-সীমাবদ্ধ উপাদান পদ্ধতির পরিবর্তন যখন ডান হাতের অংশটি কেবল in থাকে (পোয়েসন একন)

আমি জানি যে সন্তুষ্টিতে এর লিনিয়ার সীমাবদ্ধ উপাদানটির সীমাবদ্ধতা সরবরাহ করেছেন যে যথেষ্ট পরিমাণে মসৃণ এবং । $u_h$

Δ u (x) = f (x) in U u (x) = 0 on \partial U

$\Delta u(x)=f(x)\quad\text{in }U\\ u(x)=0\quad\text{on }\partial U$

‖ u - u_{h} ‖_{H_{0}^{1} (U)} \leq C h ‖ f ‖_{L^{2} (U)}

$\|u-u_h\|_{H^1_0(U)}\leq Ch\|f\|_{L^2(U)}$

U

$U$

f \in L^{2} (U)

$f\in L^2(U)$

প্রশ্ন: যদি $f\in H^{-1}(U)\setminus L^2(U)$ , তবে আমাদের কি নিম্নলিখিত অনুমানের অনুমান আছে, যেখানে উভয় পক্ষের মধ্যে একটি সরিয়ে নেওয়া হয়েছে:

‖ u - u_{h} ‖_{L^{2} (U)} \leq C h ‖ f ‖_{H^{- 1} (U)} ?

$\|u-u_{h}\|_{L^2(U)}\leq Ch\|f\|_{H^{-1}(U)}\quad?$

আপনি রেফারেন্স প্রদান করতে পারেন?

চিন্তাভাবনা: যেহেতু আমাদের এখনও $u\in H^1_0(U)$ , তাই রূপান্তর করা সম্ভব হওয়া উচিত $L^2(U)$ । স্বজ্ঞাতভাবে, এটি এমনকি টুকরোগুলি ধ্রুবক ক্রিয়াকলাপগুলির দ্বারা সম্ভব হওয়া উচিত।

— Bananach
সূত্র

আমি মনে করি আপনি এমনকি জন্য for | আপনি এটি ব্রাসে - সীমাবদ্ধ উপাদানগুলিতে যেমন খুঁজে পেতে পারেন।

‖ u - u_{h} ‖_{0} \leq C h ‖ u - u_{h} ‖_{1}

$\|u-u_h\|_0 \leq C h \|u-u_h\|_1$

u \in H^{1}

$u \in H^1$

— 3'17

হ্যাঁ , এটি হ'ল স্ট্যান্ডার্ড অউবিন-নিটশে (বা দ্বৈতত্ব ) কৌশল। ধারণাটি এই সত্যটি ব্যবহার করে যে এটি একটি অপারেটর আদর্শ হিসাবে -nnorm লেখার জন্য নিজস্ব দ্বৈত স্থান, i ফাই কে লিখেছে আমাদের এভাবে নির্বিচারে for এর জন্য অনুমান করতে হবে । এটি করার জন্য, আমরা দ্বিগুণ সমস্যার এর সমাধান এ স্বেচ্ছাসেবী for এর জন্য প্রথমে বিবেচনা করে কে তে "লিফট" $L^2$ $L^2$

‖ u ‖_{L^{2}} = sup_{ϕ \in L^{2} ∖ {0}} \frac{(u, ϕ)}{‖ ϕ ‖_{L^{2}}} .

$\|u\|_{L^2} = \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{(u,\phi)}{\|\phi\|_{L^2}}.$

(u - u_{h}, ϕ)

$(u-u_h,\phi)$

ϕ \in L^{2}

$\phi\in L^2$

u - u_{h}

$u-u_h$

H_{0}^{1}

$H^1_0$

ϕ \in L^{2}

$\phi\in L^2$

w_{ϕ} \in H_{0}^{1}

$w_\phi\in H^1_0$

\begin{matrix} (1) & (\nabla w_{ϕ}, \nabla v) = (ϕ, v) for all v \in H_{0}^{1} . \end{matrix}

$\label{eq1}\tag{1} (\nabla w_\phi,\nabla v) =(\phi,v) \qquad\text{for all }v\in H^1_0.$ পইসন সমীকরণের মান নিয়মিততা ব্যবহার করে আমরা জানি যে

‖ w_{ϕ} ‖_{H^{2}} \leq C ‖ ϕ ‖_{L^{2}} .

$\|w_\phi\|_{H^2}\leq C \|\phi\|_{L^2}.$

তে সন্নিবেশ করা এবং যে কোনও সীমাবদ্ধ উপাদানটির জন্য অরথোগোনালিটি ব্যবহার করা (আপনার ক্ষেত্রে, অংশবিশেষ লিনিয়ার) অনুমান করে যেহেতু এটি সকল ধরে রাখে , তাই আমরা যদি সমস্ত লিনিয়ার সর্বাধিক বিবেচনা করি তবে বৈষম্যটি এখনও সত্য । আমরা তাই প্রাপ্ত $v=u-u_h\in H^1_0$ $\eqref{eq1}$ $w_h$

\begin{aligned} (ϕ, u - u_{h}) & = (\nabla w_{ϕ}, \nabla (u - u_{h})) \\ = (\nabla w_{ϕ} - \nabla w_{h}, \nabla (u - u_{h})) \\ \leq C ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} ‖ w_{ϕ} - w_{h} ‖_{H^{1}} . \end{aligned}

$\begin{aligned} (\phi,u-u_h) &= (\nabla w_\phi,\nabla (u-u_h))\\ &= (\nabla w_\phi-\nabla w_h,\nabla (u-u_h))\\ &\leq C \|u-u_h\|_{H^1}\|w_\phi-w_h\|_{H^1}. \end{aligned}$

w_{h}

$w_h$

w_{h}

$w_h$

\begin{matrix} (2) & ‖ তোমার দর্শন লগ করা - {তোমার দর্শন লগ করা}_{জ} ‖_{{এল}^{2}} = \underset{φ \in {এল}^{2} ∖ {0}}{অভিজ্ঞতার স্বাস পাত্তয়া} \frac{(তোমার দর্শন লগ করা - {তোমার দর্শন লগ করা}_{জ}, φ)}{‖ φ ‖_{{এল}^{2}}} \leq সি ‖ তোমার দর্শন লগ করা - {তোমার দর্শন লগ করা}_{জ} ‖_{{এইচ}^{1}} \underset{φ \in {এল}^{2} ∖ {0}}{অভিজ্ঞতার স্বাস পাত্তয়া} \frac{\underset{W_{জ}}{INF} ‖ W_{φ} - W_{জ} ‖_{{এইচ}^{1}}}{‖ φ ‖_{{এল}^{2}}} । \end{matrix}

$\label{eq2}\tag{2} \|u-u_h\|_{L^2} = \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{(u-u_h,\phi)}{\|\phi\|_{L^2}} \leq C \|u-u_h\|_{H^1} \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{\inf_{w_h}\|w_\phi-w_h\|_{H^1}}{\|\phi\|_{L^2}}.$ এটি হ'ল আউবিন-নিশচে-লেমমা ।

পরবর্তী পদক্ষেপটি এখন পয়সন সমীকরণের সমাধানের সর্বোত্তম সীমাবদ্ধতার জন্য স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটির প্রাক্কলন ব্যবহার করা। যেহেতু কেবল রয়েছেন তাই আমরা চেয়ে ভাল অনুমান কিন্তু ভাগ্যক্রমে, আমরা সত্য যে ব্যবহার করতে পারেন ডানদিকে যেহেতু উচ্চতর নিয়মানুবর্তিতা হয়েছে পরিবর্তে । এই ক্ষেত্রে, আমাদের ঢোকাতে এবং মধ্যে $u$ $H^1$

\begin{matrix} (3) & ‖ তোমার দর্শন লগ করা - {তোমার দর্শন লগ করা}_{জ} ‖_{{এইচ}^{1}} \leq \underset{{বনাম}_{জ}}{INF} ‖ তোমার দর্শন লগ করা - {বনাম}_{জ} ‖_{{এইচ}^{1}} \leq গ ‖ তোমার দর্শন লগ করা ‖_{{এইচ}^{1}} \leq সি ‖ চ ‖_{{এইচ}^{- 1}} । \end{matrix}

$\label{eq3}\tag{3} \|u-u_h\|_{H^1} \leq \inf_{v_h}\|u-v_h\|_{H^1} \leq c \|u\|_{H^1} \leq C \|f\|_{H^{-1}}.$

w_{ϕ}

$w_\phi$

ϕ \in L^{2}

$\phi\in L^2$

H^{- 1}

$H^{-1}$

\begin{matrix} (4) & \underset{W_{জ}}{INF} ‖ W_{φ} - W_{জ} ‖_{{এইচ}^{1}} \leq গ জ ‖ W_{φ} ‖_{{এইচ}^{2}} \leq সি জ ‖ φ ‖_{{এল}^{2}} \end{matrix}

$\label{eq4}\tag{4} \inf_{w_h}\|w_\phi-w_h\|_{H^1} \leq c h \|w_\phi\|_{H^2} \leq C h \|\phi\|_{L^2}$

(3)

$\eqref{eq3}$

(4)

$\eqref{eq4}$

(2)

$\eqref{eq2}$ এখন কাঙ্ক্ষিত অনুমান দেয়।

(নোট করুন যে স্ট্যান্ডার্ড অনুমানের জন্য সীমাবদ্ধ উপাদানটির সান্নিধ্যের বহিরাগত ডিগ্রি এবং সত্য সমাধানের সোবোলেভ এক্সপোনেন্ট মিট করতে পারে , সুতরাং এই যুক্তিটি টুকরোচক ধ্রুবক ( ) সান্নিধ্যের জন্য কাজ করে না । আমরা যে ব্যবহার করেছি - অর্থাত্ আমাদের কাছে একটি অনুসারে আনুমানিক পরিমাণ রয়েছে - যা টুকরোচক ধ্রুবকগুলির পক্ষে সত্য নয়)) $k$ $m$ $m<k+1$ $k=0$ $u-u_h\in H^1_0$

যেহেতু আপনি কোনও রেফারেন্স চেয়েছিলেন: আপনি থিয়োরিয়াম ৫.৮.৩-তে (একসাথে থিওরেম ৫.৪.৮ সহ) একটি বিবৃতি (এমনকি নেতিবাচক সোব্লেভ স্পেস পরিবর্তে for এর জন্য) খুঁজে পেতে পারেন $H^{-s}$ $L^2$

সুসান সি। ব্রেনার এবং এল। রিডওয়ে স্কট , এমআর 2373954 সসীম উপাদান পদ্ধতিগুলির গাণিতিক তত্ত্ব , ফলিত গণিতের পাঠ্য আইএসবিএন: 978-0-387-75933-3।

— খ্রিস্টান ক্লাসন
সূত্র

এবং আমি আমাদের চকচকে নতুন প্রশংসনীয় বৈশিষ্ট্যটি ব্যবহার করতে পারি :)

— ক্রিশ্চিয়ান ক্লাসন

আপনার উত্তরের জন্য ধন্যবাদ, তবে ক্রমাগত ফাংশনগুলি এমবেড করা হয় না সেগুলি কি?

H_{0}^{1}

$H^1_0$

— কলাচ 14

হ্যাঁ, দুঃখিত, আমি সেখানে ছুটে এসেছি - সেগুলি ঘন, তবে এমবেডেড নয়। দ্বৈত যুক্তি একই কাজ করে, যদিও (কেবল এবং সরাসরি নিয়ে কাজ করুন)। আমি আমার উত্তর অনুসারে সম্পাদনা করব।

H_{0}^{1}

$H^1_0$

H^{- 1}

$H^{-1}$

— ক্রিশ্চান ক্ল্যাসন

বিস্তৃত আপডেটের জন্য ধন্যবাদ। এবং অন্য একটি চকচকে উদ্ধৃতি সন্ধানের জন্য

— কলাচ 16

@ প্রবীণ আমার মনে হয় না এখানে আপনার কোনও তত্ত্বের প্রয়োজন আছে। ধ্রুব শূন্য হতে সরল চয়ন করুন ।

v_{h}

$v_h$

— কলাচ