(0 + গুণক | গোষ্ঠী) এবং (1 | গোষ্ঠী) + (1 | গোষ্ঠী: গুণক) এর যৌগিক প্রতিসাম্যের ক্ষেত্রে র্যান্ডম এফেক্ট স্পেসিফিকেশন

ডগলাস বেটস বলেছেন যে নিম্নলিখিত মডেলগুলির সমতুল্য "যদি ভেক্টর-মূল্যবান র্যান্ডম এফেক্টগুলির জন্য ভেরিয়েন্স-কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের একটি বিশেষ ফর্ম থাকে, যাকে যৌগিক প্রতিসাম্য বলা হয়" ( এই উপস্থাপনায় স্লাইড ৯১ ):

m1 <- lmer(y ~ factor + (0 + factor|group), data)
m2 <- lmer(y ~ factor + (1|group) + (1|group:factor), data)

বিশেষত বেটস এই উদাহরণটি ব্যবহার করে:

library(lme4)
data("Machines", package = "MEMSS")

m1a <- lmer(score ~ Machine + (0 + Machine|Worker), Machines)
m2a <- lmer(score ~ Machine + (1|Worker) + (1|Worker:Machine), Machines)

সংশ্লিষ্ট আউটপুট সহ:

print(m1a, corr = FALSE)

Linear mixed model fit by REML ['lmerMod']
Formula: score ~ Machine + (0 + Machine | Worker)
   Data: Machines
REML criterion at convergence: 208.3112
Random effects:
 Groups   Name     Std.Dev. Corr     
 Worker   MachineA 4.0793            
          MachineB 8.6253   0.80     
          MachineC 4.3895   0.62 0.77
 Residual          0.9616            
Number of obs: 54, groups:  Worker, 6
Fixed Effects:
(Intercept)     MachineB     MachineC  
     52.356        7.967       13.917  

print(m2a, corr = FALSE)

Linear mixed model fit by REML ['lmerMod']
Formula: score ~ Machine + (1 | Worker) + (1 | Worker:Machine)
   Data: Machines
REML criterion at convergence: 215.6876
Random effects:
 Groups         Name        Std.Dev.
 Worker:Machine (Intercept) 3.7295  
 Worker         (Intercept) 4.7811  
 Residual                   0.9616  
Number of obs: 54, groups:  Worker:Machine, 18; Worker, 6
Fixed Effects:
(Intercept)     MachineB     MachineC  
     52.356        7.967       13.917

মডেলগুলির মধ্যে পার্থক্য কি কেউ স্বজ্ঞাত উপায়ে (প্রদত্ত যৌগিক প্রতিসারণ) m1হ্রাস করতে পারে m2?

— statmerkur
সূত্র

+1 এবং, তবে, এটি একেবারে বিষয়। পুনরায় খুলতে ভোট দিন।

— অ্যামিবা

@ পিটার ফ্লুম আপনি কেন এই প্রশ্নটিকে অফ-টপিক হিসাবে বিবেচনা করবেন?

— পরিসংখ্যান

এটি সম্ভবত পরিষ্কার ছিল না যে আপনি lme4সিনট্যাক্সের চেয়ে মডেলগুলি সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করেছিলেন । এটি সহায়ক হবে - এবং সম্ভাব্য উত্তরদাতাদের পুলকে আরও প্রশস্ত করুন - যদি আপনি তাদের অপরিচিত লোকদের জন্য ব্যাখ্যা করেন lme4।

— স্কর্চচি - মনিকা পুনরায় ইনস্টল করুন

দেখে মনে হচ্ছে এটি কোডিংয়ের কথা।

— পিটার ফ্লুম - মনিকা পুনরায়

যদি এটি দরকারী হয় তবে lme4 সিনট্যাক্সটি কী করছে এবং মিশ্র মডেলগুলির প্রসঙ্গে কোন যৌগিক প্রতিসাম্য রয়েছে সে সম্পর্কে দুটি ভাল পোস্ট এখানে রয়েছে (উভয় প্রশ্নের স্বীকৃত উত্তর দেখুন)। stats.stackexchange.com/questions/13166/rs-lmer-cheat-heet and stats.stackexchange.com/questions/15102/…

— জ্যাকব সোকোলার

এই উদাহরণে, তিনটি মেশিনের (এ, বি, সি) এবং ছয় শ্রমিকের প্রতিটি সমন্বয়ের জন্য তিনটি পর্যবেক্ষণ রয়েছে। আমি ব্যবহার করব একটি বোঝাতে -dimensional পরিচয় ম্যাট্রিক্স এবং একটি বোঝাতে বেশী -dimensional ভেক্টর। যাক পর্যবেক্ষণের ভেক্টর, আমি ধরে নেব কর্মী দ্বারা আদেশ করা হবে তারপরে মেশিনটি পুনরায় তৈরি করুন। যাক সংশ্লিষ্ট প্রত্যাশিত মান (যেমন সংশোধন করা হয়েছে প্রভাব) হবে | প্রত্যাশিত মান (যেমন র্যান্ডম প্রভাব) থেকে গ্রুপ-নির্দিষ্ট ডেভিয়েশন একটি ভেক্টর দেখুন। শর্তসাপেক্ষে , জন্য মডেলটি লেখা যেতে পারে: $I_n$ $n$ $1_n$ $n$ $y$ $\mu$ $\gamma$ $\gamma$ $y$

y \sim N (μ + γ, σ_{y}^{2} I_{54})

$y \sim \mathcal{N}(\mu + \gamma, \sigma^2_y I_{54})$

যেখানে হল "অবশিষ্ট" বৈকল্পিক। $\sigma^2_y$

এলোমেলো প্রভাবের সমবায় কাঠামো পর্যবেক্ষণের মধ্যে কীভাবে একটি সমবায় কাঠামোকে প্ররোচিত করে তা বোঝার জন্য , এলোমেলো প্রভাবগুলি সংহত হওয়া সমতুল্য "প্রান্তিক" উপস্থাপনার সাথে কাজ করা আরও স্বজ্ঞাত । এই মডেলের প্রান্তিক রূপটি হ'ল, $\gamma$

y \sim N (μ, σ_{y}^{2} I_{54} + Σ)

$y \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2_y I_{54} + \Sigma)$

এখানে, একটি কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স যা কাঠামোর উপর নির্ভর করে (উদাহরণস্বরূপ "এলোমেলো উপাদানগুলি" এলোমেলো প্রভাবগুলির অন্তর্নিহিত)। আমি পড়ুন করব "প্রান্তিক" সহভেদাংক হিসাবে। $\Sigma$ $\gamma$ $\Sigma$

আপনার মধ্যে m1, এলোমেলো প্রভাবগুলি পচে যায়:

γ = Z θ

$\gamma = Z \theta$

যেখানে হ'ল একটি নকশা ম্যাট্রিক্স যা এলোমেলো সহগের মানচিত্র পর্যবেক্ষণে ম্যাপ করে এবং কর্মী পরে মেশিন দ্বারা এলোমেলো সহগের 18-মাত্রিক ভেক্টর এবং এটিকে বিতরণ করা হয়: $Z = I_{18} \otimes 1_3$ $\theta^T = [\theta_{1,A}, \theta_{1,B}, \theta_{1,C} \dots \theta_{6,A}, \theta_{6,B}, \theta_{6,C}]$

θ \sim N (0, I_{6} \otimes Λ)

$\theta \sim \mathcal{N}(0, I_6 \otimes \Lambda)$

এখানে হ'ল এলোমেলো সহগের সহকারী। যৌগিক প্রতিসাম্য ধারণার অর্থ এই যে দুটি পরামিতি রয়েছে, আমি I'll এবং এবং কাঠামো কল করব : $\Lambda$ $\Lambda$ $\sigma_\theta$ $\tau$

Λ = [\begin{matrix} σ_{θ}^{2} + τ^{2} & τ^{2} & τ^{2} \\ τ^{2} & σ_{θ}^{2} + τ^{2} & τ^{2} \\ τ^{2} & τ^{2} & σ_{θ}^{2} + τ^{2} \end{matrix}]

$\Lambda = \left[\begin{matrix} \sigma^2_\theta + \tau^2 & \tau^2 & \tau^2 \\ \tau^2 & \sigma^2_\theta + \tau^2 & \tau^2 \\ \tau^2 & \tau^2 & \sigma^2_\theta + \tau^2 \end{matrix}\right]$

(অন্য কথায়, পারস্পরিক সম্পর্কের ম্যাট্রিক্স অন্তর্নিহিত লাম্বডায় অফডিজোনাল-এ সমস্ত উপাদান একই মান হিসাবে সেট রয়েছে)) $\Lambda$

এই এলোমেলো প্রভাব দ্বারা প্রান্তিক কোভারিয়েন্স কাঠামোটি হ'ল , যাতে প্রদত্ত পর্যবেক্ষণের বৈকল্পিকতা এবং দুই (পৃথক) শ্রমিকের থেকে পর্যবেক্ষণ মধ্যে সহভেদাংক এবং মেশিন হল: $\Sigma = Z (I_6 \otimes \Lambda) Z^T$ $\sigma^2_\theta + \tau^2 + \sigma^2_y$ $i, j$ $u, v$

c o v (y_{i, u}, y_{j, v}) = {\begin{cases} 0 & if i \neq j \\ τ^{2} & if i = j, u \neq v \\ σ_{θ}^{2} + τ^{2} & if i = j, u = v \end{cases}

$\mathrm{cov}(y_{i,u}, y_{j,v}) = \begin{cases} 0 & \text{if } i\neq j \\ \tau^2 & \text{if } i=j, u\neq v \\ \sigma^2_\theta + \tau^2 & \text{if } i=j, u=v \end{cases}$

আপনার জন্য m2, এলোমেলো প্রভাবগুলি এতে পচে যায়:

γ = Z ω + X η

$\gamma = Z \omega + X \eta$

জেড যেখানে আগের মতো রয়েছে, হ'ল একটি নকশা ম্যাট্রিক্স যা প্রতি শ্রমিকের এলোমেলো ইন্টারসেপ্টগুলি পর্যবেক্ষণগুলিতে মানচিত্র করে, মেশিন এবং কর্মীর প্রতিটি সংমিশ্রনের জন্য র্যান্ডম ইন্টারসেপ্টের 18-মাত্রিক ভেক্টর; এবং হ'ল কর্মীর জন্য এলোমেলো 6-মাত্রিক ভেক্টর। এগুলি বিতরণ করা হয়, Where যেখানে এই র্যান্ডম ইন্টারসেপ্টের $X = I_6 \otimes 1_9$ $\omega^T = [\omega_{1,A}, \omega_{1,B}, \omega_{1,C}, \dots, \omega_{6,A}, \omega_{6,B}, \omega_{6,C}]$ $\eta^T = [\eta_{1}, \dots, \eta_{6}]$

η \sim N (0, σ_{η}^{2} I_{6})

$\eta \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2_\eta I_6)$

ω \sim N (0, σ_{ω}^{2} I_{18})

$\omega \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2_\omega I_{18})$

σ_{η}^{2}, σ_{ω}^{2}

$\sigma_\eta^2, \sigma_\omega^2$

এর প্রান্তিক সমবায় কাঠামোটি m2হ'ল , যাতে প্রদত্ত পর্যবেক্ষণের বৈকল্পিকতা , এবং শ্রমিক থেকে দুই পর্যবেক্ষণের মধ্যে সহভেদাংক এবং মেশিন হল: $\Sigma = \sigma^2_\omega Z Z^T + \sigma^2_\eta X X^T$ $\sigma^2_\omega + \sigma^2_\eta + \sigma^2_y$ $i, j$ $u, v$

c o v (y_{i, u}, y_{j, v}) = {\begin{cases} 0 & if i \neq j \\ σ_{η}^{2} & if i = j, u \neq v \\ σ_{ω}^{2} + σ_{η}^{2} & if i = j, u = v \end{cases}

$\mathrm{cov}(y_{i,u}, y_{j,v}) = \begin{cases} 0 & \text{if } i\neq j \\ \sigma_\eta^2 & \text{if } i=j,u\neq v \\ \sigma^2_\omega + \sigma^2_\eta & \text{if } i=j,u=v \end{cases}$

সুতরাং ... এবং । যদি অনুমান করা হয় যৌগিক প্রতিসাম্য (যা এটি আপনার কলটির সাথে নেই তবে এটি এলোমেলোভাবে প্রভাবিত হয়েছে) $\sigma^2_\theta \equiv \sigma^2_\omega$ $\tau^2 \equiv \sigma^2_\eta$ m1

ব্রেভিটি আমার দৃ point় বিন্দু নয়: এটি কেবলমাত্র একটি দীর্ঘ, সংশ্লেষিত পদ্ধতি বলে যে প্রতিটি মডেলটির এলোমেলো প্রভাবগুলির জন্য দুটি পৃথক প্যারামিটার থাকে এবং এটি একই "প্রান্তিক" মডেলের লেখার মাত্র দুটি ভিন্ন উপায়।

কোডে ...

sigma_theta <- 1.8
tau         <- 0.5
sigma_eta   <- tau
sigma_omega <- sigma_theta
Z <- kronecker(diag(18), rep(1,3))
rownames(Z) <- paste(paste0("worker", rep(1:6, each=9)), 
                     rep(paste0("machine", rep(1:3, each=3)),6))
X <- kronecker(diag(6), rep(1,9))
rownames(X) <- rownames(Z)
Lambda <- diag(3)*sigma_theta^2 + tau^2

# marginal covariance for m1:
Z%*%kronecker(diag(6), Lambda)%*%t(Z)
# for m2:
X%*%t(X)*sigma_eta^2 + Z%*%t(Z)*sigma_omega^2

— নাট পোপ
সূত্র

খুব সুন্দর উত্তর! তবে আমি মনে করি যে "তিনটি মেশিন শ্রমিকের মধ্যে নেস্টেড" এই বাক্যটি বিভ্রান্তিকর হতে পারে কারণ একই তিনটি মেশিন একাধিক (বাস্তবে প্রতিটি) স্তরের শ্রমিকের উপস্থিতিতে দেখা যায়।

— স্ট্যাটারকুরকুর

@ স্ট্যাটমারকুর ধন্যবাদ, আমি এই লাইনটি স্পষ্ট করার চেষ্টা করেছি। আপনার যদি অন্য কোনও পরামর্শ থাকে তবে আমাকে জানান।

— নেট পোপ

উচিত হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা ?

X

$X$

X = I_{6} \otimes 1_{9}

$X = I_6 \otimes 1_9$

— এস ক্যাটালরাল পুনরায় ইনস্টল করুন মনিকা

@ এস.গেটগারেল ইয়ুপ, এটি একটি টাইপো - এটি ধরার জন্য ধন্যবাদ! আমি আমার উত্তরে স্থির করেছি।

— নাট পোপ

@ স্ট্যাটমারকুর আপনি কী বলতে চাইছেন তা পরিষ্কার করে বলতে পারেন? এখানে কোনও অবিচ্ছিন্ন কোভেরিয়েট নেই, সুতরাং "opeাল" দ্বারা আপনি কী বোঝেন তা নিশ্চিত হন না। আমি মডেলটিকে যেভাবে মনে করি তা হ'ল মেশিনগুলির মধ্যে প্রতিক্রিয়া (স্থির প্রতিক্রিয়া) এর মাঝামাঝি মধ্যে পদ্ধতিগত পার্থক্য রয়েছে; তারপরে প্রতিটি কর্মীর জন্য এলোমেলো বিচ্যুতি (এলোমেলো ইন্টারসেপ্ট / কর্মী); তারপরে প্রতিটি মেশিন-কর্মী সংমিশ্রনের জন্য এলোমেলো বিচ্যুতি; এবং অবশেষে পর্যবেক্ষণে একটি এলোমেলো বিচ্যুতি। বৃহত্তর কর্মী প্রতি র্যান্ডম বিচ্যুতি ভ্যারিয়েন্স, একজন প্রদত্ত কর্মী থেকে আরো সম্পর্কিত পর্যবেক্ষণের হবে, ইত্যাদি

— Nate পোপ