কোনও গণনীয় সংখ্যাটি মূলদ বা পূর্ণসংখ্যার জন্য পরীক্ষা করা কি সম্ভব?

Question

কোনও গণনীয় সংখ্যাটি মূলদ বা পূর্ণসংখ্য হলে অ্যালগোরিদমিকভাবে পরীক্ষা করা সম্ভব? অন্য কথায়, এটি একটি লাইব্রেরির জন্য সম্ভব হবে যে কার্যকরী গণনীয় সংখ্যার ফাংশন প্রদান isIntegerবা isRational?

আমি অনুমান করছি যে এটি সম্ভব নয়, এবং এটি কোনওভাবে এই সত্যের সাথে সম্পর্কিত যে দুটি সংখ্যা সমান হলে পরীক্ষা করা সম্ভব নয় তবে এটি কীভাবে প্রমাণ করতে হয় তা আমি দেখতে পাচ্ছি না।

সম্পাদনা: একটি গণনীয় সংখ্যা $x$ একটি ফাংশন দেওয়া হয় $f_x(\epsilon)$ যে একটি মূলদ পড়তা আসতে পারেন স্পষ্টতা সঙ্গে : , যে কোনও । এই জাতীয় ফাংশন দেওয়া হয়েছে, বা কি সম্ভব?ϵ | x - f x ( ϵ ) | ≤ ϵ ϵ > 0 x ∈ কিউ x ∈ $x$$\epsilon$$|x - f_x(\epsilon)| \leq \epsilon$$\epsilon > 0$$x \in \mathrm{Q}$$x \in \mathrm{Z}$

Comments

গণনাযোগ্য নম্বরটি কীভাবে দেওয়া হয়?

— Tsuyoshi Ito

নম্বরটি কীভাবে দেওয়া হয় তা অবশ্যই প্রাসঙ্গিক। নির্বোধ উদাহরণ হিসাবে, যদি ইনপুটটিতে কোনও সংখ্যার পূর্ণসংখ্যা হয় কি না তা কোনও পতাকা থাকে তবে ইনপুটটি সংখ্যাসূচক হয় কিনা তা সিদ্ধান্ত নেয়।

— Tsuyoshi Ito

অনুরূপ প্রশ্ন: cstheory.stackexchange.com/questions/10495/…

— ক্রিস্টোফার আর্ন্সফেল্ট হ্যানসেন

(1) "আপনি কীভাবে জানবেন যে এটি একটি পূর্ণসংখ্যা?" কেন আমার যত্ন নেওয়া উচিত? আপনি অপারেশন সম্পর্কে প্রয়োজনীয়তা সম্পর্কে কিছু বলেন নি। (২) "যদি আপনি এখন পর্যন্ত দুটি উত্তর দেখতে পান তবে তারা বাস্তবায়ন সম্পর্কে কিছু উল্লেখ করেন না” "এখানে" প্রয়োগকরণ "বলতে আপনার অর্থ কী তা আমি জানি না বা কেন এই বাক্যটি আমার মন্তব্যের সাথে প্রাসঙ্গিক।

— Tsuyoshi Ito

আমি আশা করি আমার উত্তর এই আলোচনার সমাধান করে। সোসোশি, আপনি ভুল করেছেন, এটি প্রাসঙ্গিক যা অপারেশনগুলি গণনীয়। আমরা একটি শূন্যস্থানে আসল সংখ্যা বাস্তবায়ন করি না, তবে তাদের যাতে চালিত করতে পারি । আপনার মতে, আমরা সবকিছু বাস্তবায়নের জন্য ইউনিট প্রকারটি ব্যবহার করতে পারি। হ্যাঁ, আমরা পারে, কিন্তু তারপর কিছু অপারেশন গণনীয় হবে না, এবং যে হয় অবিকল নির্ণায়ক যার দ্বারা আমরা উপস্থাপনা বিচার।

— আন্দ্রেজ বাউয়ার

Answer 1

আসল সংখ্যাটিকে "উপস্থাপন" বা "প্রয়োগ" করার অর্থ কী তা নিয়ে বিভ্রান্ত হওয়া সহজ। প্রকৃতপক্ষে, আমরা এমন মন্তব্যে একটি আলোচনার সাক্ষী রয়েছি যেখানে প্রতিনিধিত্বটি বিতর্কিত। সুতরাং আমাকে এই প্রথম ঠিকানা।

আমরা কীভাবে জানি যে একটি বাস্তবায়ন সঠিক?

যে তত্ত্বটি ব্যাখ্যা করে যে কম্পিউটারে কীভাবে জিনিসকে উপস্থাপন করা যায় তা হল উপলব্ধিযোগ্যতা । মৌলিক ধারণা যে, একটি সেট দেওয়া হয় , আমরা একটি ডাটাটাইপ বাছাই τ এবং প্রতি করার এক্স ∈ এক্স একটি টাইপ মান সেট τ যা বুঝতে পারছি এটা। আমরা v value x ∈ X লিখি যখন v এমন একটি মান হয় যা এক্স উপলব্ধি করে । উদাহরণস্বরূপ (আমি অকারণে হাস্কেল ব্যবহার করব), এন এর বুদ্ধিমান বাস্তবায়ন ডেটাটাইপ হতে পারে যেখানে v ⊢ k ∈ N যখন $X$$\tau$$x \in X$$\tau$$v \vdash x \in X$$v$$x$$\mathbb{N}$Integer$v \vdash k \in \mathbb{N}$$v$মূল্যায়ণ সংখ্যা (সুতরাং বিশেষ করে একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা প্রতিনিধিত্ব করে না, এবং কেউই একটি উত্পথ প্রোগ্রাম না)। কিন্তু কিছু জোকার দ্বারা পদব্রজে ভ্রমণ এবং প্রমাণ করে যে আমরা ব্যবহার করতে পারে সঙ্গে স্বাভাবিক সংখ্যার প্রতিনিধিত্ব করতে টি R U ই ⊢ 42 ∈ এন এবং এফ একটি ঠ গুলি ই ⊢ এন ∈ এন জন্য এন ≠ 42 । কেন এটি ভুল? আমাদের একটি মানদণ্ড দরকার ।$\overline{k}$-42Bool$\mathtt{True} \vdash 42 \in \mathbb{N}$$\mathtt{False} \vdash n \in \mathbb{N}$$n \neq 42$

"জোকার নম্বরগুলি" এর ক্ষেত্রে সহজ পর্যবেক্ষণ হ'ল সংযোজন কার্যকর করা যায় না। আমি আপনাকে বলতে আমি দুই নম্বর আছে, উভয় দ্বারা প্রতিনিধিত্ব ধরুন । আপনি তাদের যোগফল জন্য একটি রিয়েলাইজার দিতে পারেন? ঠিক আছে, এটি 42 এর যোগফলের উপর নির্ভর করে তবে আপনি বলতে পারবেন না। যেহেতু সংযোজন হ'ল "প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলি কী তার একটি প্রয়োজনীয় অংশ", এটি গ্রহণযোগ্য নয়। অন্য কথায়, বাস্তবায়ন সেটগুলি সম্পর্কে নয়, তবে কাঠামোগুলি সম্পর্কে , অর্থাৎ আমাদের সেটগুলি এমনভাবে উপস্থাপন করতে হবে যাতে প্রাসঙ্গিক কাঠামোর প্রয়োগও সম্ভব হয়। আমাকে এটির উপর চাপ দিন:$\mathtt{False}$

আমরা কাঠামো বাস্তবায়ন করি, খালি সেট নয় not সুতরাং, বাস্তবায়নটি সঠিক হওয়ার জন্য আমাদের পুরো কাঠামোটি একত্রে পরিচালনা এবং সমস্ত অ্যাকোরিওমগুলি প্রয়োগ করতে সক্ষম হতে হবে।

আপনি যদি এই নীতিটি মানেন না, তবে আপনাকে সঠিকতার বিকল্প গাণিতিক মাপদণ্ডের পরামর্শ দিতে হবে । আমি একজনের সাথে চিনি না।

উদাহরণ: প্রাকৃতিক সংখ্যার উপস্থাপনা

স্বাভাবিক সংখ্যার জন্য প্রাসঙ্গিক গঠন Peano উপপাদ্য ব্যবহার দ্বারা বর্ণিত হয়, এবং অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ সবর্জনবিদিত আছে বাস্তবায়ন হবে আনয়ন (কিন্তু এছাড়াও , উত্তরসূরি + + এবং × )। আমরা বাস্তবায়নযোগ্যতা ব্যবহার করে, সংযোজন বাস্তবায়নটি কী করে তা গণনা করতে পারি। এটি মানচিত্র হিসাবে পরিণত হয়েছে ( প্রাকৃতিক সংখ্যার প্রতিনিধিত্বকারী এখনও অজানা ডেটাটাইপ কোথায় )$0$$+$$\times$nat

induction : 'a -> (nat -> 'a -> 'a) -> 'nat -> 'a

সন্তোষজনক induction x f zero = xএবং induction x f (succ n) = f n (induction x f n)। এই সমস্ত বাস্তবতা থেকে আসে। আমাদের একটি মাপদণ্ড রয়েছে: প্রাকৃতিক সংখ্যার একটি বাস্তবায়ন যখন এটি পিয়ানো অ্যাকসিওমগুলি কার্যকর করার অনুমতি দেয়। যদি আমরা ফান্টার এর প্রাথমিক বীজগণিত হিসাবে সংখ্যার বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করি তবে অনুরূপ ফলাফল পাওয়া যাবে ।$X \mapsto 1 + X$

আসল সংখ্যার সঠিক প্রয়োগ

আসুন আসল সংখ্যা এবং হাতে থাকা প্রশ্নের দিকে মনোযোগ দিন। প্রথম প্রশ্নটি হ'ল "আসল সংখ্যার প্রাসঙ্গিক কাঠামো কী?" উত্তরটি হ'ল: আর্চিমিডিয়ান কৌচি সম্পূর্ণ অর্ডার করা ক্ষেত্র । এটিই "আসল সংখ্যা" এর প্রতিষ্ঠিত অর্থ। আপনি এটি পরিবর্তন করতে পারবেন না, এটি আপনার জন্য অন্যদের দ্বারা স্থির করা হয়েছে (আমাদের ক্ষেত্রে বিকল্প দেডেকাইন্ড রিয়েলসগুলি কচী রাজ্যগুলির কাছে বিচ্ছিন্ন হয়ে উঠেছে, যা আমরা এখানে বিবেচনা করছি)) আপনি এর কোনও অংশই কেড়ে নিতে পারবেন না, আপনাকে "আমি সংযোজন প্রয়োগের বিষয়ে চিন্তা করি না", বা "আমি অর্ডারটির বিষয়ে যত্ন করি না" বলার অনুমতি নেই। যদি আপনি এটি করেন, আপনাকে অবশ্যই এটি "আসল সংখ্যা" বলবেন না, "এমন কিছু আসল সংখ্যা যেখানে আমরা লিনিয়ার ক্রমটি ভুলে যাই" something

আমি সমস্ত বিবরণে যাচ্ছি না, তবে আমাকে কেবল ব্যাখ্যা করতে দিন যে কাঠামোর বিভিন্ন অংশ বাস্তবের উপর কীভাবে বিভিন্ন ক্রিয়াকলাপ দেয়:

• আর্কিমিডীয় সবর্জনবিদিত সম্পর্কে কম্পিউটিং হয় মূলদ reals এর অনুমান
• ক্ষেত্রের কাঠামোটি স্বাভাবিক গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ দেয়
• লিনিয়ার অর্ডারটি x < ওয়াই পরীক্ষার জন্য আমাদের একটি semidecidable পদ্ধতি দেয়$x < y$
• কোশি সম্পূর্ণতার আমাদের একটি ফাংশন দেয় lim : (nat -> real) -> realযা (প্রতিনিধিত্ব) লাগে দ্রুত কোশি ক্রম এবং তার সীমা ফেরৎ। (একটি ক্রম যদি দ্রুত হয় | এক্স এন - এক্স মি | ≤ 2 মিনিট ( এন , মি ) সবার জন্য মি , এন ।)$(x_n)_n$$|x_n - x_m| \leq 2^{\min(n,m)}$$m, n$

আমরা যা পাই না তা হ'ল সাম্যের জন্য একটি পরীক্ষা ফাংশন। বাস্তবের অলক্ষ্যে এমন কিছুই নেই যা জিজ্ঞাসা করে যে সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য হতে পারে। (বিপরীতে, পেরো অ্যাকোরিয়ামগুলি বোঝায় যে প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলি সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য এবং আপনি কেবল মজাদার অনুশীলন হিসাবে প্রয়োগ করে তা প্রমাণ করতে পারেন )।$=$eq : nat -> nat -> Boolinduction

এটি একটি সত্য যে মানবতা ব্যবহার করে এমন বাস্তবের স্বাভাবিক দশমিক প্রতিনিধিত্ব খারাপ, কারণ এটির সাথে আমরা সংযোজন বাস্তবায়ন করতে পারি না। অসীম মান্টিসার সাথে ভাসমান পয়েন্ট পাশাপাশি ব্যর্থ হয় (অনুশীলন: কেন?)। তবে কী কাজ করে তা স্বাক্ষরিত অঙ্কের উপস্থাপনা, অর্থাত্ একটি, যার মধ্যে আমরা negativeণাত্মক অঙ্কের পাশাপাশি ইতিবাচকগুলিও মঞ্জুর করি। অথবা আমরা যুক্তিগুলির ক্রমগুলি ব্যবহার করতে পারি যা উপরে উল্লিখিত হিসাবে দ্রুত কচী পরীক্ষাকে সন্তুষ্ট করে।

শ্যুওশি প্রতিনিধিত্ব কিছু প্রয়োগ করে, তবে আর নয়$\mathbb{R}$

আমাদের reals নিম্নলিখিত উপস্থাপনা বিবেচনা করা যাক: একটি বাস্তব একজোড়া দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয় ( Q , খ ) যেখানে ( কুই এন ) এন দ্রুত কোশি ক্রম সমকেন্দ্রি হয় এক্স এবং খ হয় বুলিয়ান কিনা তা নির্দেশ এক্স একটি পূর্ণসংখ্যা। এটি বাস্তবের উপস্থাপনের জন্য, আমাদের সংযোজন প্রয়োগ করতে হবে, তবে এটি প্রমাণিত হয়েছে যে আমরা বুলিয়ান পতাকাগুলি গণনা করতে পারি না। সুতরাং এটি বাস্তবের উপস্থাপনা নয় । তবে এটি এখনও কিছু উপস্থাপন করে, যিনি রিয়েলসের জেড ∪ ( আর ∖ জেড ) এর উপসেট$x$$(q,b)$$(q_n)_n$$x$$b$$x$$\mathbb{Z} \cup (\mathbb{R} \setminus \mathbb{Z})$। নিশ্চয় realizability ব্যাখ্যা অনুযায়ী একটি ইউনিয়ন একটি পতাকা ইউনিয়ন আমরা হয় কোন অংশ যা নির্দেশ দিয়ে বাস্তবায়িত হয়। যাইহোক, একটি হল না করতে সমান আর বাদ মধ্যম মধ্যে, যদি না আপনি বিশ্বাস করেন যা কার্যকর করা যায় না এবং তাই এই আলোচনার জন্য এটি বেশ অপ্রাসঙ্গিক। আমরা হয় কম্পিউটারের বাধ্য জিনিষ intuitionistically না।$\mathbb{Z} \cup (\mathbb{R} \setminus \mathbb{Z})$$\mathbb{R}$

আমরা বাস্তবটি পূর্ণসংখ্যা কিনা তা পরীক্ষা করতে পারি না

অবশেষে, আমাকে জিজ্ঞাসা করা প্রশ্নের উত্তর দিন। আমরা এখন জানি যে বাস্তবগুলির একটি গ্রহণযোগ্য উপস্থাপনা হ'ল যুক্তিগুলির দ্রুত কচী ক্রমগুলি। (একটি গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্যতে বলা হয়েছে যে বাস্তবের যে কোনও দুটি উপস্থাপনা গ্রহণযোগ্য যা প্রকৃতপক্ষে গণনামূলকভাবে আইসোমরফিক হয়))

উপপাদ্য: সত্যিকারের একটি পূর্ণসংখ্যা কিনা তা পরীক্ষা করা সিদ্ধান্ত নেওয়া যায় না।

প্রুফ। মনে করুন আমরা বাস্তবটি একটি পূর্ণসংখ্যা কিনা তা পরীক্ষা করতে পারি (অবশ্যই বাস্তবটি একটি দ্রুত কচির ক্রম দ্বারা উপলব্ধি করা হয়েছে)। ধারণাটি, যা আপনি চাইলে আপনাকে আরও অনেক সাধারণ উপপাদ্য প্রমাণ করতে পারবেন, তা হল একটি অনাদি পূর্ণসংখ্যার একটি দ্রুত কচির সিকোয়েন্স তৈরি করা যা একটি পূর্ণসংখ্যায় রূপান্তর করে। এটি সহজ, কেবল এক্স এন = 2 - এন নিন । এরপরে, নীচে হ্যালটিং সমস্যাটি সমাধান করুন। একটি টুরিং মেশিন দেওয়া টি , একটি নতুন ক্রম নির্ধারণ ( Y এন ) এন দ্বারা Y এন = { x এর এন যদি  $(x_n)_n$$x_n = 2^{-n}$$T$$(y_n)_n$ অর্থাৎ ক্রম মত নতুন ক্রম দেখায়(এক্সএন)এনযতদিনটিরান, কিন্তু তারপর এটা এ "আটকে" পায়এক্সমিযদিটিস্টেপমি। খুব গুরুত্বপূর্ণ, নতুন সিকোয়েন্সটিও দ্রুত কচির সিক্যুয়েন্স (এবং আমরাটি টিথামবকিনা তা জেনেও এটি প্রমাণ করতে পারি)। অতএব, আমরা এর সীমাz=limnynগণনা করতে পারি

$$y_n = \begin{cases} x_n & \text{if $T$ has not stopped within $n$ steps}\\ x_m & \text{if $T$ stopped in step $m$ and $m \leq n$} \end{cases}$$ $(x_n)_n$$T$$x_m$$T$$m$$T$$z = \lim_n y_n$, কারণ আমাদের বাস্তবের প্রতিনিধিত্ব সঠিক। একটি পূর্ণসংখ্যা কিনা পরীক্ষা করুন । যদি এটি হয় তবে তা অবশ্যই 0 হবে এবং এটি কেবল তখনই ঘটে যখন টি চিরকালের জন্য চলে। অন্যথায়, z একটি পূর্ণসংখ্যা নয়, তাই টি অবশ্যই বন্ধ হয়ে গেছে। Qed।$z$$0$$T$$z$$T$

অনুশীলন: আমরা যুক্তিসঙ্গত সংখ্যার জন্য পরীক্ষা করতে পারি না তা বোঝানোর জন্য উপরের প্রমাণটি মানিয়ে নিন। তারপরে এটিকে মানিয়ে নেওয়ার জন্য আমরা নন-তুচ্ছ কোনও কিছুর জন্য পরীক্ষা করতে পারি না (এটি কিছুটা শক্ত)।

কখনও কখনও লোকেরা এই সমস্ত পরীক্ষার ব্যবসা সম্পর্কে বিভ্রান্ত হয়। তারা মনে করে যে আমরা প্রমাণ করে দিয়েছি যে আমরা কখনই বাস্তবসংখ্যক কিনা তা পরীক্ষা করতে পারি না । তবে অবশ্যই, 42 আসল এবং আমরা এটি বলতে পারি যে এটি একটি পূর্ণসংখ্যা কিনা। আসলে, কোন বিশেষ বাস্তব আমরা সঙ্গে আসা পর্যন্ত, , 88 Ln 89 , ই পাইয়ের মান $\sin 11$$88 \ln 89$ , ইত্যাদি, আমরা পুরোপুরিভাবে বলতে পারি যে তারা পূর্ণসংখ্যা কিনা। স্পষ্টতই,আমরাবলতে পারি কারণআমাদেরঅতিরিক্ত তথ্য রয়েছে: এই বাস্তবগুলি আমাদের সিকোয়েন্স হিসাবে দেওয়া হয় নি, বরং প্রতীকী অভিব্যক্তি হিসাবে যেখান থেকে আমরা স্যুওশি বিটটি গণনা করতে পারি। শীঘ্রই শুধুমাত্র তথ্য আমরা বাস্তব সম্পর্কে যত এটি সমকেন্দ্রি মূলদ অনুমান একটি ক্রম (এবং আমিনাএকটা রূপক হিসেবে উপস্থাপন ক্রম বর্ণনা, কিন্তু একটি কালো বাক্স যা আউটপুট মানেএনইনপুটের -th মেয়াদএনআমরা) তাহলে মেশিনের মতো অসহায় হবে।$e^{\pi \sqrt{163}}$$n$$n$

গল্পটির সারাংশ হলো

কোনও সেটটি বাস্তবায়নের বিষয়ে কথা বলার কোনও মানে হয় না যতক্ষণ না আমরা জানি যে এটিতে আমরা কী ধরণের অপারেশন করতে চাই।

Comments

যদি আমার উত্তরগুলি স্ত্রী হয় তবে আমি কেবল একবার উত্তর দিতে পারতাম। বা কমপক্ষে আমি পরবর্তী উত্তরটি লেখার আগে আমাকে পূর্ববর্তী উত্তরটি মুছতে হবে।

— আন্দ্রেজ বাউয়ার

@ ম্যাক্স: এই ধরণের প্রথম উপপাদ্য ক্রেইসেল, লাকোম্ব এবং শোয়েনফিল্ড দিয়েছিলেন (কেএলএস উপপাদ্যটি দেখুন)। স্বতঃস্ফূর্তভাবে স্টেটিইন একটি উপপাদ্য দিয়েছিলেন যা কেএলএসকে সাধারণীকরণ করেছিল এবং "প্রতিটি গণনীয় মানচিত্রটি গণনাযোগ্য ধারাবাহিক হয়" ফর্মটির স্পষ্টতই ছিল।

— আন্দ্রেজ বাউয়ার

আমার একটি পাঠ্যপুস্তক লিখতে হবে - (গুগল গুগল গুগল)। ঠিক আছে, ভাল, আপনার মেয়াদ আছে। এটার জন্য যাও!

— জেফি

@ শুয়োশি: প্রশ্নটি কোনও যোগ্যতা ছাড়াই প্রতিষ্ঠিত বাক্যাংশ "আসল সংখ্যা" ব্যবহার করেছে। আসল সংখ্যার গঠন মানক। আপনি অন্যান্য কাঠামো বিবেচনা করতে নির্দ্বিধায়, তবে আপনি স্ট্যান্ডার্ড পরিভাষার ভুল ব্যাখ্যা করতে পারবেন না।

— আন্দ্রেজ বাউয়ার

প্রযুক্তিগতভাবে বলতে গেলে, আপনি সঠিক, "রিয়েল" শব্দটি ব্যবহৃত হয়নি। তবে আপনি আসল সংখ্যার সংজ্ঞা সম্পর্কে ভুল হয়ে গেছেন। বা আমি এটি এইভাবে রাখব: বাস্তবের একটি নির্দিষ্ট সেট যা প্রথমে আসে, এটি কেবল কোনও কাঠামো অনুসরণ করা উচিত বলে মনে করা খারাপ গণিত । যেমন আমরা গ্রুপ, রিং, টপোলজিকাল স্পেসস ইত্যাদিকে তাদের কাঠামোর দিক দিয়ে সংজ্ঞায়িত করি, তেমনি তাদের সর্বজনীন বৈশিষ্ট্যগুলির ক্ষেত্রে আমাদের বিশেষ অবজেক্টগুলি সংজ্ঞায়িত করা উচিত (প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলি প্রাথমিক সেমিরিং, প্রাথমিক রিংটি পূর্ণসংখ্যা, যৌক্তিক প্রাথমিক ক্ষেত্র, রিয়েলস) দ্য .....).

— আন্দ্রেজ বাউয়ার

Answer 2

আমি মনে করি এটি অনস্বীকার্য:

যাক একটি গণনীয় অমূলদ সংখ্যা হতে হবে। একটি টিএম এম বিবেচনা করুন । আপনি একটি ফাংশন যা রান গঠন করা যেতে পারে এম উপর ε , এবং সমান্তরাল নির্ণয় মধ্যে x ক্রমবর্ধমান স্পষ্টতা। যদি এম বন্ধ হয়ে যায়, এটি এক্স কম্পিউটিং বন্ধ করে , অন্যথায় এটি অবিরত থাকে।$x$$M$$M$$\epsilon$$x$$M$$x$

এই ফাংশনটি যৌক্তিক সংখ্যার গণনা করে কিনা তা স্থগিত করা থামানো সমস্যার সমতুল্য।

Comments

আমি আপনার উত্তর বুঝতে পারছি না, আপনি আরও বিস্তারিত বলতে পারেন? থামার সমস্যাটির সাথে আপনি কীভাবে এটি সম্পর্কযুক্ত তা আমি বুঝতে পারি না এবং আরও গুরুত্বপূর্ণ এটি আমি মনে করি যে কখনও থামার কোনও কারণ নেই ( x একটি পূর্ণসংখ্যা হলেও )। $M$$x$

— dbarbosa

যেহেতু শ্যুওশি উত্তরটি উপস্থাপন এবং গণনার মডেলটির উপর নির্ভর করে। আপনার উত্তরটি সঠিকভাবে বলেছে যে যদি ইনপুটগুলি কোনও টিএম কম্পিউটিং দ্বারা প্রদেয় গণনাযোগ্য আসল সংখ্যা হিসাবে গ্রহণ করে তবে সাম্যতা নির্ধারণযোগ্য নয়। এটি সঠিক, তবে এটি অনুশীলনে ব্যবহৃত কোনও মডেলের কাছাকাছি নয়।

— কাভেহ

প্রকৃতপক্ষে, আমার উত্তর প্রশ্নটিতে পোস্ট হিসাবে উপস্থাপনা বোঝায়, তাদের ব্যবহারিক হতে বা না। @ ডিবার্বোসা - আমি ব্যাখ্যা করব: একটি টিএম দেওয়া হয়েছে, উত্তরে নির্মাণটি অনুসরণ করুন। তারপরে, বৈপরীত্যের মাধ্যমে ধরে নিন যে আউটপুটযুক্ত মেশিনটি যৌক্তিক প্রতিনিধিত্ব করে কিনা তা আপনি সিদ্ধান্ত নিতে পারেন। যদি এটি যুক্তিযুক্ত হয় তবে এর অর্থ হ'ল এক পর্যায়ে এম থামিয়ে দিয়েছিলেন এবং আমরা সংখ্যাটি গণনা বন্ধ করে দিই। অন্যদিকে, যদি এটি অযৌক্তিক হয় তবে এম থামবে না। সুতরাং, আমরা জানি যে এম থামছে কিনা , থামানো সমস্যাটি সমাধান করা, যা অনির্বাচিত বলে পরিচিত। $M$$M$$M$$M$

— শাল

Answer 3

একটি বাস্তবকে ধরে নেওয়া কিছু যুক্তিযুক্ত গণনীয় ফাংশন দ্বারা আবদ্ধ ত্রুটির সাথে যুক্তিযুক্ত আনুষঙ্গিকতার ক্রম হিসাবে দেওয়া হয় যা শূন্যের দিকে প্রবাহিত হয় (যেমন সমস্ত আনুমানিক সমান, এবং বাস্তবগুলির উপর টপোলজির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ)।

গণনীয় ক্রিয়া ক্রমাগত হয়। ইসআরশনাল এবং ইসআইন্টিজার অবিচ্ছিন্ন এবং অতএব গণনাযোগ্য নয়।

ইসআইন্টেগারটি অর্ধ- সংযুক্তযোগ্য: একটি পদ্ধতি রয়েছে যা ইনপুটটি পূর্ণসংখ্যা না হলে অবশেষে "মিথ্যা" আউটপুট দেয় তবে ইনপুটটি পূর্ণসংখ্যা হলে চিরতরে চলে। এই পদ্ধতিটি কেবল প্রতিটি অনুমানের দিকে নজর দেয় এবং ত্রুটির মধ্যে আবদ্ধের মধ্যে কোনও পূর্ণসংখ্যা রয়েছে কিনা তা যাচাই করে। এই ফাংশনটি অবিচ্ছিন্ন থাকে যখন আমরা {সত্য, মিথ্যা} (যেমন {মিথ্যা an একটি উন্মুক্ত সেট কিন্তু {সত্য not নয়) এর উপর সিয়ের্পিস্কি টপোলজি ব্যবহার করি।

Comments

উত্তরের জন্য ধন্যবাদ. আমি অবিচ্ছিন্ন => গণনীয় নয় বুঝতে পারছি না, আমি অনুমান করছি যে আপনি এমন একটি (সম্ভবত বহুল পরিচিত) উপপাদ্যটি ব্যবহার করেছেন যা সম্পর্কে আমি অবগত নই বা আমি মনে রাখছি না। আপনি কি এই পদক্ষেপটি সম্পর্কে আরও বিশদ সরবরাহ করতে পারেন?

— dbarbosa

"গণনীয় => অবিচ্ছিন্ন" একটি লোক উপপাদ বলে মনে হচ্ছে - আমি একটি মূল উদ্ধৃতি পাই না। ব্রাটকা ( math.uni.wroc.pl/~pkowa/slides/brattka.pdf ) দ্বারা এই কোর্স স্লাইডগুলিতে অসীম বস্তুগুলির উপর গণনা তত্ত্ব এবং টপোলজির সংযোগগুলি বেশ ভালভাবে (আইএমও) বর্ণনা করা হয়েছে । স্লাইডগুলিতে প্রস্তাবনা 2 বলছে যে প্রাকৃতিক ক্রমগুলির সমস্ত গণনীয় কার্য ক্রমাগত হয়; থিওরেম 12 এর সাথে একত্রিত হয়ে অন্য ধরণের ফাংশনের ফলাফল পাওয়া যায়।

— সর্বাধিক

Answer 4

প্রদত্ত গণনাযোগ্য সংখ্যাটি শূন্যের সমান কিনা তা অনস্বীকার্য ।

(সুতরাং আপনার যুক্তিযুক্ত আনুমানিক ওরাকল প্রতি ε আপনি চেষ্টা করেছেন? এর জন্য 0 প্রদান করে? সম্ভবত আপনি কেবল এটি একটি সামান্য পরিমাণ দেননি))

সুতরাং, -½ এবং + between এর মধ্যে প্রদত্ত গণনীয় সংখ্যাটি পূর্ণসংখ্যা কিনা তা অনস্বীকার্য।

Answer 5

একটি ফাংশন গণনাযোগ্য হ'ল ফাংশনটি অবিচ্ছিন্ন হওয়ার চেয়ে শক্তিশালী, অর্থাত কোনও টপোলজিতে কোনও গণনীয় ফাংশন অবিচ্ছিন্ন হওয়া দরকার।

$F:\mathbb{R} \to \{Yes,No\}$

$$F(r) = \begin{cases} YES & r\in \mathbb{Q}\\ NO & o.w. \end{cases}$$

গণনাযোগ্য।

$r$$\frac{k}{2^{n}}$$r \in [\frac{k}{2^n},\frac{k+1}{2^n}]$$n$

তারপরে আপনার ফাংশন অবিচ্ছিন্ন নয় এবং সুতরাং এটি গণনীয় নয়।

$M$$0$$n$$[-\frac{1}{2^n},\frac{1}{2^n}]$। যদি$M$থামানো হয় না আমাদের হয়ে গেছে। যদি এটি থেমে থাকে, তবে সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি দিন$M$ হতে একটি অনুমান জিজ্ঞাসা করেছে $m$। তারপর তথ্য যে$M$ এই পয়েন্ট অবধি দেখা গেছে যে অন্তরালের আসল সংখ্যাটি কোনও আসল সংখ্যা হিসাবে সামঞ্জস্যপূর্ণ $[-\frac{1}{2^m},\frac{1}{2^m}]$অর্থাৎ $M$সমস্যাটি সঠিকভাবে সমাধান করার জন্য পর্যাপ্ত তথ্য নেই। যদি$M$ উত্তর $NO$তাহলে উত্তরটি ভুল। যদি উত্তর দেয়$YES$ তাহলে আমরা চলমান বিবেচনা করতে পারি $M$ বিরতিতে যে কোনও অযৌক্তিক সংখ্যার উপর $[-\frac{1}{2^m},\frac{1}{2^m}]$ এবং $M$ ভুল উত্তর দেবে $YES$যেহেতু এটি ব্ল্যাক বক্স থেকে ঠিক একই তথ্য পাবে। অতএব$M$ সমস্যাটি সঠিকভাবে সমাধান করতে পারে না।

যে কোনও গণনীয় ফাংশন অবিচ্ছিন্ন হওয়া দরকার তার প্রমাণও একই রকম।