ন্যূনতম ব্যান্ডউইথের ব্যান্ডযুক্ত ম্যাট্রিক্স উত্পাদন করতে ভেরিয়েবলগুলি কীভাবে পুনঃক্রম করতে হবে?

Question

আমি সীমাবদ্ধ পার্থক্য দ্বারা 2D পইসন সমীকরণ সমাধান করার চেষ্টা করছি। প্রক্রিয়াধীন, আমি প্রতিটি সমীকরণে কেবল ভেরিয়েবলের সাথে একটি স্পারস ম্যাট্রিক্স পাই । উদাহরণস্বরূপ, যদি ভেরিয়েবলগুলি U হয় , তবে বিচক্ষণতা লাভ করবে:$5$$U$

$$U_{i-1,j} + U_{i+1,j} -4U_{i,j} + U_{i,j-1} + U_{i,j+1} = f_{i,j}$$

আমি জানি যে আমি একটি পুনরুক্তি পদ্ধতিতে এই সিস্টেমটি সমাধান করতে পারি, তবে আমার মনে ধারণাটি ঘটেছিল যে আমি যদি ভেরিয়েবলগুলি যথাযথভাবে অর্ডার করি তবে আমি সম্ভবত একটি ব্যান্ডেড ম্যাট্রিক্স পেতে সক্ষম হতে পারি যা প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে সমাধান করা যেতে পারে (যেমন, গাউসিয়ান নির্মূলকরণ ড / o পিভোটিং)। এটা কি সম্ভব? অন্যান্য, সম্ভবত কম কাঠামোগত বিরল সিস্টেমের জন্য এটি করার জন্য কোনও কৌশল আছে?

Comments

কুথিল-ম্যাকির মতো কিছু তখন?

— জেএম

মজাদার ... আমি এর আগে কখনও কুথিল-ম্যাককি অ্যালগরিদমের কথা শুনিনি! :)

— পল

পাশাপাশি একটি বিপরীত কুথিল-ম্যাককিও রয়েছে।

— জিফ অক্সবেরি

আমি আশা করি এটি উত্তরগুলি থেকে পরিষ্কার হয়ে গেছে তবে আপনি এই সমস্যার জন্য একটি ব্যান্ডযুক্ত সল্ভারটি ব্যবহার করতে চান না বা ব্যান্ডউইথকে হ্রাসকারী কোনও অর্ডারও চয়ন করতে চান না । সম্ভবত প্রশ্ন বা বাছাইকৃত উত্তরগুলি এটিকে পরিষ্কার করার জন্য সম্পাদনা করা যেতে পারে, অন্যথায় আমি আশঙ্কা করি যে এই মিথটি স্থির থাকবে। আমি একটি ভিজ্যুয়াল তুলনা দিয়েছি এবং তুলনা পূরণ করুন scicomp.stackexchange.com/a/880/119 এ ।

— জেড ব্রাউন

@ জেডব্রাউন: আসলে, আমি পোইসন সমস্যা নিয়ে বেশিরভাগ ক্ষেত্রেই কাজ করছি না, আমার সমস্যাটি পোয়েসনের সমস্যার সাথে একই রকম কাঠামোযুক্ত রয়েছে ... ভেরিয়েবলের সূচকগুলি (আই এবং জে) হুবহু একই, এবং ম্যাট্রিক্সটি তির্যকভাবে প্রভাব ফেলবে অফ-ডায়াগোনাল এন্ট্রিগুলির সাথে (একই সারির মধ্যে) ঠিক তির্যক এন্ট্রিটির যোগফল যোগ করে।

— পল

Answer 1

স্পার্স-ডাইরেক্ট সলভারগুলির ক্ষেত্রে এটি একটি সু-অধ্যয়নিত সমস্যা। পুনরায় অর্ডারিংস এবং সুপারনোডগুলি কীভাবে পূরণ হবে এবং সমাধানের সময় সম্পর্কে আরও ভাল ধারণা পেতে আমি জোসেফ লিউর মাল্টিফ্রন্টাল পদ্ধতির সংক্ষিপ্ত বিবরণটি পড়ার জন্য সুপারিশ করছি।

পুনঃক্রমটি উত্পন্ন করার জন্য নেস্টেড বিচ্ছিন্নতা একটি অত্যন্ত সাধারণ উপায় এবং মূলত পুনরাবৃত্ত গ্রাফ বিভাজন নিয়ে গঠিত। Metis গ্রাফ পার্টিশন জন্য কার্যত মান, এবং আপনি এটি পিছনে ধারনা কয়েকটির বিষয়ে পড়তে পারেন এখানে । সচরাচর ব্যবহৃত আরেকটি প্যাকেজ স্কটল্যাণ্ডের এবং চাকো গুরুত্বপূর্ণ, যেমন এর লেখক চালু মাল্টি লেভেল গ্রাফ পার্টিশন , যা হয় Metis পিছনে মৌলিক ধারণা ।

জর্জ এবং লিউ দেখিয়েছেন তাদের সর্বোত্তম বইয়ে যে 2d বিক্ষিপ্ত-সরাসরি সমাধান শুধুমাত্র প্রয়োজন কাজ এবং হে ( ঢ লগ ইন করুন এন $O(n^{3/2})$$O(n \log n)$ মেমরি, যখন 3d বিক্ষিপ্ত-সরাসরি প্রয়োজন কাজ এবং হে ( ঢ 4 / 3 ) স্মৃতি।$O(n^2)$$O(n^{4/3})$

Comments

আপনি কি জর্জ এবং লিউ রেফারেন্সের জন্য একটি প্রশংসা আছে?

— পল

যোগ করা হয়েছে; আমি যখন গাড়িটি প্রথম জমা দিয়েছিলাম তখন আমি গাড়ি থেকে নামতে যাচ্ছিলাম। আমি জানি যে বইটির অনলাইনে কোথাও অবাধে উপলভ্য সংস্করণ রয়েছে (জেড জানেন যে এটি কোথায়) তবে আমি এটি খুঁজে পাইনি।

— জ্যাক পলসন

আমি বইটির পর্যালোচনা পরিবর্তে বইটির পিডিএফ নির্দেশ করতে লিংকটি আপডেট করেছি।

— জেড ব্রাউন

@ জেডব্রাউন এটি একটি দুর্দান্ত রেফারেন্স ছিল! অনেক ধন্যবাদ! :)

— পল

@ আলেকজান্দার সবাই থ্রিডি বন্ডকে জর্জ এবং লিউকে দায়ী করেছেন, যদিও তারা জানেন না যে তারা বইটিতে এটি স্পষ্টভাবে উল্লেখ করেছেন কিনা। এটি তত্ত্ব থেকে স্পষ্ট হয়। একটি জন্য ন্যূনতম প্রান্তবিন্দু বিভাজক গ্রিড হয় এন 2 / 3 = মি × মি । ঘন যে সুপারনোড সঙ্গে যুক্ত ম্যাট্রিক্স রয়েছে ( এন 2 / 3 ) 2 = ঢ 4 / 3 এন্ট্রি এবং প্রয়োজন$n = m\times m\times m$$n^{2/3} = m\times m$$(n^{2/3})^2 = n^{4/3}$$(n^{2/3})^3 = n^2$অপারেশন ফ্যাক্টর। 2 ডি ক্ষেত্রে লোগারিদমিক শব্দটি আরও সূক্ষ্ম এবং নেস্টেড ডিসসেকশন সম্পর্কিত অধ্যায় 8 এ চিকিত্সা করা হয়, যা নিম্ন সীমাটি অর্জন করে।

— জেড ব্রাউন

Answer 2

Cuthill-McKee হয় কার্যত তুমি কি করতে চান তাদের জন্য মান। আপনি যদি এই পদ্ধতির সাথে খেলতে চান, তবে বুস্ট গ্রাফ লাইব্রেরি (বিজিএল) এর অ্যালগরিদম (এবং এর বিপরীত) ব্যবহারের এক সহজে ব্যবহারের বাস্তবায়ন রয়েছে এবং ডকুমেন্টেশনে এটি কীভাবে ব্যবহার করতে হয় তার উদাহরণ রয়েছে।

Comments

প্রকৃতপক্ষে কুহিল-ম্যাকিকে বিপরীত করুন; এটি সাধারণত কম পূরণ করে। তবে নেস্টেড ডিসিসেকশন অর্ডার কম ব্যান্ডউইথ অর্ডারের তুলনায় অনেক উচ্চতর।

— আর্নল্ড নিউমায়ার

Answer 3

মাল্টিফ্রন্টাল পদ্ধতির কথা বলতে গিয়ে টিম ডেভিস যিনি এলইউ ফ্যাক্টেরাইজেশনের ( ইউএমএফপ্যাক ) জন্য মাল্টিফ্রন্টাল পদ্ধতিতে কাজ করেন তার অনেকগুলি রুটিন রয়েছে যা মেট্রিকগুলি পুনরায় অর্ডার করবে পূরণ পূরণকে কমিয়ে আনার জন্য। স্যুটস্পর্সের অংশ হিসাবে আপনি এগুলি এখানে দেখতে পাচ্ছেন । স্যুটস্পারস MeTiS ব্যবহার করে।

আরেকটি বিষয় লক্ষণীয়: কিছু সমস্যায় আপনি ভেরিয়েবলগুলি অর্ডার করার বিষয়ে চালাক হতে পারেন যাতে আপনি ব্যান্ডড হয়ে যান বা ব্যান্ডেড, নিদর্শনগুলির কাছাকাছি যা আপনাকে এই অ্যালগোরিদমগুলিতে ফোন করার ঝামেলা (এবং সিপিইউ সময়) রক্ষা করতে পারে। যাইহোক, এই চতুর পুনর্নির্মাণের জন্য আপনার অংশের অন্তর্দৃষ্টি প্রয়োজন এবং গ্রাফ-তত্ত্ব-ভিত্তিক পুনর্বিন্যাস অ্যালগরিদম হিসাবে লোকেরা তাদের উত্তরগুলিতে এখানে উল্লিখিত হিসাবে সাধারণের কাছাকাছি কোথাও নেই।

Comments

আপনাকে স্বাগতম, পল। আপনি যদি এটি পছন্দ করেন, এটি ভোট দিন।

— জিফ অক্সবেরি

Answer 4

পদার্থবিজ্ঞানের চেনাশোনাগুলিতে প্রয়োগিত গণিতের চেনাশোনাগুলিতে ADI (অল্টারনেটিং ডাইরেকশন ইমপ্লিপ) নামে একটি অ্যালগরিদম রয়েছে এবং এটি আপনার বর্ণনার মূলত যা করে। এটি একটি পুনরাবৃত্তি পদ্ধতি এবং এটি এই প্রাথমিক পদ্ধতিটি অনুসরণ করে:

1. $y$$x$

2. $x$$y$

3. ত্রুটি যতটা ছোট হওয়া উচিত ততক্ষণ 1 এবং 2 এর পুনরাবৃত্তি করুন।

আমি এই অ্যালগরিদমের আনুষ্ঠানিক জটিলতা জানি না, তবে আমি যতবার জেকোবি এবং গাউস-সিডেলের মতো প্রতিবার এটি ব্যবহার করেছি তার চেয়ে কম পুনরাবৃত্তিতে রূপান্তরিত করতে পেরেছি।

Comments

আপনি যদি অপারেটর বিভক্তকরণের রুটে যাওয়ার সিদ্ধান্ত নেন তবে আপনি যে বিষয়ে কিছু সাবধানতা অবলম্বন করতে চান তা হ'ল অপারেটর বিভক্তকরণের কিছু ক্ষেত্রে স্থির স্থিতির সমাধানগুলিতে ত্রুটির ফলস্বরূপ পরিচিত। (আমার একজন পরীক্ষার্থী এই সমস্যাটি কাটিয়ে ওঠার জন্য একটি উপায় তৈরি করেছেন, তবে আমি বিশ্বাস করি না যে তিনি এটি এখনও প্রকাশ করেছেন)) এছাড়াও, অপারেটর বিভক্ত হওয়ার ফলে সংখ্যাগত ত্রুটি দেখা যায় বলে জানা যায়। এই ত্রুটিগুলি পোস্টেরিয়েরি অনুমান করার জন্য সু-প্রতিষ্ঠিত উপায় রয়েছে ; ডন এস্তেপ সেই ক্ষেত্রে দুর্দান্ত কাজ করেছেন।

— জিফ অক্সবেরি

@ জিফঅক্সবেরি মনে হচ্ছে আপনি অন্যরকম বিভক্তির কথা উল্লেখ করছেন। আপনি সম্পূর্ণরূপে অন্তর্নিহিত স্কিম এডিআই ব্যবহার করতে পারেন যার কোনও বিভাজন ত্রুটি নেই কারণ এটি আসলে সিস্টেমটি সমাধান করে। আইএমএক্স পদ্ধতিও রয়েছে যা বিভাজন ত্রুটিগুলি কঠোরভাবে নিয়ন্ত্রণ করে।

— জেড ব্রাউন

$x$$y$

আমি কখনও গডুনভ এবং স্ট্র্যাং বিভাজনের কথা শুনিনি। আমি আমার অপারেটরটিকে বাকের-ক্যাম্পবেল-হাউসডর্ফ সূত্রে বিভক্ত করার প্রবণতা রাখি। এটা কি একই জিনিস?

— ড্যান