সংখ্যাগতভাবে কিছু PDE সমস্যাগুলি সমাধান করার সময় কি ভেরিয়েবল স্কেলিং অপরিহার্য?

15

অর্ধপরিবাহী সিমুলেশনে, এটি সাধারণ যে সমীকরণগুলি ছোট করা হয় তাই তাদের মানগুলি স্বাভাবিক করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, চরম ক্ষেত্রে অর্ধপরিবাহীগুলিতে ইলেক্ট্রন ঘনত্বের পরিমাণ 18 কিলোমিটারের চেয়ে বেশি হতে পারে এবং বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রটি আকারের 6 (বা আরও) ক্রমের চেয়ে বেশি আকার পরিবর্তন করতে পারে।

তবে, কাগজপত্রগুলি কখনই এটি করার কোনও কারণ দেয় না। ব্যক্তিগতভাবে আমি বাস্তব ইউনিটগুলিতে সমীকরণগুলি নিয়ে সুখে আছি, এটি করার কোনও সংখ্যাসূচক সুবিধা আছে কি, অন্যথায় এটি অসম্ভব? আমি ভেবেছিলাম যে ডাবল স্পষ্টতার সাথে এই ওঠানামা মোকাবেলায় পর্যাপ্ত অঙ্ক থাকবে।

উভয় উত্তর খুব দরকারী, অনেক ধন্যবাদ!

pde condition-number scaling

— boyfarrell
সূত্র

1

"দৈর্ঘ্যের 18 টিরও বেশি আদেশের পরিবর্তিত হতে পারে" - এবং আপনি যদি ডাবল যথার্থতার সাথে কতগুলি সংখ্যা ধরে রেখেছেন তা বিবেচনা করেন, তবে আপনি দেখতে পাবেন "ডাবল স্পষ্টতা থাকলে এই ওঠানামা মোকাবেলায় যথেষ্ট সংখ্যা থাকবে" সত্যই ...

— জেএম

1

এবং আসল সমস্যাটি শুরু হয় যখন আপনি এই সংখ্যাগুলিকে একটি সংখ্যার অ্যালগোরিদমে খাওয়ান: বর্গটি ধরুন এবং হঠাৎ আপনার 36 মাত্রার পার্থক্যের অর্ডার এসেছে ...

— খ্রিস্টান ক্লাসন

9

একটি (রৈখিক) পিডিই সমাধান করা লিনিয়ার সিস্টেম উত্পন্ন করার সমীকরণকে বিবেচনা করার সাথে অন্তর্ভুক্ত, যা পরে লিনিয়ার সলভার দ্বারা সমাধান করা হয় যার অভিব্যক্তি (হার) ম্যাট্রিক্সের শর্ত সংখ্যার উপর নির্ভর করে। ভেরিয়েবলগুলি স্কেল করা প্রায়শই এই শর্ত সংখ্যা হ্রাস করে, ফলে একত্রিত হয় improving (এটি মূলত একটি তির্যক পূর্বশর্ত প্রয়োগের সমান পরিমাণ, নিকোলাস হিগামের যথাযথতা এবং সংখ্যাসূচক অ্যালগরিদমের স্থায়িত্ব দেখুন ))

ননলাইনারি পিডিইগুলিও সলভ করার জন্য নিউটনের পদ্ধতি হিসাবে ননলাইনীয় সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য একটি পদ্ধতি প্রয়োজন, যেখানে স্কেলিংটিও সংহতিকে প্রভাবিত করতে পারে।

যেহেতু সবকিছুকে স্বাভাবিক করার জন্য সাধারণত খুব অল্প প্রচেষ্টা লাগে তাই এটি প্রায়শই একটি ভাল ধারণা।

— খ্রিস্টান ক্লাসন
সূত্র

আমি নিশ্চিত যে এই বিষয়টিতে @ আর্নল্ডনিউমিয়ের আরও কিছু বলার আছে।

— খ্রিস্টান ক্লাসন

আমি যে ম্যাট্রিকগুলি ব্যবহার করছি তার শর্ত সংখ্যা (আনসকেড ভেরিয়েবল) ~ 1.25 । এটা কি যুক্তিসঙ্গত বলে মনে হচ্ছে? এটি 2-আদর্শ পদ্ধতি ব্যবহার করে গণনা করা হয় ( docs.scipy.org/doc/numpy/references/generated/… )।

— বয়ফ্যারেল 26'13

κ_{2} = 1

$\kappa_2=1$

1

@ বয়েফারেল: আমি নিয়মিত গ্রহণযোগ্য ফলাফল সহ 10 ^ 7 এর মতো শর্ত সংখ্যার সাথে কাজ করি। তবে আমি শর্ত সংখ্যা 10 ^ 9 এর চেয়ে বেশি গ্রহণ করব না।

— jvriesem

9

- ε Δ তোমার দর্শন লগ করা + + তোমার দর্শন লগ করা = 0 চালু Ω, তোমার দর্শন লগ করা = 1 চালু \partial Ω ।

$-\varepsilon \Delta u + u = 0 \text{ on } \Omega,\\ u = 1 \text{ on } \partial\Omega.$

এটি বলেছে, ভেরিয়েবল বা ডোমেনগুলির কোনও স্কেলিং নেই যা এই সমস্যাটি সরিয়ে দেয়।

$u_{\alpha}$

- α^{2} Δ তোমার দর্শন লগ করা = চ_{α} চালু α Ω

$-\alpha^2\Delta u = f_\alpha \text{ on } \alpha\Omega$

α

$\alpha$

u_{1}

$u_1$

- Δ তোমার দর্শন লগ করা = চ চালু Ω ।

$-\Delta u = f \text{ on } \Omega.$

u_{α} (x) := u_{1} (x / α)

$u_{\alpha}(\mathbf{x}):=u_1(\mathbf{x}/\alpha)$

α

$\alpha$

α

$\alpha$

— নিকো শ্ল্যামার
সূত্র

4

এবং বাকী প্যারামিটারগুলি অবশ্যই সমাধানের গুণগত আচরণ নির্ধারণের জন্য প্রয়োজনীয় হতে হবে - এই কারণেই তরল গতিবিদ্যায় রেনল্ডস সংখ্যাটি এত গুরুত্বপূর্ণ। এই প্রক্রিয়াটিকে নন্ডিমাইমেনালাইজেশন বলা হয় ।

— খ্রিস্টান ক্লাসন

অবশ্যই, এই জাতীয় প্যারামিটার সমতুল্যতা খুঁজে পাওয়া মূলত পিডিই এর প্রতিসাম্য দলগুলি খুঁজে বের করার সমস্যা, একটি সমস্যা যা সাধারণভাবে কঠিন

— লুসারচার

2

ভাসমান পয়েন্ট সংখ্যাগুলির সাথে লেনদেন করা বড় সংখ্যা থেকে ছোট সংখ্যার বিয়োগের পাশাপাশি আরও অনেক দিকের সাথে কৌশলগুলি হতে পারে। আমি জন ডি কুকগুলি তাদের উপর ব্লগ পোস্টগুলি পড়ার পরামর্শ দেব

একটি ভাসমান পয়েন্ট সংখ্যার এনাটমি

পাশাপাশি ওরাকল এর

প্রতিটি কম্পিউটার বিজ্ঞানী ভাসমান-পয়েন্ট অ্যারিথমেটিক সম্পর্কে যা জানা উচিত

এছাড়াও ক্ষুদ্রায়নের জন্য নির্দিষ্ট সংখ্যক অ্যালগোরিদম বা সংখ্যাবৃদ্ধির জন্য সংখ্যাগত স্থায়িত্বের জন্য স্বাভাবিককরণ প্রয়োজন।

— ফিলিপ নর্ডওয়াল
সূত্র