আমি পাইথন 3 এ একটি পশ্চাৎপদ-অউলার সলভার প্রয়োগ করেছি (ছদ্মবেশী ব্যবহার করে)। আমার নিজের সুবিধার্থে এবং অনুশীলনের হিসাবে আমি একটি ছোট ফাংশনও লিখেছি যা গ্রেডিয়েন্টের একটি সীমাবদ্ধ পার্থক্য অনুমানের গণনা করে যাতে আমাকে সর্বদা বিশ্লেষণাত্মকভাবে জ্যাকবীয় নির্ধারণ করতে হয় না (যদি এটি এমনকি সম্ভব হয়!)।
আসচের এবং পেটজোল্ড 1998-এ প্রদত্ত বিবরণগুলি ব্যবহার করে , আমি এই ফাংশনটি লিখেছি যা একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে গ্রেডিয়েন্ট নির্ধারণ করে:
def jacobian(f,x,d=4):
'''computes the gradient (Jacobian) at a point for a multivariate function.
f: function for which the gradient is to be computed
x: position vector of the point for which the gradient is to be computed
d: parameter to determine perturbation value eps, where eps = 10^(-d).
See Ascher und Petzold 1998 p.54'''
x = x.astype(np.float64,copy=False)
n = np.size(x)
t = 1 # Placeholder for the time step
jac = np.zeros([n,n])
eps = 10**(-d)
for j in np.arange(0,n):
yhat = x.copy()
ytilde = x.copy()
yhat[j] = yhat[j]+eps
ytilde[j] = ytilde[j]-eps
jac[:,j] = 1/(2*eps)*(f(t,yhat)-f(t,ytilde))
return jac
আমি দুলটির জন্য বহুবিধ ফাংশন গ্রহণ করে এবং বিভিন্ন পয়েন্টের জন্য সংখ্যাগতভাবে নির্ধারিত গ্রেডিয়েন্টের সাথে প্রতীকী জ্যাকবিয়ানকে তুলনা করে এই ফাংশনটি পরীক্ষা করেছি। আমি পরীক্ষার ফলাফল নিয়ে সন্তুষ্ট ছিলাম, ত্রুটিটি 1e-10 এর কাছাকাছি ছিল। আমি যখন আনুমানিক জ্যাকবিয়ান ব্যবহার করে দুলের জন্য ওডিই সমাধান করেছি, এটিও খুব ভাল কাজ করেছে; আমি দুজনের মধ্যে কোনও পার্থক্য সনাক্ত করতে পারি না।
তারপরে আমি এটি নীচের পিডিই (1 ডি তে ফিশারের সমীকরণ) দিয়ে পরীক্ষা করার চেষ্টা করেছি:
একটি সীমাবদ্ধ পার্থক্য বিবেচনার ব্যবহার।
নিউটনের পদ্ধতিটি প্রথম টাইমস্টেপে ফুরিয়েছে:
/home/sfbosch/Fisher-Equation.py:40: RuntimeWarning: overflow encountered in multiply
du = (k/(h**2))*np.dot(K,u) + lmbda*(u*(C-u))
./newton.py:31: RuntimeWarning: invalid value encountered in subtract
jac[:,j] = 1/(2*eps)*(f(t,yhut)-f(t,yschlange))
Traceback (most recent call last):
File "/home/sfbosch/Fisher-Equation.py", line 104, in <module>
fisher1d(ts,dt,h,L,k,C,lmbda)
File "/home/sfbosch/Fisher-Equation.py", line 64, in fisher1d
t,xl = euler.implizit(fisherode,ts,u0,dt)
File "./euler.py", line 47, in implizit
yi = nt.newton(g,y,maxiter,tol,Jg)
File "./newton.py", line 54, in newton
dx = la.solve(A,b)
File "/usr/lib64/python3.3/site-packages/scipy/linalg/basic.py", line 73, in solve
a1, b1 = map(np.asarray_chkfinite,(a,b))
File "/usr/lib64/python3.3/site-packages/numpy/lib/function_base.py", line 613, in asarray_chkfinite
"array must not contain infs or NaNs")
ValueError: array must not contain infs or NaNs
এটি বিভিন্ন ইপিএস মানগুলির জন্য ঘটে তবে আশ্চর্যের বিষয় হল, কেবলমাত্র যখন PDE স্থানিক পদক্ষেপের আকার এবং সময় ধাপের আকার সেট করা থাকে যাতে কুরিয়ান্ট – ফ্রেডরিচস – লেউই শর্তটি পূরণ হয় না। অন্যথায় এটি কাজ করে। (ফরোয়ার্ড এলারের সাথে সমাধান করা যদি আপনি এই আচরণটি আশা করতেন!)
সম্পূর্ণতার জন্য, এখানে নিউটন পদ্ধতিটির ফাংশন রয়েছে:
def newton(f,x0,maxiter=160,tol=1e-4,jac=jacobian):
'''Newton's Method.
f: function to be evaluated
x0: initial value for the iteration
maxiter: maximum number of iterations (default 160)
tol: error tolerance (default 1e-4)
jac: the gradient function (Jacobian) where jac(fun,x)'''
x = x0
err = tol + 1
k = 0
t = 1 # Placeholder for the time step
while err > tol and k < maxiter:
A = jac(f,x)
b = -f(t,x)
dx = la.solve(A,b)
x = x + dx
k = k + 1
err = np.linalg.norm(dx)
if k >= maxiter:
print("Maxiter reached. Result may be inaccurate.")
print("k = %d" % k)
return x
(La.solve ফাংশনটি scipy.linalg.solve হয়))
আমি আত্মবিশ্বাসী যে আমার পশ্চাৎ অয়লার বাস্তবায়ন যথাযথ, কারণ আমি এটি জ্যাকবীয়দের জন্য একটি ফাংশন ব্যবহার করে পরীক্ষা করেছি এবং স্থিতিশীল ফলাফল পাচ্ছি।
আমি ডিবাগারে দেখতে পাচ্ছি যে নিউটন () ত্রুটি হওয়ার আগে 35 টি পুনরাবৃত্তি পরিচালনা করে। আমি চেষ্টা করেছি এমন প্রতিটি প্রতিবেদনের জন্য এই সংখ্যাটি একই থাকবে।
একটি অতিরিক্ত পর্যবেক্ষণ: আমি যখন এফডিএর সাথে গ্রেডিয়েন্ট এবং প্রাথমিক ফাংশনটিকে ইনপুট হিসাবে ব্যবহার করে একটি গতি অঙ্ক করি এবং অ্যাপসিলনের আকারের পরিবর্তনের সময় দু'টির তুলনা করি, তখন ত্রুটিটি এপিসিলন সঙ্কুচিত হওয়ার সাথে সাথে বেড়ে যায়। আমি আশা করব এটি প্রথমে বড় হবে, তারপরে আরও ছোট হবে, আবার অ্যাপসিলন সঙ্কুচিত হওয়ার সাথে সাথে আরও বড় হবে। সুতরাং আমার জ্যাকবিয়ান বাস্তবায়নের ক্ষেত্রে একটি ত্রুটি যুক্তিসঙ্গত অনুমান, তবে যদি তা হয় তবে এটি এত সূক্ষ্ম যে আমি এটি দেখতে অক্ষম। সম্পাদনা: আমি কেন্দ্রীয় পার্থক্যের পরিবর্তে সাময়িকভাবে জ্যাকোবিয়ান () ব্যবহার করার জন্য পরিবর্তন করেছি এবং এখন আমি ত্রুটির প্রত্যাশিত বিকাশ পর্যবেক্ষণ করছি। তবে নিউটন () এখনও রূপান্তর করতে ব্যর্থ। নিউটনের পুনরাবৃত্তিতে dx পর্যবেক্ষণ করে, আমি দেখতে পাচ্ছি যে এটি কেবল বেড়ে ওঠে, এমনকি কোনও ওঠানামাও হয় না: প্রতিটি ধাপে এটি প্রায় দ্বিগুণ (ফ্যাক্টর 1.9) হয়, ক্রমিকটি ক্রমশ বড় হওয়ার সাথে সাথে।
আসকার এবং পেটজোল্ড উল্লেখ করেছেন যে জ্যাকবীয়দের জন্য পার্থক্য আনুমানিকতা সর্বদা ভাল কাজ করে না। সীমাবদ্ধ পার্থক্য সহ একটি আনুমানিক জ্যাকবিয়ান কি নিউটনের পদ্ধতিতে অস্থিতিশীলতার কারণ হতে পারে? বা কারণ অন্য কোথাও? আর কীভাবে আমি এই সমস্যার কাছে যেতে পারি?