কেন অসুস্থ শর্তযুক্ত লিনিয়ার সিস্টেমগুলি সঠিকভাবে সমাধান করা যেতে পারে?

এখানে উত্তর অনুযায়ী , বৃহত শর্ত নম্বর (লিনিয়ার সিস্টেম সমাধানের জন্য) ভাসমান পয়েন্ট সমাধানে সঠিক সংখ্যাগুলির গ্যারান্টিযুক্ত সংখ্যা হ্রাস করে। সিউডোস্পেকট্রাল পদ্ধতিতে উচ্চতর অর্ডার ডিফারেন্সিয়েশন ম্যাট্রিকগুলি সাধারণত খুব অসুস্থ শর্তযুক্ত। কেন তারা এখনও খুব সঠিক পদ্ধতি?

আমি বুঝতে পারি যে কন্ডিশনড ম্যাট্রিক্স থেকে আসা স্বল্প নির্ভুলতা কেবলমাত্র একটি গ্যারান্টিযুক্ত মান, তবে তবুও এটি আমাকে অবাক করে তোলে কেন অসুস্থ শর্তযুক্ত ম্যাট্রিকগুলি অনুশীলনে সরাসরি পদ্ধতি দ্বারা সঠিকভাবে সমাধান করা হয় - উদাহরণস্বরূপ, LCOLসারণী ৩.১ এর কলামগুলি ১১ পৃষ্ঠায় রয়েছে। ওয়াং এট অ্যাল ।, একটি সিএসইওডোস্পেক্ট্রাল ইন্টিগ্রেশন ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে একটি স্ব-শর্তযুক্ত সমষ্টি পদ্ধতি , সিয়াম জে। সায়। গণনা।, 36 (3) ।

spectral-method precision condition-number

— জোল্টন সিসিটি
সূত্র

আমার অন্তর্নিহিততা হ'ল একটি অক্ষ = বি সিস্টেমের দ্রাব্যতা / নির্ভুলতা বাধ্যতামূলক ভেক্টরের সাথে আবদ্ধ হয় খ, কেবল ম্যাট্রিক্স এ নয়, সম্ভবত বি এর অসুস্থ শর্তযুক্ত মোডগুলিকে "অনুসন্ধান" বা "উত্তেজিত" না করে, তবে সঠিক সমাধান সম্ভব রয়ে গেছে। সীমাবদ্ধ উদাহরণ হিসাবে, এ হ'ল একক হতে পারে (অসীম শর্ত সংখ্যা), তবুও অক্ষ = বি এখনও সমাধান পেতে পারে, যা সঠিকভাবে গণনা করা যেতে পারে, যদি জোর করে ডেটা বি এর পরিসরে থাকে তবে আমি স্বীকার করি এটি বেশ হাতের মুঠোয় -উইভি, যার কারণে আমি কেবল উত্তরের পরিবর্তে মন্তব্য করি।

— rchilton1980

@ rchilton1980 "তবুও এক্স = বি এখনও একটি সমাধান পেতে পারে" তবে এই সমাধানটি অনন্য নয়। এবং উদাহরণগুলি আমি একটি অনন্য সমাধান অধিকারী হিসাবে উল্লেখ করছি।

— জোল্টন সিস্তি

এটি একটি ন্যায্য পাল্টা পয়েন্ট - সম্ভবত অসীম শর্ত সংখ্যা বাছাই করার একটি নিদর্শন an তবে আমি মনে করি আপনি মেশিনের অ্যাপসিলনের সাথে সেই শূন্য ইগেনুয়ালুকে প্রতিস্থাপন করতে পারেন এবং আমার পয়েন্টটি এখনও দাঁড়িয়ে আছে। (এটি হ'ল, সিমেটটির খুব বড় কন্ডিশন নম্বর রয়েছে, সিস্টেমটি অনন্য সমাধানের সাথে অদ্বিতীয়, যা আমরা খুব নির্ভুলভাবে সরবরাহ করতে পারি যে খ এর সেই ছোট আইগেনপায়ারের সাথে কোনও উপাদান নেই)।

— rchilton1980

আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, আমার চিন্তার পরীক্ষাটি এখানে A = diag ([1 1 1 1 1 eps]), বি = [বি 1 বি 2 বি 3 বি 4 বি 5 0] এর মতো is এটি সংবিধানযুক্ত, তবে আমি মনে করি যে এটি মূল দাবির ন্যায্যতা প্রমাণ করার পক্ষে যথেষ্ট ছিল: "কখনও কখনও অসুস্থ কন্ডিশনার

— এগুলি

শুধু আরেকটি উদাহরণ Moler এর ব্লগ থেকে দিতে blogs.mathworks.com/cleve/2015/02/16/...

— percusse

উত্তর:

আমার প্রাথমিক উত্তর পরে যুক্ত করা হয়েছে:

আমার কাছে এখন দেখা যাচ্ছে যে রেফারেন্সড পেপারটির লেখক শর্তের নম্বর দিচ্ছেন (আপাতদৃষ্টিতে 2-আদর্শ শর্ত সংখ্যা তবে সম্ভবত অনন্ত-আদর্শ শর্ত সংখ্যা) যখন আদর্শ আপেক্ষিক ত্রুটি বা সর্বাধিক উপাদান সম্পর্কিত আপেক্ষিক ত্রুটিগুলির চেয়ে সর্বাধিক পরম ত্রুটি দেয় ( এগুলি সমস্ত ভিন্ন ব্যবস্থা।) নোট করুন যে সর্বাধিক এলিমেন্টের তুলনায় ত্রুটি অনন্ত-আদর্শ আপেক্ষিক ত্রুটির মতো নয়। তদ্ব্যতীত, সারণীর ত্রুটিগুলি সমীকরণের বিযুক্ত রৈখিক সিস্টেমের পরিবর্তে মূল ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সীমানা মান সমস্যার সঠিক সমাধানের সাথে সম্পর্কিত। সুতরাং কাগজে সরবরাহিত তথ্য শর্ত নম্বরের ভিত্তিতে ত্রুটিযুক্ত ত্রুটিযুক্ত ব্যবহারের জন্য সত্যই উপযুক্ত নয়।

যাইহোক, গণনার আমার অনুলিপিতে, আমি এমন পরিস্থিতি দেখতে পাচ্ছি যেখানে আপেক্ষিক অনন্ত আদর্শ ত্রুটি (বা দ্বি-আদর্শ আপেক্ষিক ত্রুটি) অনন্ত-আদর্শ শর্ত সংখ্যা দ্বারা নির্ধারিত আবদ্ধের তুলনায় যথেষ্ট ছোট (যথাক্রমে 2-আদর্শ শর্ত নম্বর)) কখনও কখনও আপনি পেতে ভাগ্যবান।

আমি ডিএমএসইউইটি ম্যাটল্যাব প্যাকেজটি ব্যবহার করেছি এবং চেবিশেভ বহুবচনগুলির সাথে সিউডোস্পেক্ট্রাল পদ্ধতিটি ব্যবহার করে এই কাগজটি থেকে উদাহরণস্বরূপ সমস্যার সমাধান করেছি। আমার শর্ত সংখ্যা এবং সর্বোচ্চ নিখুঁত ত্রুটিগুলি কাগজে উল্লিখিত অনুরূপ।

আমি সাধারণ আপেক্ষিক ত্রুটিগুলিও দেখেছি যা শর্ত সংখ্যাটির উপর ভিত্তি করে কেউ আশা করতে পারে তার থেকে কিছুটা ভাল ছিল। উদাহরণস্বরূপ, উদাহরণস্বরূপ সাথে ব্যবহার করে , আমি পেয়েছি $\epsilon=0.01$ $N=1024$

Cond (একটি, 2) = 7.9e + 8 থেকে

Cond (একটি, INF) = 7.8e + 8 থেকে

আদর্শ (U-uexact, 2) / আদর্শ (uexact, 2) = 3.1e-12

আদর্শ (U-uexact, INF) / আদর্শ (uexact, INF) = 2.7e-12

এটি প্রদর্শিত হবে যে সমাধানটি প্রায় 11-12 ডিজিটের পক্ষে ভাল, যখন শর্ত নম্বর 1e8 এর ক্রম হয়।

তবে উপাদান-ত্রুটিযুক্ত পরিস্থিতি আরও আকর্ষণীয়।

MAX (ABS (U-uexact)) = 2.7e-12

এখনও ভাল দেখাচ্ছে।

MAX (ABS ((U-uexact) ./ uexact) = 6.1e + + 9

বাহ- সমাধানের কমপক্ষে একটি অংশে একটি খুব বড় আপেক্ষিক ত্রুটি রয়েছে।

কি হলো? এই সমীকরণের সঠিক সমাধানটিতে এমন উপাদানগুলি রয়েছে যা ক্ষুদ্র হয় (উদাহরণস্বরূপ 1.9e-22) যখন আনুমানিক সমাধানটি 9e-14 এর অনেক বড় মূল্যে বোতল পায়। এটি আদর্শ আপেক্ষিক ত্রুটি পরিমাপের দ্বারা গোপন করা হয় (এটি 2-আদর্শ বা অনন্ত-আদর্শ হোক) এবং কেবলমাত্র তখনই দৃশ্যমান হয় যখন আপনি উপাদান অনুসারে আপেক্ষিক ত্রুটিগুলি দেখেন এবং সর্বাধিক নেন।

নীচের আমার মূল উত্তরটি ব্যাখ্যা করে যে আপনি কেন সমাধানটিতে একটি আদর্শ আপেক্ষিক ত্রুটি পেতে পারেন যা শর্ত সংখ্যা দ্বারা দেওয়া সীমা ছাড়াই কম।

আপনি যে প্রশ্নটিতে উল্লেখ করেছেন , অ-একবাক্য ম্যাট্রিক্সের শর্ত নম্বর, সমীকরণের বিপর্যস্ত সিস্টেমটির সমাধানের জন্য আবশ্যক সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে আপেক্ষিক ত্রুটি দেয় । এটি হ'ল, যদি আমরা সমাধান করি এবং সমাধান করি , তবে $\kappa(A)$ $A(x+\Delta x)=b+\Delta b$ $Ax=b$

$\frac{\| \Delta x \|}{\| x \|} \leq \kappa(A) \frac{\| \Delta b \|}{\| b \|}$

শর্ত সংখ্যাটি বিভিন্ন রীতিনীতিগুলির সাথে সম্মান করে গণনা করা যেতে পারে, তবে দ্বি-আদর্শ শর্ত নম্বরটি প্রায়শই ব্যবহৃত হয় এবং আপনি কাগজে যে শর্তটি ব্যবহার করেন সে ক্ষেত্রে এটি ব্যবহার করা হয়।

সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে ত্রুটি দেখা দেয় যখন এর ক্ষুদ্রতম একক মানের সাথে সম্পর্কিত বাম একক ভেক্টর । সর্বোত্তম কেসটি ঘটে যখন এর বৃহত্তম একক মানের সাথে সম্পর্কিত বাম একক ভেক্টর । যখন এলোমেলো, তখন আপনাকে এর বাম একক ভেক্টর এবং সংশ্লিষ্ট একবাক্য মানগুলির উপর এর অনুমানগুলি দেখতে হবে । এর বর্ণালী উপর নির্ভর করে , জিনিষ খুব খারাপভাবে বা খুব ভাল যেতে হতে পারে। $\Delta b$ $A$ $A$ $\Delta b$ $A$ $A$ $\Delta b$ $\Delta b$ $A$ $A$

দুটি ম্যাট্রিক্সের বিবেচনা করুন 2-আদর্শ শর্ত নম্বর দিয়ে, উভয় । প্রথম ম্যাট্রিক্স একবচন মান আছে , , , । দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্স একবচন মান আছে , , , , । $A$ $1.0 \times 10^{10}$ $1$ $1 \times 10^{-10}$ $\ldots$ $1 \times 10^{-10}$ $1$ $1$ $\ldots$ $1$ $1 \times 10^{-10}$

প্রথম ক্ষেত্রে, একটি র্যান্ডম ব্যাকুলতা প্রথম বাম একবচন ভেক্টরের দিক হতে অসম্ভাব্য, এবং আরও একবচন মান একবচন ভেক্টর এক ঘনিষ্ঠ হতে পারে । সুতরাং সমাধানে আপেক্ষিক পরিবর্তন খুব বড় হওয়ার সম্ভাবনা রয়েছে। দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, প্রায় কোনও বিচক্ষণতা একক মান সহ একক ভেক্টরের দিকে খুব কাছাকাছি থাকবে এবং সমাধানে আপেক্ষিক পরিবর্তন ছোট হবে। $1 \times 10^{-10}$ $1$

পিএস (যোগ ক্লাস থেকে ফিরে আসার পরে যোগ করা হয়েছে ...)

সমাধান জন্য সূত্র হয় $A\Delta x = \Delta b$

$\Delta x = V \Sigma^{-1} U^{T} \Delta b=\sum_{i=1}^{n} \frac{U_{i}^{T}\Delta b}{\sigma_{i}} V_{i}$

পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য দ্বারা,

$\| \Delta x \|_{2}^{2}= \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{U_{i}^{T}\Delta b}{\sigma_{i}} \right)^{2}$

আমরা যদি রাখি , তারপর এই সমষ্টি যখন বড় করা হয় এবং মিনিমাইজ যখন । $\| \Delta b \|_{2}=1$ $\Delta b=U_{n}$ $\Delta b=U_{1}$

এখানে বিবেচিত পরিস্থিতিতে, এলোমেলো রাউন্ড-অফ ত্রুটিগুলির ফলস্বরূপ, তাই মানগুলি মোটামুটি একই পরিমাণের হওয়া উচিত। of এর ছোট মানগুলির সাথে শর্তাবলী ত্রুটির ক্ষেত্রে অনেক অবদান রাখবে, while of এর বৃহত্তর মানগুলির সাথে শর্তগুলি বেশি অবদান রাখবে না। বর্ণালী উপর নির্ভর করে, এটি সহজেই সবচেয়ে খারাপতম বাউন্ডের চেয়ে ছোট হতে পারে। $\Delta b$ $U_{i}^{T}\Delta b$ $\sigma_{i}$ $\sigma_{i}$

— ব্রায়ান বোর্চার্স
সূত্র

এই যুক্তি না সূচিত করা হবে এটি হয় সম্ভব (এমনকি অসম্ভাব্য হলে) খারাপ-কেস বাউন্ড পৌঁছানোর উদাহরণে ম্যাট্রিক্স জন্য? এএফএআইইউ, আমার উত্তরের ভিত্তিতে এবং এর ডকুমেন্টের ভিত্তিতে এটি সম্ভব না হওয়া উচিত।

κ_{\infty} (A)

$\kappa_\infty(A)$ ?getrs

— কিরিল

@BrianBorchers আপনি কি দয়া করে সম্প্রসারিত গেল কেন "সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে ত্রুটি দেখা দেয় যখন একটি বাম একবচন ভেক্টর হয় ক্ষুদ্রতম একবচন মান সংশ্লিষ্ট । সেরা ক্ষেত্রে ঘটে যখন একটি বাম একবচন ভেক্টর হয় সংশ্লিষ্ট বৃহত্তম একবচন মান । " ঝুলিতে? নীচের উদাহরণ থেকে এটি যৌক্তিক, তবে আমার কিছু সূত্র প্রয়োজন। এর SVD যাক হতে । প্রথম ক্ষেত্রে, । কীভাবে এগিয়ে যাব?

Δ b

$\Delta b$

A

$A$

A

$A$

Δ b

$\Delta b$

A

$A$

A

$A$

A

$A$

A = U Σ V^{T}

$A = U \Sigma V^T$

A = Δ b σ_{1} v_{1}^{T} + \sum_{i = 2}^{N} u_{i} σ_{i} v_{i}^{T}

$A = \Delta b \sigma_1 v_1^T + \sum_{i=2}^N u_i \sigma_i v_i^T$

— জোল্টন সিস্তি

আমি ম্যাট্রিক্সে রাউন্ড-অফ ত্রুটিগুলি নিয়ে আলোচনা করিনি , তবে সাধারণ প্রভাবটি একই রকম- যদি আপনি রাউন্ড-অফ ত্রুটিগুলিতে সত্যিই দুর্ভাগ্য না হন তবে আপনি সাধারণত হতাশাবাদী সবচেয়ে খারাপ পরিস্থিতি থেকে কিছুটা ভাল করতে পারেন।

A

$A$

— ব্রায়ান বোর্চারস

(-1) আউটপুটে উপাদান উপাদান আপেক্ষিক ত্রুটির আলোচনা গুরুতর বিভ্রান্তিকর।

— কিরিল

tl; dr তারা একটি শর্ত নম্বর রিপোর্ট করেছে , অগত্যা ম্যাট্রিক্সের জন্য সঠিক শর্ত সংখ্যা নয়, কারণ সেখানে পার্থক্য রয়েছে।

এটি ম্যাট্রিক্স এবং ডান হাতের ভেক্টরের সাথে নির্দিষ্ট। আপনি যদি ডকুমেন্টেশনের*getrs দিকে নজর দেন তবে এটি বলছে যে সামনের ত্রুটিটি আবদ্ধ এখানে মোটামুটি স্বাভাবিক শর্ত সংখ্যা , বরং (এখানে আদর্শের মধ্যে এগুলি উপাদান অনুসারে নিখুঁত মানগুলি রয়েছে)) উদাহরণস্বরূপ, হিঙ্গাম দ্বারা লিনিয়ার সিস্টেম এবং ল্যাপাক , বা হিগমের নির্ভুলতা এবং সংখ্যাগত অ্যালগরিদমের স্থায়িত্ব (.2.২) দেখুন।

\frac{‖ x - x_{0} ‖_{\infty}}{‖ x ‖_{\infty}} ≲ c o n d (A, x) u \leq c o n d (A) u .

$\frac{\|x-x_0\|_\infty}{\|x\|_\infty} \lesssim \mathrm{cond}(A,x)u \leq \mathrm{cond}(A)u.$

c o n d (A, x)

$\mathrm{cond}(A,x)$

κ_{\infty} (A)

$\kappa_\infty(A)$

c o n d (A, x) = \frac{‖ | A^{- 1} | | A | | x | ‖_{\infty}}{‖ x ‖_{\infty}}, c o n d (A) = ‖ | A^{- 1} | | A | ‖ .

$\mathrm{cond}(A,x) = \frac{\||A^{-1}||A||x|\|_\infty}{\|x\|_\infty},\\ \mathrm{cond}(A) = \||A^{-1}||A|\|.$

আপনার উদাহরণস্বরূপ, আমি সাথে একই সমস্যার জন্য একটি সিউডোস্পেকট্রাল ডিফারেন্সিয়াল অপারেটর নিয়েছি এবং আসলে fact মধ্যে একটি বড় পার্থক্য রয়েছে এবং , আমি এবং গণনা করেছি , যা সমস্ত ডান হাতের ক্ষেত্রে ঘটে এমন পর্যবেক্ষণকে ব্যাখ্যা করার জন্য যথেষ্ট, কারণ প্রস্থের ক্রমগুলি মোটামুটি যা মেলে সারণী 3.1 এ দেখা গেছে (3-4 টির জন্য আরও ভাল ত্রুটি)। আমি যখন এলোমেলো অসুস্থ শর্তযুক্ত ম্যাট্রিক্সের জন্য একই চেষ্টা করি তখন এটি কাজ করে না, সুতরাং এটি সম্পত্তি হতে হবে । $n=128$ $\||A^{-1}||A|\|$ $\kappa_\infty(A)$ $7\times 10^3$ $2.6\times 10^7$ $A$

একটি স্পষ্ট উদাহরণ যার জন্য দুটি শর্ত সংখ্যা মেলে না, যা আমি হিহামের (7.17, p.124) থেকে গ্রহণ করেছি, কাহানের কারণে হ'ল অন্য একটি উদাহরণ আমি পেয়েছি হ'ল প্লেইন ভ্যান্ডারমনডে ম্যাট্রিক্স এলোমেলো । আমি গিয়েছিলাম এবং কিছু অন্যান্য অসুস্থ শর্তযুক্ত ম্যাট্রিকগুলিও এই জাতীয় ফলাফল তৈরি করে, যেমন এবং পছন্দ করে ।

(\begin{matrix} 2 & - 1 & 1 \\ - 1 & ϵ & ϵ \\ 1 & ϵ & ϵ \end{matrix}), (\begin{matrix} 2 + 2 ϵ \\ - ϵ \\ ϵ \end{matrix}) .

$\begin{pmatrix}2&-1&1\\-1&\epsilon&\epsilon\\1&\epsilon&\epsilon\end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix}2+2\epsilon\\-\epsilon\\\epsilon\end{pmatrix}.$ [1:10]

b

$b$ MatrixDepot.jltriwmoler

মূলত, যা চলছে তা হ'ল আপনি যখন প্রতিচ্ছবি সম্পর্কিত ক্ষেত্রে লিনিয়ার সিস্টেমগুলি সমাধান করার স্থায়িত্ব বিশ্লেষণ করেন, আপনাকে প্রথমে কোনটি বিশৃঙ্খলা বিবেচনা করছেন তা নির্দিষ্ট করতে হবে। যখন LAPACK সঙ্গে রৈখিক সিস্টেম সমাধানে, আবদ্ধ এটি একটি ত্রুটি উপাদান-অনুযায়ী perturbations বিবেচনায় , কিন্তু কোন ব্যাকুলতা । সুতরাং এটি স্বাভাবিক থেকে আলাদা is , যা এবং উভয় ক্ষেত্রেই সাধারণ দিকনির্দেশনাগুলিকে বিবেচনা করে । $A$ $b$ $\kappa(A) = \|A^{-1}\|\|A\|$ $A$ $b$

বিবেচনা করুন (একটি কাউন্টারটেক্সেল হিসাবে) আপনি যদি পার্থক্য না করেন তবে কী ঘটবে । আমরা জানি যে দ্বিগুণ নির্ভুলতার সাথে পুনরাবৃত্তি সংশোধন ব্যবহার করে (উপরের লিঙ্কটি দেখুন) আমরা সাথে ম্যাট্রিকগুলির জন্য এর সর্বোত্তম সম্ভাব্য অগ্রণী আপেক্ষিক ত্রুটি পেতে পারি । সুতরাং আমরা যদি এই ধারণাটি বিবেচনা করি যে লিনিয়ার সিস্টেমগুলি চেয়ে নির্ভুলতার জন্য সমাধান করা যায় না , তবে কীভাবে পরিশোধন সমাধানগুলি সম্ভবত কাজ করবে? $O(u)$ $\kappa(A)\ll 1/u$ $\kappa(A)u$

দ্রষ্টব্য এটা গুরুত্বপূর্ণ যে ?getrsবলছেন কম্পিউটেড সমাধান প্রকৃত সমাধান (A + E)x = bএকটি ব্যাকুলতা সঙ্গে মধ্যে , কিন্তু কোন ব্যাকুলতা । কিছু ভিন্ন perturbations অনুমতি দেওয়া হয় যদি হবে । $E$ $A$ $b$ $b$

এটিকে আরও সরাসরি, কাজ করে দেখানোর জন্য সম্পাদনা করুন যে এটি কোনও ত্রুটিযুক্ত বা ভাগ্যের বিষয় নয়, বরং কিছু নির্দিষ্ট ম্যাট্রিকের জন্য দুটি শর্ত সংখ্যার ) খুব পৃথক হওয়ার (অস্বাভাবিক) পরিণতি

c o n d (A, x) \approx c o n d (A) ≪ κ (A) .

$\mathrm{cond}(A,x) \approx \mathrm{cond}(A) \ll \kappa(A).$

function main2(m=128)
    A = matrixdepot("chebspec", m)^2
    A[1,:] = A[end,:] = 0
    A[1,1] = A[end,end] = 1
    best, worst = Inf, -Inf
    for k=1:2^5
        b = randn(m)
        x = A \ b
        x_exact = Float64.(big.(A) \ big.(b))
        err = norm(x - x_exact, Inf) / norm(x_exact, Inf)
        best, worst = min(best, err), max(worst, err)
    end
    @printf "Best relative error:       %.3e\n" best
    @printf "Worst relative error:      %.3e\n" worst
    @printf "Predicted error κ(A)*ε:    %.3e\n" cond(A, Inf)*eps()
    @printf "Predicted error cond(A)*ε: %.3e\n" norm(abs.(inv(A))*abs.(A), Inf)*eps()
end

julia> main2()
Best relative error:       2.156e-14
Worst relative error:      2.414e-12
Predicted error κ(A)*ε:    8.780e-09
Predicted error cond(A)*ε: 2.482e-12

সম্পাদনা 2 এখানে একই ঘটনার আরও একটি উদাহরণ যেখানে বিভিন্ন শর্ত সংখ্যা অপ্রত্যাশিতভাবে অনেকটা আলাদা হয়। এবার, এখানে 10 × 10 Vandermonde ম্যাট্রিক্স হয় , এবং যখন , এলোমেলোভাবে নির্বাচিত চেয়ে noticably ছোট , এবং সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে দেওয়া হয় for ।

c o n d (A, x) ≪ c o n d (A) \approx κ (A) .

$\mathrm{cond}(A, x) \ll \mathrm{cond}(A) \approx \kappa(A).$

A

$A$

1 : 10

$1:10$

x

$x$

c o n d (A, x)

$\mathrm{cond}(A,x)$

κ (A)

$\kappa(A)$

x

$x$

x_{i} = i^{a}

$x_i = i^a$

a

$a$

function main4(m=10)
    A = matrixdepot("vand", m)
    lu = lufact(A)
    lu_big = lufact(big.(A))
    AA = abs.(inv(A))*abs.(A)
    for k=1:12
        # b = randn(m) # good case
        b = (1:m).^(k-1) # worst case
        x, x_exact = lu \ b, lu_big \ big.(b)
        err = norm(x - x_exact, Inf) / norm(x_exact, Inf)
        predicted = norm(AA*abs.(x), Inf)/norm(x, Inf)*eps()
        @printf "relative error[%2d]    = %.3e (predicted cond(A,x)*ε = %.3e)\n" k err predicted
    end
    @printf "predicted κ(A)*ε      = %.3e\n" cond(A)*eps()
    @printf "predicted cond(A)*ε   = %.3e\n" norm(AA, Inf)*eps()
end

গড় কেস (তীব্র ত্রুটির প্রায় 9 টি অর্ডার):

julia> T.main4()
relative error[1]     = 6.690e-11 (predicted cond(A,x)*ε = 2.213e-10)
relative error[2]     = 6.202e-11 (predicted cond(A,x)*ε = 2.081e-10)
relative error[3]     = 2.975e-11 (predicted cond(A,x)*ε = 1.113e-10)
relative error[4]     = 1.245e-11 (predicted cond(A,x)*ε = 6.126e-11)
relative error[5]     = 4.820e-12 (predicted cond(A,x)*ε = 3.489e-11)
relative error[6]     = 1.537e-12 (predicted cond(A,x)*ε = 1.729e-11)
relative error[7]     = 4.885e-13 (predicted cond(A,x)*ε = 8.696e-12)
relative error[8]     = 1.565e-13 (predicted cond(A,x)*ε = 4.446e-12)
predicted κ(A)*ε      = 4.677e-04
predicted cond(A)*ε   = 1.483e-05

সবচেয়ে খারাপ কেস ( ): $a=1,\ldots,12$

julia> T.main4()
relative error[ 1]    = 0.000e+00 (predicted cond(A,x)*ε = 6.608e-13)
relative error[ 2]    = 1.265e-13 (predicted cond(A,x)*ε = 3.382e-12)
relative error[ 3]    = 5.647e-13 (predicted cond(A,x)*ε = 1.887e-11)
relative error[ 4]    = 8.895e-74 (predicted cond(A,x)*ε = 1.127e-10)
relative error[ 5]    = 4.199e-10 (predicted cond(A,x)*ε = 7.111e-10)
relative error[ 6]    = 7.815e-10 (predicted cond(A,x)*ε = 4.703e-09)
relative error[ 7]    = 8.358e-09 (predicted cond(A,x)*ε = 3.239e-08)
relative error[ 8]    = 1.174e-07 (predicted cond(A,x)*ε = 2.310e-07)
relative error[ 9]    = 3.083e-06 (predicted cond(A,x)*ε = 1.700e-06)
relative error[10]    = 1.287e-05 (predicted cond(A,x)*ε = 1.286e-05)
relative error[11]    = 3.760e-10 (predicted cond(A,x)*ε = 1.580e-09)
relative error[12]    = 3.903e-10 (predicted cond(A,x)*ε = 1.406e-09)
predicted κ(A)*ε      = 4.677e-04
predicted cond(A)*ε   = 1.483e-05

সম্পাদনা 3 এর আরও একটি উদাহরণ হ'ল ফোরসিথ ম্যাট্রিক্স, যা এই আছে , , তাই কিন্তু , সুতরাং । এবং যেমন হাত দ্বারা যাচাই করা যায়, সম্ভাব্য সীমাহীন সত্ত্বেও পিভোটিং সহ মতো লিনিয়ার সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধান করা অত্যন্ত নির্ভুল । সুতরাং এই ম্যাট্রিক্সটিও অপ্রত্যাশিতভাবে সুনির্দিষ্ট সমাধান পাবে।

A = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ ϵ & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) .

$A = \begin{pmatrix} 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \\ \epsilon&0&0&0 \end{pmatrix}.$

‖ A ‖ = 1

$\|A\|=1$

‖ A^{- 1} ‖ = ϵ^{- 1}

$\|A^{-1}\|=\epsilon^{-1}$

κ_{\infty} (A) = ϵ^{- 1}

$\kappa_\infty(A) = \epsilon^{-1}$

| A^{- 1} | = A^{- 1} = | A |^{- 1}

$|A^{-1}| = A^{-1} = |A|^{-1}$

c o n d (A) = 1

$\mathrm{cond}(A) = 1$

A x = b

$Ax=b$

κ_{\infty} (A)

$\kappa_\infty(A)$

সম্পাদনা 4 কাহান ম্যাট্রিকগুলিও এর মতো : $\mathrm{cond}(A)\ll \kappa(A)$

A = matrixdepot("kahan", 48)
κ, c = cond(A, Inf), norm(abs.(inv(A))*abs.(A), Inf)
@printf "κ=%.3e c=%.3e ratio=%g\n" κ c (c/κ)

κ=8.504e+08 c=4.099e+06 ratio=0.00482027

— কিরিল
সূত্র

ওপি দ্বারা উল্লিখিত কাগজে শর্ত সংখ্যাগুলি দ্বি-আদর্শ শর্ত নম্বর। আপনি যদি এলবার্বারি দ্বারা রেফারেন্স [17] এ ফিরে যান তবে আপনি দেখতে পাবেন যে পূর্ববর্তী কাগজে এগুলি দুটি-আদর্শ শর্ত সংখ্যা ছিল। এছাড়াও, আমি এই কাগজ থেকে ডিএমসুইট ব্যবহার করে উদাহরণগুলি সেটআপ করেছি এবং কাগজে উল্লিখিত হিসাবে প্রায় একই 2-আদর্শ শর্ত নম্বর পেয়েছি।

— ব্রায়ান বোর্চারস

আমি উদাহরণস্বরূপ যে ডেমসুয়েট এবং চেবিশেভ অন্তরঙ্গকরণ ব্যবহার করেছিলাম তার জন্য অনন্ত আদর্শ শর্তের আদর্শ নম্বরগুলি দ্বি-আদর্শ শর্তের সংখ্যার সাথে একই পরিমাণে। আমি মনে করি না যে অনন্ত-আদর্শ শর্ত সংখ্যায় 2-আদর্শের মধ্যে পার্থক্যটি এই বিশেষ উদাহরণের জন্য গুরুত্বপূর্ণ।

— ব্রায়ান বোর্চারস

আমি বিশ্বাস করি যে ত্রুটি কাগজ রিপোর্ট হয় পরম বরং আপেক্ষিক ত্রুটি (এটা ছাড়া অত্যধিক পার্থক্য দেখা যায় না চেয়ে , যেখানে সমাধান 0. পাসে নিচে dips

ϵ = 0.01

$\epsilon=0.01$

— ব্রায়ান Borchers

জন্য এবং , সমাধান অংশগুলি যে 0 কাছাকাছি তাদের জন্য আপেক্ষিক ত্রুটি বিশাল, কিন্তু পরম ত্রুটি ছোট হয়। আমি সম্মত হই যে শর্ত নম্বরটি কী ব্যবহৃত হয়েছিল এবং "ত্রুটিগুলি" হ'ল (আপেক্ষিক বা পরম ত্রুটিগুলি) সম্পর্কে কী ছিল তা সম্পর্কে কাগজটি খুব অস্পষ্ট ছিল

ϵ = 0.01

$\epsilon=0.01$

N = 1024

$N=1024$

— ব্রায়ান বোর্চারস

@ ব্রায়ানবার্সার্স আপনি কী বলতে চাইছেন তা সম্পর্কে আমি নিশ্চিত নই: এটি 2-আদর্শ এবং ইনফটি-আদর্শ শর্ত সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য নয়, বরং আদর্শিক- এবং উপাদান-ভিত্তিক শর্ত সংখ্যা (ইনপুটটিতে উপাদান-ভিত্তিক আপেক্ষিক খণ্ডখণ্ডগুলি, উপাদান নয়) আপনার উত্তর হিসাবে আউটপুট-একইভাবে আপেক্ষিক ত্রুটি)।

— কিরিল