\theta)=-E_\theta \left[H_{\theta}(\log f(\tilde{Y}|\theta)\right]$$

যেখানে ${H}_{\theta}$ চট ম্যাট্রিক্স হয়। নমুনা সমতুল্য হয়

$$I_N(\theta)=\sum_{i=1}^N I_{y_i}(\theta),$$

যেখানে $I_{y_i}=-E_\theta \left[H_{\theta}(\log f(Y_{i}|\theta)\right]$ । পর্যবেক্ষণ করা তথ্য ম্যাট্রিক্স;

$J(\theta) = -H_\theta(\log f(y|\theta)$ ,

(কিছু লোক দাবি ম্যাট্রিক্স এ মূল্যায়ন করা হয় θ কিন্তু কিছু না)। নমুনা পর্যবেক্ষণ তথ্য ম্যাট্রিক্স হয়;$\hat{\theta}$

$J_N(\theta)=\sum_{i=1}^N J_{y_i}(\theta)$

যেখানে $J_{y_i}(\theta)=-H_\theta(\log f(y_{i}|\theta)$ ।

আমি মূল্নির্ধারক সম্ভাবনা মধ্যে অভিসৃতি প্রমাণ করতে পারেন $N^{-1}J_N(\theta)$ থেকে $I(\theta)$ কিন্তু নয় $N^{-1}J_{N}(\hat{\theta}_N(Y))$ থেকে $I(\theta_{0})$ । এখানে এখন পর্যন্ত আমার প্রমাণ;

এখন $(J_{N}(\theta))_{rs}=-\sum_{i=1}^N (H_\theta(\log f(Y_i|\theta))_{rs}$ উপাদান $(r,s)$ এর $J_N(\theta)$ , কোন $r,s=1,\ldots,k$. If the sample is iid, then by the weak law of large numbers (WLLN), the average of these summands converges in probability to $-E_{\theta}[(H_\theta(\log f(Y_{1}|\theta))_{rs}]=(I_{Y_1}(\theta))_{rs}=(I(\theta))_{rs}$. Thus $N^{-1}(J_N(\theta))_{rs}\overset{P}{\rightarrow}(I(\theta))_{rs}$ for all $r,s=1,\ldots,k$, and so $N^{-1}J_N(\theta)\overset{P}{\rightarrow}I(\theta)$. Unfortunately we cannot simply conclude $N^{-1}J_{N}(\hat{\theta}_N(Y))\overset{P}{\rightarrow}I(\theta_0)$ by using the continuous mapping theorem since $N^{-1}J_{N}(\cdot)$ is not the same function as $I(\cdot)$.

Any help on this would be greatly appreciated.

Comments

Related: Convergence rate of empirical Fisher information matrix.

does my answer below address answer your question?

— Dapz

@Dapz Please accept my sincerest apologies for not replying to you until now - I made the mistake of assuming nobody would answer. Thank-you for your answer below - I have upvoted it since I can see it is most useful, however I need to spend a little time considering it. Thank-you for your time, and I will reply to your post below soon.

— dandar

Answer 1

$\newcommand{\convp}{\stackrel{P}{\longrightarrow}}$

I guess directly establishing some sort of uniform law of large numbers is one possible approach.

Here is another.

We want to show that $\frac{J^N(\theta_{MLE})}{N} \convp I(\theta^*)$.

(As you said, we have by the WLLN that $\frac{J^N(\theta)}{N} \convp I(\theta)$. But this doesn't directly help us.)

One possible strategy is to show that

$$|I(\theta^*) - \frac{J^N(\theta^*)}{N}| \convp 0.$$

and

$$|\frac{J^N(\theta_{MLE})}{N} - \frac{J^N(\theta^*)}{N}| \convp 0$$

If both of the results are true, then we can combine them to get

$$|I(\theta^*) - \frac{J^N(\theta_{MLE})}{N}| \convp 0,$$

which is exactly what we want to show.

The first equation follows from the weak law of large numbers.

The second almost follows from the continuous mapping theorem, but unfortunately our function $g()$ that we want to apply the CMT to changes with $N$: our $g$ is really $g_N(\theta) := \frac{J^N(\theta)}{N}$. So we cannot use the CMT.

(Comment: If you examine the proof of the CMT on Wikipedia, notice that the set $B_\delta$ they define in their proof for us now also depends on $n$. We essentially need some sort of equicontinuity at $\theta^*$ over our functions $g_N(\theta)$.)

Fortunately, if you assume that the family $\mathcal{G} = \{g_N | N=1,2,\ldots\}$ is stochastically equicontinuous at $\theta^*$, then it immediately follows that for $\theta_{MLE} \convp \theta^*$,

$$\begin{align*} |g_n(\theta_{MLE}) - g_n(\theta^*)| \convp 0. \end{align*}$$

(See here: http://www.cs.berkeley.edu/~jordan/courses/210B-spring07/lectures/stat210b_lecture_12.pdf for a definition of stochastic equicontinuity at $\theta^*$, and a proof of the above fact.)

Therefore, assuming that $\mathcal{G}$ is SE at $\theta^*$, your desired result holds true and the empirical Fisher information converges to the population Fisher information.

Now, the key question of course is, what sort of conditions do you need to impose on $\mathcal{G}$ to get SE? It looks like one way to do this is to establish a Lipshitz condition on the entire class of functions $\mathcal{G}$ (see here: http://econ.duke.edu/uploads/media_items/uniform-convergence-and-stochastic-equicontinuity.original.pdf ).

Answer 2

The answer above using stochastic equicontinuity works very well, but here I am answering my own question by using a uniform law of large numbers to show that the observed information matrix is a strongly consistent estimator of the information matrix , i.e. $N^{-1}J_{N}(\hat{\theta}_{N}(Y))\overset{a.s.}{\longrightarrow}I(\theta_{0})$ if we plug-in a strongly consistent sequence of estimators. I hope it is correct in all details.

We will use $I_{N}=\{1,2,...,N\}$ to be an index set, and let us temporarily adopt the notation $J(\tilde{Y},\theta):=J(\theta)$ in order to be explicit about the dependence of $J(\theta)$ on the random vector $\tilde{Y}$. We shall also work elementwise with $(J(\tilde{Y},\theta))_{rs}$ and $(J_{N}(\theta))_{rs}=\sum\nolimits_{i=1}^{N}(J(Y_{i},\theta))_{rs}$, $r,s=1,...,k$, for this discussion. The function $(J(\cdot,\theta))_{rs}$ is real-valued on the set $\mathbb{R}^{n}\times\Theta^{\circ}$, and we will suppose that it is Lebesgue measurable for every $\theta\in\Theta^{\circ}$. A uniform (strong) law of large numbers defines a set of conditions under which

$\underset{\theta\in\Theta}{\text{sup}}\left|N^{-1}(J_{N}(\theta))_{rs}-E_{\theta}\left[(J(Y_{1},\theta))_{rs}\right]\right|=\nonumber\\ \hspace{60pt}\underset{\theta\in\Theta}{\text{sup}}\left|N^{-1}\sum\nolimits_{i=1}^{N}(J(Y_{i},\theta))_{rs}-(I(\theta))_{rs}\right|\overset{a.s}{\longrightarrow}0\hspace{100pt}(1)$

The conditions that must be satisfied in order that (1) holds are (a) $\Theta^{\circ}$ is a compact set; (b) $(J(\tilde{Y},\theta))_{rs}$ is a continuous function on $\Theta^{\circ}$ with probability 1; (c) for each $\theta\in \Theta^{\circ}$ $(J(\tilde{Y},\theta))_{rs}$ is dominated by a function $h(\tilde{Y})$, i.e. $|(J(\tilde{Y},\theta))_{rs}|<h(\tilde{Y})$; and (d) for each $\theta\in \Theta^{\circ}$ $E_{\theta}[h(\tilde{Y})]<\infty$;. These conditions come from Jennrich (1969, Theorem 2).

Now for any $y_{i}\in\mathbb{R}^{n}$, $i\in I_{N}$ and $\theta'\in S\subseteq\Theta^{\circ}$, the following inequality obviously holds

$\left|N^{-1}\sum\nolimits_{i=1}^{N}(J(y_{i},\theta'))_{rs}-(I(\theta'))_{rs}\right|\leq\underset{\theta\in S}{\text{sup}}\left|N^{-1}\sum\nolimits_{i=1}^{N}(J(y_{i},\theta))_{rs}-(I(\theta))_{rs}\right|.\hspace{50pt}(2)$

Suppose that $\{\hat{\theta}_{N}(Y)\}$ is a strongly consistent sequence of estimators for $\theta_{0}$, and let $\Theta_{N_{1}}=B_{\delta_{N_{1}}}(\theta_{0})\subseteq K\subseteq \Theta^{\circ}$ be an open ball in $\mathbb{R}^{k}$ with radius $\delta_{N_{1}}\rightarrow 0$ as $N_{1}\rightarrow\infty$, and suppose $K$ is compact. Then since $\hat{\theta}_{N}(Y)\in \Theta_{N_{1}}$ for $N$ sufficiently large enough we have $P[\underset{N}{\text{lim}}\{\hat{\theta}_{N}(Y)\in\Theta_{N_{1}}\}]=1$ for sufficiently large $N$. Together with (2) this implies

$P\left[\underset{N\rightarrow\infty}{\text{lim}}\left\{\left|N^{-1}\sum\nolimits_{i=1}^{N}(J(Y_{i},\hat{\theta}_{N}(Y)))_{rs}-(I(\hat{\theta}_{N}(Y)))_{rs}\right|\leq\right.\right.\nonumber\\ \hspace{40pt}\left.\left.\underset{\theta\in\Theta_{N_{1}}}{\text{sup}}\left|N^{-1}\sum\nolimits_{i=1}^{N}(J(Y_{i},\theta))_{rs}-(I(\theta))_{rs}\right|\right\}\right]=1.\hspace{100pt}(3)$

Now $\Theta_{N_{1}}\subseteq\Theta^{\circ}$ implies conditions (a)-(d) of Jennrich (1969, Theorem 2) apply to $\Theta_{N_{1}}$. Thus (1) and (3) imply

$P\left[\underset{N\rightarrow\infty}{\text{lim}}\left\{\left|N^{-1}\sum\nolimits_{i=1}^{N}(J(Y_{i},\hat{\theta}_{N}(Y)))_{rs}-(I(\hat{\theta}_{N}(Y)))_{rs}\right|=0\right\}\right]=1.\hspace{100pt}(4)$

Since $(I(\hat{\theta}_{N}(Y)))_{rs}\overset{a.s.}{\longrightarrow}I(\theta_{0})$ then (4) implies that $N^{-1}(J_{N}(\hat{\theta}_{N}(Y)))_{rs}\overset{a.s.}{\longrightarrow}(I(\theta_{0}))_{rs}$. Note that (3) holds however small $\Theta_{N_{1}}$ is, and so the result in (4) is independent of the choice of $N_{1}$ other than $N_{1}$ must be chosen such that $\Theta_{N_{1}}\subseteq \Theta^{\circ}$. This result holds for all $r,s=1,...,k$, and so in terms of matrices we have $N^{-1}J_{N}(\hat{\theta}_{N}(Y))\overset{a.s.}{\longrightarrow}I(\theta_{0})$.