গ্রীষ্মমন্ডলীয় সেমিরিংগুলিতে বহুবর্ষের ভিসি মাত্রা?

$\mathbf{BPP}$ $\mathbf{P}$ $\mathrm{poly}$ $(\max,+)$ $(\min,+)$

সেমিরিং হয়ে উঠুক । এর পলিনোমিয়ালের একটি সিকোয়েন্সের একটি শূন্য-প্যাটার্ন হ'ল একটি উপসেট যার জন্য রয়েছে exist এবং যে সমস্ত , , iff । অর্থাৎ ঠিক সেই polynomials এর গ্রাফ সঙ্গে স্থানে আঘাত আবশ্যক । ( "জিরো প্যাটার্ন" কারণ শর্ত দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে দিন।) $R$ $(f_1,\ldots,f_m)$ $m$ $R[x_1,\ldots,x_n]$ $S\subseteq \{1,\ldots,m\}$ $x\in R^n$ $y\in R$ $i=1,\ldots,m$ $f_i(x)= y$ $i\in S$ $f_i$ $i\in S$ $(x,y)\in R^{n+1}$ $f_i(x)=y$ $f_i(x)-y=0$ $Z(m)$ একটি ক্রম শূন্য প্যাটার্নের সর্বাধিক সম্ভাব্য সংখ্যা = সর্বাধিক ডিগ্রী polynomials । সুতরাং, । Vapnik-Chervonenkis মাত্রা ডিগ্রী polynomials হয় । $m$ $d$ $0\leq Z(m)\leq 2^m$ $d$ $VC(n,d) := \max\{m\colon Z(m)=2^m\}$

মন্তব্য: সাধারণত, ভিসি মাত্রাটি একটি পরিবারের ${\cal F}$ sets সেটগুলির জন্য সবচেয়ে বড় কার্ডিনালিটি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় $|S|$ একটি সেট $S$ যেমন যে $\{F\cap S\colon F\in{\cal F}\}=2^S$ । এই ফ্রেমটি মধ্যে মাপসই করা করার জন্য, আমরা যে যুগল সঙ্গে সংযুক্ত করতে পারেন $(x,y)\in R^{n+1}$ সেট $F_{x,y}$ সব polynomials এর $f$ ডিগ্রী $\leq d$ যার জন্য $f(x)=y$ হোল্ড তারপর পরিবারের ভিসি মাত্রা ${\cal F}$ এমন সব সেট $F_{x,y}$ ঠিক $VC(n,d)$ ।

উপর একটি তুচ্ছ উপরের আবদ্ধ $m=VC(n,d)$ হ'ল $m\leq n\log |R|$ ( সমস্ত সম্ভাব্য নিদর্শন পেতে আমাদের কমপক্ষে $2^m$ স্বতন্ত্র ভ্যাক্টর but তবে এটি অসীম সেমরিংগুলিতে অকেজো। ভিসি ডাইমেনশনে ভাল উপরের সীমানা পেতে, আমাদের উপরের ভাল সীমানা দরকার । ক্ষেত্রগুলি ওভার , যেমন সীমা পরিচিত হয়। $x\in R^n$ $2^m$ $Z(m)$

উপপাদ্য 1: এর বেশী কোনো ক্ষেত্র $R$ , আমরা $Z(m)\leq \binom{md+n}{n}$ ।

মিলানোর , হিন্টজ এবং ওয়ারেনের দ্বারা অনুরূপ উপরের সীমানা প্রমাণিত হয়েছিল ; তাদের প্রমাণগুলি বাস্তব বীজগণিত জ্যামিতি থেকে ভারী কৌশল ব্যবহার করে। বিপরীতে, রোনাই, বাবাই এবং গণপতি দ্বারা থিয়েরেম 1 এর অর্ধ পৃষ্ঠার প্রমাণ (যা আমরা নীচে দিই) লিনিয়ার বীজগণিতের একটি সহজ প্রয়োগ।

ছোট খুঁজছেন দ্বারা 'এর পরিতৃপ্ত , আমরা প্রাপ্ত যে কোন উপর ঝুলিতে ক্ষেত্র । পরিপ্রেক্ষিতে বনাম / এখানে গুরুত্বপূর্ণ মাত্রা শুধুমাত্র হয় লগারিদমিক ডিগ্রী । এটি গুরুত্বপূর্ণ কারণ বহুতল আকারের সার্কিটগুলি তাত্পর্যপূর্ণ ডিগ্রির বহুবচনগুলি গণনা করতে পারে, এবং পিএসি শেখার ক্ষেত্রে হসলারের ফলাফল ( এই কাগজের ১১৪ পৃষ্ঠায় করোলারি ২ ) নিম্নলিখিতটি প্রদান করে (যেখানে আমরা ধরে নিই যে নির্বিচারক সার্কিটগুলি সংখ্যাগরিষ্ঠ ভোটের ব্যবহারের অনুমতি দেয়) তাদের মান আউটপুট)। $m$ $\binom{md+n}{n} < 2^m$ $VC(n,d)=O(n\log d)$ $\mathbf{BPP}$ $\mathbf{P}$ $\mathrm{poly}$ $d$

উপপাদ্য 2: $\mathbf{BPP}\subseteq \mathbf{P}/\mathrm{poly}$ কোনও সেমিরিং উপরের সার্কিটের জন্য ধারণ করে $R$ , যেখানে $VC(n,d)$ কেবল $n$ এবং বহুবর্ষীয় $\log d$ ।

এখানে হসলারের ফলাফলটি উপপাদ্য 2 কে কীভাবে বোঝায় তা এখানে দেখুন ।

বিশেষত, থিয়েরেম 1 এর মাধ্যমে, কোনও ক্ষেত্রকে ধরে রাখে। (আকর্ষণীয় এখানে কেবল অসীম ক্ষেত্রগুলির ক্ষেত্রে: সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রগুলির জন্য, অনেক সহজ যুক্তিগুলি কাজ করে: চেরনোফ তখন কাজটি আবদ্ধ করে)) তবে ক্ষেত্র নয় এমন কি (অসীম) সেমিরিংগুলি কী? ডায়নামিক প্রোগ্রামিং দ্বারা পরিচালিত, আমি মূলত ক্রান্তীয় এবং সেমিরিংগুলিতে আগ্রহী, তবে অন্যান্য "নন-ফিল্ড" (অসীম) সেমিরিংগুলিও আকর্ষণীয়। মনে রাখবেন, যে ওভার semiring, একটি বহুপদী সঙ্গে এবং $\mathbf{BPP}\subseteq \mathbf{P}/\mathrm{poly}$ $(\max,+)$ $(\min,+)$ $(\max,+)$ $f(x)=\sum_{a\in A} c_a\prod_{i=1}^n x_i^{a_i}$ $A\subseteq\mathbb{N}$ $c_a\in \mathbb{R}$ , ; ডিগ্রী (গতানুগতিক হিসাবে) এর সর্বোচ্চ সর্বাঙ্গে । $f(x)=\max_{a\in A}\ \{c_a+a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n\}$ $f$ $a_1+\cdots+a_n$ $a\in A$

প্রশ্ন: ডিগ্রী ভিসি মাত্রা Is polynomials উপর গ্রীষ্মমন্ডলীয় semirings মধ্যে বহুপদী ? $\leq d$ $n\log d$

আমি স্বীকার করি, দ্রুত উত্তর আশা করা এটি একটি কঠিন প্রশ্ন হতে পারে: ক্রান্তীয় বীজগণিত বরং "পাগল"। তবে সম্ভবত কারও কারও সম্পর্কে কিছু ধারণা রয়েছে যে কেন (যদি থাকে) ক্রান্তীয় বহুবর্ষগুলি বাস্তব বহুত্বের চেয়ে শূন্য-নিদর্শন তৈরি করতে পারে? বা কেন তাদের "উচিত নয়"? বা সম্পর্কিত কিছু রেফারেন্স।

বা, সম্ভবত, বাবাই, রোনাই এবং গণপতি (নীচে) এর প্রমাণটি গ্রীষ্মমন্ডলীয় সেমিরিংয়ের জন্য কোনওভাবে "বাঁকা" হতে পারে? অথবা অন্য কোনও অসীম সেমিরিংয়ের (যা ক্ষেত্র নয়)?

উপপাদ্য 1 এর প্রমাণ: ধরুন যে একটি অনুক্রমের এর বিভিন্ন শূন্য-নিদর্শন রয়েছে এই শূন্য-নিদর্শনগুলির সাক্ষী হতে দিন। যাক শূন্য প্যাটার্ন দ্বারা সাক্ষী হতে -th ভেক্টর , এবং বিবেচনা polynomials । আমরা দাবি করি যে এই বহুবর্ষগুলি আমাদের ক্ষেত্রের তুলনায় রৈখিকভাবে স্বতন্ত্র। এই দাবিটি তাত্ত্বিকতার প্রমাণটি সম্পূর্ণ করে যেহেতু প্রতিটি তে সর্বাধিক এবং সর্বাধিক ডিগ্রি পলিনোমিয়ালের স্পেসের মাত্রা হ'ল $(f_1,\ldots,f_m)$ $p$ $v_1,\ldots,v_p\in R^n$ $S_i=\{k\colon f_k(v_i)\neq 0\}$ $i$ $v_i$ $g_i:=\prod_{k\in S_i}f_k$ $g_i$ $D:=md$ $D$ $\binom{n+D}{D}$ । দাবি প্রমাণ করার জন্য, এটা যে খেয়াল করা যথেষ্ট যদি এবং কেবল যদি । অনুমান করুন যে এর লিনিয়ার সম্পর্ক বিদ্যমান। যেমন একটি সাবস্ক্রিপ্ট হতে দিন মধ্যে সহ ন্যূনতম । সম্পর্কে বিকল্প প্রতিস্থাপন । যদিও , আমাদের কাছে সমস্ত , একটি বৈপরীত্য। $g_i(v_j)\neq 0$ $S_i\subseteq S_j$ $\lambda_1 g_i(x)+\cdots+\lambda_p g_p(x)=0$ $j$ $|S_j|$ $S_i$ $\lambda_i\neq 0$ $v_j$ $\lambda_jg_j(v_j)\neq 0$ $\lambda_ig_i(v_j)=0$ $i\neq j$ $\Box$

— Stasys
সূত্র

আমি বুঝতে পেরেছি যে আমার প্রশ্নের উত্তরটি হ্যাঁ: যে কোনও গ্রীষ্মমন্ডলীয় সেমিরিংয়ের উপর ভেরিয়েবলের উপর ডিগ্রি পলিনোমিয়ালের ভিসি মাত্রা সর্বাধিক ধ্রুবক সময় । এটি উপরের উপপাদ্য 1 ব্যবহার করে দেখানো যেতে পারে। বিশদ জন্য এখানে দেখুন । সুতরাং, বিপিপি পি / পলি হ'ল গ্রীষ্মমন্ডলীয় সার্কিটগুলির জন্য এবং তাই "খাঁটি" গতিশীল প্রোগ্রামিং অ্যালগরিদমের জন্যও। $\leq d$ $n$ $n^2\log(n+d)$ $\subseteq$

বিশেষ দ্রষ্টব্য (যোগ 25.06.2019) গড় সময়, আমি সমস্যা সমাধান করে থাকেন সম্পূর্ণরূপে মধ্যে এই কাগজ । এমন সাধারণতায়, যা আমি প্রথম দিকে স্বপ্নেও দেখিনি। গ্রীষ্মমন্ডলীয় কেস এখানে একটি খুব খুব খুব বিশেষ কেস। এবং আরও কৌতূহলপূর্ণভাবে: ইতিমধ্যে অন্যান্য লেখকের ফলাফল (যে কোনও ক্ষেত্রে গভীর) ফলাফলগুলির একটি উপযুক্ত সমন্বয় দ্বারা।

এই (বিপিপি বনাম পি / পলি) দিক দিয়ে আর কী করার আছে? ফলাফল নির্ধারণকারী সার্কিটগুলির আকার হ্রাস ছাড়াও (নিজেই একটি আকর্ষণীয় প্রশ্ন)।

— Stasys
সূত্র