বিরল ইনপুটগুলিতে কম্পিউটিং ফাংশনের মনোটোন সার্কিট জটিলতা

ওজন একটি বাইনারি স্ট্রিং স্ট্রিং বেশী সংখ্যা। আমরা যদি কিছু লোকের সাথে ইনপুটগুলিতে মনোটোন ফাংশন গণনা করতে আগ্রহী হয় তবে কী হবে? $|x|$ $x\in\{0,1\}^n$

আমরা জানি যে গ্রাফের ক্লিক রয়েছে কিনা তা নির্ধারণ করা মনোোটোন সার্কিটগুলির জন্য শক্ত (অন্যদের মধ্যে দেখুন অ্যালন বোপ্পানা, 1987), তবে যদি কোনও গ্রাফ উদাহরণস্বরূপ সর্বাধিক প্রান্তে থাকে তবে আকারের একঘেয়ে বাঁধা গভীরতার সার্কিট খুঁজে পাওয়া সম্ভব হয় যা ক্লিক সিদ্ধান্ত নেয় । $k$ $k^3$ $f(k)\cdot n^{O(1)}$ $k$

আমার প্রশ্ন: এমন কোনও ফাংশন আছে যা কোনও একঘেয়ে সার্কিট দ্বারাও চেয়ে কম ওজনের ইনপুটগুলিতে গণনা করা শক্ত ? এখানে শক্ত মানে সার্কিট সাইজ । $k$ $n^{{k}^{\Omega(1)}}$

আরও ভাল: একটি স্পষ্ট মনোোটোন ফাংশন আছে যা গণনা করা শক্ত যেখানে আমরা কেবল ওজন এবং এর ইনপুটগুলি যত্ন করি ? $k_1$ $k_2$

এমিল জ্যাব্যাক ইতিমধ্যে পর্যবেক্ষণ করেছেন যে জ্ঞাত নিম্ন সীমানা একঘেয়ে সার্কিটের জন্য ধারণ করে যা দুটি শ্রেণি ইনপুট ( ক্লিক বনাম সর্বাধিক প্রশংসনীয় গ্রাফ) পৃথক করে, সুতরাং সম্ভাব্য যুক্তিতে কিছুটা স্বাধীনতার ব্যয়ে এটি তৈরি করা সম্ভব স্থির ওজনের ইনপুট দুই শ্রেণীর জন্য কাজ। এটি এর একটি ফাংশন হতে পারে যা আমি এড়াতে চাই। $a$ $(a-1)$ $k_2$ $n$

যা আসলে যা চান তা হ'ল এবং চেয়ে চেয়ে ছোট ছোট (প্যারামিটারাইজড জটিলতার কাঠামোর মতো) জন্য একটি স্পষ্ট হার্ড ফাংশন । আরও ভাল যদি । $k_1$ $k_2$ $n$ $k_1=k_2+1$

লক্ষ্য করুন যে একটি ইতিবাচক উত্তরটি স্বেচ্ছাসেবী সার্কিটের জন্য তাত্পর্যপূর্ণ নিম্ন গণ্ডিকে বোঝায়। $k_1=k_2$

আপডেট : এই প্রশ্নটি আংশিকভাবে প্রাসঙ্গিক হতে পারে।

— MassimoLauria
সূত্র

আপনার প্রথম (সাধারণ) প্রশ্নের কাছে (চক্র সম্পর্কে নয়)। আমি মনে করি, সর্বাধিক সঙ্গে ইনপুট এমনকি যদি

বেশী খুব কঠিন।

সহ একটি দ্বিপক্ষীয়

গ্রাফ

নিন । প্রতিটি প্রান্তবিন্দু এতে হস্তান্তর

একটি বুলিয়ান পরিবর্তনশীল

। যাক

একটি একঘেয়েমি বুলিয়ান ফাংশন যার minterms হতে

প্রান্ত জন্য

এর

। আসুন

2

$2$

n \times m

$n\times m$

G

$G$

m = o (n)

$m=o(n)$

u

$u$

x_{u}

$x_u$

f_{G} (x)

$f_G(x)$

x_{u} \land x_{v}

$x_u\land x_v$

u v

$uv$

G

$G$

একটি মনোোটোন সার্কিটের সর্বনিম্ন আকার হতে হবে যা

সাথে ইনপুটগুলিতেসঠিকভাবে

গণনাকরে। তারপরেস্থির

জন্য যেকোনও নিম্ন বদ্ধ

নমনোটোনেরসার্কিটেরজন্যতাত্পর্যপূর্ণনিম্নসীমাটিবোঝানো হবে।

s (G)

$s(G)$

f_{G}

$f_G$

\leq 2

$\leq 2$

s (G) \geq (2 + c) n

$s(G)\geq (2+c)n$

c > 0

$c>0$

— স্ট্যাসিস

মনোোটোন সার্কিটগুলির জন্য বিদ্যমান যুক্তিগুলির অনেকগুলি (

) এর সাথে অনেকগুলি ইনপুট অবশ্যই বাতিল করা উচিত । সেরা আমরা এতদূর কি করতে পারেন প্রমাণ হয়

আবদ্ধ LOWER যখন সার্কিট সব স্বীকার করতে হবে

-cliques, এবং সমস্ত সম্পূর্ণ প্রত্যাখ্যান

-partite গ্রাফ (

)। বিটিডব্লিউ গুরুত্বপূর্ণটি হল আপনি ঘন ইনপুটগুলির সাথে নয়, বিচ্ছিন্নতার সাথে কাজ করেন । বলুন,

≫ n / 2

$\gg n/2$

\exp (min {a, n / b}^{1 / 4})

$\exp(\min\{a,n/b\}^{1/4})$

b

$b$

a

$a$

a < b

$a<b$

k

$k$ -Clique সম্পর্কে আকারের একঘেয়েমি সার্কিট প্রয়োজন

প্রত্যেক ধ্রুবক জন্য

কিন্তু

-Clique আকারের একঘেয়েমি সার্কিট হয়েছে

জন্য যে ধ্রুবক

।

n^{k}

$n^k$

k \geq 3

$k\geq 3$

(n - k)

$(n-k)$

O (n^{2} \log n)

$O(n^2\log n)$

k

$k$

— স্ট্যাসিস

আমার স্পষ্ট করা উচিত যে আমি বিরল গ্রাফ অর্থে স্পার্স ইনপুটগুলির বিষয়ে যত্নশীল। একটি জন্যে

একটি খুব বিক্ষিপ্ত গ্রাফ (বলুন দিয়ে -clique

প্রান্ত) FPT একঘেয়েমি বর্তনী আকার করা যাবে।

k

$k$

k^{10}

$k^{10}$

— ম্যাসিমোলাউরিয়া

প্রথম মন্তব্যে আপনার উদাহরণটি খুব সুন্দর। যদি আমি সঠিকভাবে বুঝতে পারি তবে এটি মানোটোন ফাংশনগুলির সাথে একটি একই সমস্যা যা একটি নির্দিষ্ট ওজনের

তে শক্ত । অবহেলিত ইনপুটগুলি অনুকরণ করতে সিউডো পরিপূরক ফাংশন ব্যবহার করে, সার্কিট জটিলতা মনোোটোন এবং নন-মোনোটোন ক্ষেত্রে পৃথক হয় না। ধ্রুবক (বা ছোট)

এই সিউডো পরিপূরকটি মনোোটোন সার্কিট দ্বারা দক্ষতার সাথে প্রয়োগ করা যেতে পারে।

k

$k$

k

$k$

— ম্যাসিমোলাউরিয়া

আমার প্রথম মন্তব্য গ্রাফ জটিলতার উপর নির্ভর করেছিল। "

" ঘটনাটি এই খসড়ার 13 পৃষ্ঠায় পাওয়া যাবে । বিটিডব্লিউ "কে এবং কে + 1 এর জন্য কঠিন" হয়ে আপনি কী বোঝাতে চেয়েছেন তা আমি পুরোপুরি বুঝতে পারি নি? (অবশ্যই আমার দোষ))

(2 + c) n

$(2+c)n$

— স্ট্যাসিস

বিশেষত প্রশ্নের একটি অংশ বিবেচনা করে (উদাহরণস্বরূপ = 1, = 2 এর জন্য), লোকাম এই কাগজে "2-স্লাইস" ফাংশনগুলি অধ্যয়ন করেছেন এবং প্রমাণ করেছেন যে তাদের উপর শক্তিশালী নিম্ন সীমানা সাধারণীকরণ করা যেতে পারে, সুতরাং এটি খুব শক্ত বুনিয়াদী জটিলতা শ্রেণি বিচ্ছেদ এবং এ জাতীয় কোনও নির্মাণ / সুস্পষ্ট ফাংশন সম্পর্কিত ওপেন সমস্যা একটি যুগান্তকারী হবে; বিমূর্ত থেকে: $k_1$ $k_2$

বুলিয়ান ফাংশন এফকে 2-স্লাইস ফাংশন বলা হয় যদি এটি 2 1 এর কম সংখ্যক ইনপুটগুলিতে শূন্যের জন্য মূল্যায়ন করে এবং 2 1 এর বেশি সংখ্যক ইনপুটগুলির মধ্যে একটিতে মূল্যায়ন করে। ঠিক দু'জনের f এর ইনপুটগুলিতে অযৌক্তিকভাবে সংজ্ঞা দেওয়া যেতে পারে। 2-স্লাইস ফাংশন এবং গ্রাফের মধ্যে প্রাকৃতিক চিঠিপত্র রয়েছে। গ্রাফ জটিলতার কাঠামো ব্যবহার করে, আমরা দেখাই যে 2-স্লাইস ফাংশনগুলির খুব বিশেষ শ্রেণীর জন্য যথেষ্ট শক্তিশালী সুপারলাইনার মনোোটোন নিম্ন সীমাগুলি তাদের থেকে প্রাপ্ত কিছু ফাংশনগুলির জন্য একটি সম্পূর্ণ ভিত্তিতে সুপারপোলিয়োনমিয়াল নিম্ন সীমানাকে বোঝায়।

গ্রাফ জটিলতা এবং স্লাইস ফাংশন / সত্যনারায়ণ ভি। লোকম, থিওরি কম্পিউট। সিস্টেমগুলি 36, 71-88 (2003)

এছাড়াও তার মন্তব্যে এস জে তার গ্রন্থে এই জাতীয় অনুরূপটি গ্রাফিকের সেকেন্ড .7..7.২ এর তারকা জটিলতার অন্বেষণ বিভাগে বর্ণনা করেছেন।

বুলিয়ান ফাংশন জটিলতা: অগ্রগতি এবং সীমান্ত , স্ট্যাসিস Jukna

— vzn
সূত্র