কীভাবে কোনও ভাষা নিয়মিত প্রমাণ করবেন?


48

অনেক পদ্ধতি প্রমাণ করতে হবে যে হয় একটি ভাষা নিয়মিত নয় , কিন্তু কি আমি প্রমাণ করতে হবে যে কিছু ভাষা যা করতে হবে না হয় নিয়মিত?

উদাহরণস্বরূপ, যদি আমাকে দেওয়া হয় যে নিয়মিত, তবে আমি কীভাবে প্রমাণ করতে পারি যে নীচের খুব নিয়মিত?এল LL

L:={wL:uv=w for uΣL and vΣ+}

আমি এটি প্রমাণ করতে একটি ননডেটেরিনিস্টিক সসীম অটোমেটন আঁকতে পারি?


1
সেখানে আপনার সংজ্ঞা একটি টাইপো এর L , ফিক্স করতে দয়া করে সম্পাদনা করুন।
রণ জি।

2
"অঙ্কন" কোনও প্রমাণ নয়; আপনাকে একটি এনএফএ দিতে হবে এবং প্রমাণ করতে হবে এটি ভাষা গ্রহণ করে।
রাফায়েল

আমি মনে করি ভাষার সংজ্ঞাটি এখনও বোঝায় না ...
hugomg

2
যাইহোক, সুনির্দিষ্ট ভাষা অপ্রাসঙ্গিক যদি প্রশ্নটি হয় "এটি কি নিয়মিত তা প্রমাণ করার জন্য আমি কোনও এনএফএ আঁকতে পারি"? @ কোরিয়াম, আমরা আরও সাধারণ প্রশ্নটি প্রতিফলিত করতে প্রশ্নটি সম্পাদনা করতে পারি: "কীভাবে প্রমাণ করতে হবে যে একটি নির্দিষ্ট L নিয়মিত?"
রণ জি।

উত্তর:


48

হ্যাঁ, আপনি যদি নিচের যে কোনও একটি নিয়ে আসতে পারেন:

কিছু ভাষার জন্য , তারপরে L নিয়মিত। আছে আরো সমতুল্য মডেল , কিন্তু উপরে সবচেয়ে সাধারণ।LL

"গণনা" বিশ্বের বাইরেও দরকারী বৈশিষ্ট্য রয়েছে। নিয়মিত যদি হয়L

  • এটা সীমাবদ্ধ,
  • আপনি নিয়মিত ভাষার উপর নির্দিষ্ট ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করে এটি নির্মাণ করতে পারেন এবং সেই ক্রিয়াকলাপগুলি নিয়মিত ভাষার জন্য যেমন বন্ধ রয়েছে

    • ছেদ,
    • পরিপূর্ণ,
    • homomorphism,
    • উলটাপালটা,
    • বাম- বা ডান-কোয়ান্টিয়েন্ট,
    • নিয়মিত পরিবহন

    এবং আরও , বা

  • মাইহিল – নেরোড উপপাদ ব্যবহার করে যদি জন্য সমমানের শ্রেণীর সংখ্যা সসীম হয়।L

প্রদত্ত উদাহরণে, আমরা কিছু (রেগুলার) langage আছে ভিত্তি হিসেবে এবং একটি ভাষা সম্পর্কে কিছু বলতে চাই এল ' তা থেকে উদ্ভূত। প্রথম পদ্ধতির অনুসরণ করে - এল ′ এর জন্য একটি উপযুক্ত মডেল তৈরি করুন - আমরা এল এর জন্য যেকোনও সমমানের মডেল ধরে নিতে পারি ; এটি অবশ্যই বিমূর্ত থাকবে, যেহেতু এল অজানা। দ্বিতীয় পদ্ধতির, আমরা ব্যবহার করতে পারেন এল সরাসরি শৃঙ্খলা জন্য একটি বিবরণ উতরান করার জন্য এটি অবসান বৈশিষ্ট্য প্রয়োগ এল 'Lএল'এল'এলএলএলএল'


4
এটি লক্ষণীয়ও হতে পারে যে কোনও ভাষা সীমাবদ্ধ তা প্রমাণ করার পক্ষে এটি নিয়মিত দেখানোর পক্ষে যথেষ্ট। এটি দরকারী হতে পারে, বিশেষত কেস দ্বারা গঠনমূলক প্রমাণগুলিতে।
প্যাট্রিক 87

2
প্রোগ্রামিংয়ের ভাষাগুলিতে পাওয়া রেজিএক্সপ নিয়মিত ভাষার চেয়ে আরও অনেক কিছু করতে পারে। আপনাকে "ধ্রুপদী" নির্মাণগুলিতে সীমাবদ্ধ করতে হবে।
ডেভিড লুইস

4
@ ডেভিডলিউইস: এই সাইটে আপনি ধরে নিতে পারেন যে "নিয়মিত প্রকাশ" দ্বারা শাস্ত্রীয় ধারণাটি বোঝানো হয়েছে।
রাফেল

@ ডেভিডলেউইস আমি সম্মত, বিভ্রান্তি এড়াতে তত্ত্বের প্রসঙ্গে "রিজেক্স" এড়ানো উচিত।
রাফেল

মনে রাখবেন যে প্রথম চারটি বুলেটের কোনওটির জন্য আপনার একটি প্রমাণের প্রয়োজন হবে যা দেখায় যে আপনার প্রতিনিধিত্বটি সত্যই সঠিক।
রাফেল

10

প্রাথমিক পদ্ধতি

  1. সীমাবদ্ধ অটোমেটা (সম্ভবত খালি ট্রানজিশন সহ ননডেটেরিমেন্টিক)।
  2. নিয়মিত অভিব্যক্তি.
  3. ডান (বা বাম, তবে উভয়ই নয়) লিনিয়ার সমীকরণ যেমন যেখানে কে এবং এল নিয়মিত থাকেX=KX+LKL
  4. নিয়মিত (টাইপ 3) ব্যাকরণ।
  5. নিয়মিত ভাষা সংরক্ষণের ক্রিয়াকলাপগুলি (বুলিয়ান অপারেশন, পণ্য, তারা, বদল, মোর্ফিজমস, মোর্ফিজের বিপরীতগুলি, বিপরীকরণ ইত্যাদি))
  6. সীমাবদ্ধ মনোয়েড দ্বারা স্বীকৃত।

লজিক্যাল পদ্ধতি (প্রায়শই আনুষ্ঠানিক যাচাইকরণে ব্যবহৃত হয়)

  1. মোনাডিক দ্বিতীয় ক্রমের যুক্তি (বাচির উপপাদ্য)।
  2. লিনিয়ার অস্থায়ী যুক্তি (কাম্পের উপপাদ্য)।
  3. রবিনের গাছের উপপাদ্য (দুটি উত্তরসূরীর সাথে মোনাডিক দ্বিতীয় ক্রমের যুক্তি)। খুব শক্তিশালী.

উন্নত পদ্ধতি

  1. পরিশীলিত পাম্পিং লেমাস। উদাহরণস্বরূপ দেখুন
    [১] জে জেফ, নিয়মিত ভাষার জন্য প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত পাম্পিং লেমা, সিগ্যাক্ট নিউজ - সাইনেক্ট 10 (1978) 48-49।
    [২] উ। এহরনফুচ্ট, আর। পরীখ এবং জি। রোজেনবার্গ, নিয়মিত সেটের জন্য পাম্পিং লিমাস , সিয়াম জে.কম্পুট। 10 (1981), 536-541।
    [3] এস ভারিচ্চিও, নিয়মিত সেটগুলির জন্য একটি পাম্পিং শর্ত, সিয়াম জে.কম্পুট। 26 (1997) 764-771।

  2. অর্ধেক অর্ডার। দেখুন
    [4] ডব্লিউ বুচার এ Ehrenfeucht, ডি Haussler, শিক্ষাদীক্ষা সম্পর্ক দ্বারা উত্পন্ন মোট নিয়ন্ত্রকদের উপর Theor। Comput। সী। 40 (1985) 131–148।
    [৫] এম কুঞ্জ, ভাষা বৈষম্যের নিয়মিত সমাধান এবং ওয়েল কোয়েস-অর্ডার

  3. সমর্থনে -rational সিরিজ।এন

  4. উপর ভিত্তি করে বীজগাণিতিক পদ্ধতি Transductions (দেখুন এছাড়াও অপারেশনস নিয়মিত ভাষায় সংরক্ষণের )।


4

রন জি.র উত্তরগুলি সমতুল্য মডেলগুলির একটি মোটামুটি বিস্তৃত তালিকা দেয় যা নিয়মিত ভাষা নির্দিষ্ট করতে ব্যবহার করা যেতে পারে (এবং তালিকাটি দ্বিমুখী অটোমেটা, এমএসও যুক্তিযুক্ত, তবে এটি 'আরও সমতুল্য মডেলগুলির অধীনে লিঙ্কটি দ্বারা আচ্ছাদিত ')। এবং রাফেল যেমন জোর দিয়েছিলেন, শ্রোতাদের বোঝাতে আমাদের একটি যুক্তি প্রয়োজন যে নির্বাচিত উপস্থাপনাটি সত্যই সঠিক।

প্রশ্নটি পুনর্বিবেচনা করে, এটি 'উদাহরণস্বরূপ ' যোগ করে। মানে আমরা একটি বৈধ দিতে হবে যে নির্মাণ যে, উপরোক্ত মডেলের কোনো আমরা ভাষা নির্দিষ্ট অনুমান এল , দেখা যাচ্ছে যে জন্য এক মধ্যে মডেল এল ' । সাধারণত মডেলের একই ধরনের হবে, কিন্তু প্রয়োজন নাও হতে: আমরা উদাহরণ জন্য একটি নির্ণায়ক এফএসএ দিয়ে শুরু করতে পারেন এল এবং জন্য একটি nondeterminitic এক সঙ্গে শেষ এল '...এলএল'এলএল'

উদাহরণে স্পষ্টভাবে দেওয়া অপারেশনে আমরা আছে এই ব্যবহারের অবসান অপারেশন সম্ভাবনা রয়েছে এল'=(Σ*এল)Σ*

সুতরাং, আমার বক্তব্যটি উত্তরটি দুর্দান্ত, তবে স্ক্র্যাচ থেকে কোনও নির্দিষ্ট ভাষা তৈরি না করে আমাদের " থেকে এল নির্মাণ" যুক্ত করা উচিত ।এলএল'


1
আপনি কী পাচ্ছেন তা আমি নিশ্চিত নই। আমার কাছে জন্য কিছু মডেল থাকলে আমি এটিকে অন্য সমতুল্য যে কোনও একটিতে রূপান্তর করতে পারি। এল'
রাফায়েল

@ রাফেল দুঃখিত দুঃখিত আমি আমার বক্তব্য রেখেছি। পূর্ববর্তী উত্তরগুলি ব্যাখ্যা করে বলে মনে হচ্ছে আমরা ভাষার বিবরণ (স্বয়ংক্রিয়করণ, ক্রিয়াকলাপ ইত্যাদি) তৈরি করতে পারি। আমি রাজী. তবে, প্রশ্নটি ক্লোজার সম্পত্তি সম্পর্কিত বলে মনে হচ্ছে, দেওয়া উদাহরণটি দেখুন। আমি অন্য উত্তরগুলিতে হারিয়ে যাচ্ছি: একটি ক্লোজার সম্পত্তি প্রমাণ করার জন্য আপনি ধরে নিচ্ছেন যে আপনার বিবরণ রয়েছে এবং একটি নতুন তৈরি করুন।
হেন্ডরিক জানুয়ারী

1
আহ, এই ! এখন আমি এটি পেয়েছি, আমার খারাপ। আমি সম্মত, এই দিকটি রানের উত্তর থেকে অনুপস্থিত। এল'
রাফেল

1
আমি নিশ্চিত না কেন এটি অনুপস্থিত (বা ঠিক কী অনুপস্থিত)। বলুন আপনি একটি নিয়মিত আছে , এবং আপনি প্রমাণ করতে চান এল তোমাদের সঙ্গে শুরু করতে পারেন হিসাবে ভাল নিয়মিত হয় এল ' এর DFA তে এবং এটি ব্যবহারের জন্য একটি DFA তে গঠন করা এল । কিন্তু এই "এর জন্য একটি DFA তে গঠন করা আওতায় পড়ে এল " .. ব্যবহার কোন সীমাবদ্ধতা আছে এল ' যে কাজের জন্য যন্ত্রমানব (এবং স্বাভাবিকভাবেই, যদি এল মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত করা হয় এল ' আপনাকে ব্যবহার বাধ্য হবে এল ' এর যন্ত্রমানব ..) । একইটি রেজিএক্সএক্স, ক্লোজার, ব্যাকরণ ইত্যাদির জন্য যায়এল'এলএল'এলএলএল'এলএল'এল'
রান জি।

1
ওহ ঠিক আছে. আসলে, আমি বরং প্রশ্নটি সম্পাদনা করব এবং "উদাহরণস্বরূপ" অংশটি সরিয়ে ফেলব, এভাবে প্রশ্নটিকে আরও সাধারণ করা হবে এবং ভবিষ্যতের অনুরূপ প্রশ্নের জন্য একটি রেফারেন্স তৈরি করা হবে .. (:
রান জি।

4

মাঝেমধ্যে আপনি "সমস্ত স্ট্রিং নিদিষ্ট একটি ভাষা সম্মুখীন হবে যেখানে প্রত্যেক এর -element সাবস্ট্রিং গুলি সন্তুষ্ট , যেখানে" কিছু সংশোধন করা হয়েছে ধ্রুবক। সেক্ষেত্রে ভাষা নিয়মিত হবে। এই ধারণাটি হ'ল একটি সীমাবদ্ধ অটোমেটন সংজ্ঞায়িত করা যার কিছু রাজ্য এই প্রশ্নের উত্তরের হিসাবে সর্বাধিক দেখা কে- ইনপুট চিহ্নগুলিকে "মনে রাখবে" ।sks<some property>kk


4

উপরের উত্তরগুলির দ্বারা কভার করা হয়নি এমন অন্য একটি পদ্ধতি হ'ল সসীম অটোমেটনের রূপান্তর । একটি সাধারণ উদাহরণ হিসাবে, আসুন দেখান যে নিয়মিত ভাষাগুলি শফল অপারেশনের অধীনে নীচে সংজ্ঞায়িত করা বন্ধ রয়েছে :

এল1এসএল2={এক্স1Y1...এক্সএনYএনΣ*:এক্স1...এক্সএনএল1,Y1...Yএনএল2}
আপনি ক্লোজারের বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে শাফলের অধীনে বন্ধ দেখতে পারেন তবে আপনি এটি সরাসরি ডিএফএ ব্যবহার করেও প্রদর্শন করতে পারেন can যে ধরুন যে গ্রহণ করে একটি DFA তে হয় এল আমি (জন্য আমি = 1 , 2 )। আমরা একটি নতুন DFA তে গঠন করা Σ , প্রশ্ন , এফ , δ , কুই 0 নিম্নরূপ:একজনআমি=Σ,প্রশ্নঃআমি,এফআমি,δআমি,কুই0আমিএলআমিআমি=1,2Σ,প্রশ্নঃ,এফ,δ,কুই0
  • রাজ্যের সেট , যেখানে তৃতীয় উপাদান স্মরণ কিনা পরবর্তী প্রতীক একটি হল এক্স আমি (যখন 1) বা Y আমি (যখন 2)।Q1×Q2×{1,2}xiyi
  • প্রাথমিক রাষ্ট্র q0=q01,q02,1
  • গ্রহণ রাজ্য F=F1×F2×{1}
  • ট্রানজিশন ফাংশন দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং δ ( কুই 1 , কুই 2 , 2 , σ ) = কুই 1 , δ 2 ( কুই 2 , σδ(q1,q2,1,σ)=δ1(q1,σ),q2,2δ(q1,q2,2,σ)=q1,δ2(q2,σ),1

এই পদ্ধতির আরও পরিশীলিত সংস্করণে অনুমান করা জড়িত । উদাহরণস্বরূপ, আমাদের দেখায় যে নিয়মিত ভাষায় অধীনে বন্ধ করা হয় দিন উলটাপালটা , যে (এখানে ( w 1w n ) আর = ডব্লু এন ... ডাব্লু 1

LR={wR:wΣ}.
(w1wn)R=wnw1।) এটি স্ট্যান্ডার্ড ক্লোজার অপারেশনগুলির মধ্যে একটি, এবং বিপরীতমুখী অধীনে বন্ধটি নিয়মিত এক্সপ্রেশনগুলির হেরফের থেকে সহজেই অনুসরণ করা হয় (যা নিয়মিত অভিব্যক্তিতে সীমাবদ্ধ অটোমেটনের রূপান্তরের প্রতিপক্ষ হিসাবে বিবেচিত হতে পারে) - কেবল নিয়মিত অভিব্যক্তিটি বিপরীত করুন। তবে আপনি এনএফএ ব্যবহার করে বন্ধও প্রমাণ করতে পারেন। যে অনুমান একটি DFA তে দ্বারা গৃহীত Σ , প্রশ্ন , এফ , δ , কুই 0 । আমরা একটি এনএফএ ruct Σ , কিউ , এফ , δ , কিউ 0 const তৈরি করি যেখানেLΣ,Q,F,δ,q0Σ,Q,F,δ,q0
  • রাজ্যের সেট Q=Q{q0}
  • প্রাথমিক রাষ্ট্র q0
  • অনন্য গ্রহণযোগ্য রাষ্ট্রটি হল q0
  • রূপান্তর ফাংশনটি নিম্নরূপে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে: , এবং যে কোনও রাষ্ট্রের জন্য Q Q এবং σ Σ , δ ( q , σ ) = { q : δ ( q , σ ) = q }δ(q0,ϵ)=FqQσΣδ(q,σ)={q:δ(q,σ)=q}

(আমরা পরিত্রাণ পেতে পারেন যদি আমরা একাধিক প্রাথমিক রাজ্যের অনুমতি দেয়।) মনন উপাদান এখানে উলটাপালটা পর শব্দ চূড়ান্ত রাষ্ট্র।q0


অনুমান করা প্রায়শই যাচাই করা জড়িত। একটি সরল উদাহরণ অধীনে অবসান হয় ঘূর্ণন : ধরুন যে এল DFA তে দ্বারা গৃহীত Σ , প্রশ্ন , এফ , δ , কুই 0 । আমরা একটি NFA গঠন করা Σ , প্রশ্ন ' , এফ ' , δ ' , কুই '

R(L)={yxΣ:xyL}.
LΣ,Q,F,δ,q0, অনুসরণ হিসেবে কাজ করে। NFA প্রথম অনুমানকুই=δ(কুই0,এক্স)। এরপরে এটিδ(q,y)Fএবং সেইδ(q0,x)=qযাচাই করেyথেকেxঅ-নির্ধারিতভাবেস্থানান্তরিত করে। এটি নিম্নলিখিত হিসাবে আনুষ্ঠানিকভাবে করা যেতে পারে:Σ,Q,F,δ,q0q=δ(q0,x)δ(q,y)Fδ(q0,x)=qyx
  • রাজ্য । এছাড়াও প্রাথমিক অবস্থায় থেকে কুই ' 0 , রাজ্য কুই , কুই তোমার দর্শন লগ করা , , যেখানে কুই রাষ্ট্র যে আমরা অনুমিত হয়, কুই তোমার দর্শন লগ করা বর্তমান অবস্থা, এবং গুলি করবে কিনা তা নির্দিষ্ট আমরা এ YQ={q0}Q×Q×{1,2}q0q,qcurr,sqqcurrsyইনপুট অংশ (যখন 1) বা ইনপুট এর অংশে (যখন 2)।x
  • চূড়ান্ত রাজ্য : আমরা গ্রহণ যখন δ ( কুই 0 , এক্স ) = QF={q,q,2:qQ}δ(q0,x)=q
  • ট্রানজিশন মনন বাস্তবায়ন কুইδ(q0,ϵ)={q,q,1:qQ}q
  • ট্রানজিশন (প্রতি জন্য কুই , কুই তোমার দর্শন লগ করা প্রশ্ন এবং গুলি { 1 , 2 } ) মূল DFA তে ভান।δ(q,qcurr,s,σ)=q,δ(qcurr,σ),sq,qcurrQs{1,2}
  • ট্রানজিশন , যে জন্য কুই প্রশ্ন এবং কুই এফ , থেকে সরানোর বাস্তবায়ন Y অংশ এক্স অংশ। এটি কেবল তখনই অনুমোদিত হয় যদি আমরা y অংশে একটি চূড়ান্ত অবস্থায় পৌঁছেছি ।δ(q,qf,1,ϵ)=q,q0,2qQqfFyxy

কৌশলটির অন্য একটি রূপটি সীমানাযুক্ত কাউন্টারগুলিকে অন্তর্ভুক্ত করে। উদাহরণস্বরূপ, আমাদের পরিবর্তন বিবেচনা করা যাক সম্পাদন করা দূরত্ব অবসান : একটি DFA তে প্রদত্ত Σ , প্রশ্ন , এফ , δ , কুই 0 জন্য এল , ই গঠন করা একটি NFA Σ , প্রশ্ন '

Ek(L)={xΣ: there exists yL whose edit distance from x is at most k}.
Σ,Q,F,δ,q0L জন্য ( এল ) নিম্নরূপ:Σ,Q,F,δ,q0Ek(L)
  • রাজ্যের সেট হল , যেখানে দ্বিতীয় আইটেমটি এখন পর্যন্ত করা পরিবর্তনগুলির সংখ্যা গণনা করে।Q=Q×{0,,k}
  • প্রাথমিক রাষ্ট্র q0=q0,0
  • গ্রহণ রাজ্য F=F×{0,,k}
  • প্রত্যেক জন্য আমরা ট্রানজিশন আছে δ ( কুই , σ ) , আমি δ ' ( কুই , আমি , σ )q,σ,iδ(q,σ),iδ(q,i,σ)
  • সন্নিবেশ পরিবহন দ্বারা পরিচালনা করা হয় সবার জন্য কুই , σ , আমি যে এই ধরনের আমি < q,i+1δ(q,i,σ)q,σ,ii<k
  • মুছে দেওয়া ট্রানজিশন দ্বারা পরিচালনা করা হয় সবার জন্য কুই , σ , আমি যেমন যে আমি < δ(q,σ),i+1δ(q,i,ϵ)q,σ,ii<k
  • খেলোয়াড় একভাবে পরিবহন দ্বারা হ্যান্ডলগুলি হয় সবার জন্য কুই , σ , τ , আমি যে এই ধরনের আমি < δ(q,σ),i+1δ(q,i,τ)q,σ,τ,ii<k

3

একটি ভাষা নিয়মিত হয় যদি আপনি কোনও স্ক্যানার লিখতে পারেন যা নির্ধারিত পরিমাণের মেমরির চেয়ে বেশি ভাষা ব্যবহার না করে তারা ভাষার অন্তর্ভুক্ত কিনা তা নির্ধারণ করে ar অর্থাৎ ও (1) স্পেসে স্বীকৃতি দেওয়া যেতে পারে ।


ও (1) স্পেস, মানে? যাই হোক না কেন, এটি ডিএফএ যথেষ্ট বলে সত্য দ্বারা আবৃত; প্রোগ্রামিংয়ের ক্ষেত্রে এই সমতাটি স্পষ্টভাবে নোট করা সার্থক হতে পারে।
রাফায়েল

হ্যাঁ, এটি কেবল একটি ভিন্ন দৃষ্টিকোণ।
রিনিয়ারপোস্ট

3

নির্দিষ্ট ক্রিয়াকলাপের অধীনে ক্লোজার প্রমাণের একটি উপায় নিয়মিত প্রকাশের রূপান্তর । দুটি সহজ উদাহরণ হ'ল বিপরীতমুখীকরণের অধীনে বন্ধ হওয়া এবং সমকামীতার অধীনে বন্ধ হওয়া ।

rLLRL

  • ϵR=ϵσR=σR=
  • (r1+r2)R=(r1R+r2R)(r)R=(rR)(r1r2)R=r2Rr1R

(r1r2)R=r2Rr1R(01)R=10rRLR

h:ΣΔrLh(L)σrh(σ)


0

আর একটি উপায় হ'ল অপারেশনগুলির সাহায্যে ভাষা তৈরি করা যা আপনি জানেন যে সেগুলি বন্ধ রয়েছে। এটি নিয়মিত প্রকাশের বহিঃপ্রকাশ, কারণ আপনার আরও অনেক ক্রিয়াকলাপ উপলব্ধ রয়েছে (স্ট্রিংটি বিপরীত করুন, পরিপূরক করুন, ছেদ করুন, টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো


2
রানের উত্তরে এটি ইতিমধ্যে উল্লেখ করা হয়েছে।
রাফেল
আমাদের সাইট ব্যবহার করে, আপনি স্বীকার করেছেন যে আপনি আমাদের কুকি নীতি এবং গোপনীয়তা নীতিটি পড়েছেন এবং বুঝতে পেরেছেন ।
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.